小学奥数之分数问题

第一讲小升初·竞赛中的分数问题
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在分数式的计算应用问题中，主要包括以下几个方面的题型。

①和(差)倍问题。

具体表现为“已知分数的分子与分母的和(差)，和约分过后的结果，求原分数。

②变化类。

具体表现为“已知分数的分子与分母和(差)的关系，再告诉分子或分母变化后的结果，求原分数。

”
③因数分解类。

具体表现为“已知最简真分数的分子与分母的积，求原分数的可能值。

”
④中间分数计算类。

具体表现为“已知某分数在两个分数之间，求该分数的分子与分母的和的最小值。

”
……
精典例题
例1：一个分数约分后是，若约分前分子与分母的和是40，那么约分前的分数是多少?
思路点拨
想一想：约分后是，你可以想到什么？你有几种方法来解答这个问题？(友情提示：从方程与算术两个角度来思考。

)
模仿练习
一个分数的分子与分母和是40，约分后是,那么这个分数原来是多少？
例2：一个分数的分子与分母的和是19，加上这个分数的分数单位就是,这个分数是多少？（2006年成都外国语学校奖学金考试数学试题）3/16
思路点拨
想一想：加上这个分数的分数单位实际是分数中谁发生了变化？想明白后，再结合例1方法来思考一下，相信你能自己解答的！
模仿练习
一个分数的分子与分母之和是37，若分子减去1，分数值是,原分数是多少？(2007年成都外国语学校小语种数学试卷)
例3：分子、分母相乘的积是2002的最简真分数共有多少个？(2005年成都七中育才东区衔接班招生考试题)
思路点拨
想一想：满足什么条件的分数才是最简真分数？再想一想对“分子、分母相乘的积是2002”的信息又应该怎样去理解？
模仿练习
一个最简真分数，分子与分母的积是24，这个真分数是多少？(成都外国语学校2011年“德瑞杯”知识竞赛数学试题)
学以致用
A 级 1.一个分数分子与分母的和是72，约分后是，这个原分数是多少？(2005年成都七中育才东区衔接班招生考试题)
2.将分数的分子增加77后，如果要求分数的大小不变，分母应变为多少？(2010年成都七中嘉祥外国语学校6年级衔接班试题2)
3.一个分数，分子、分母的和是2010，约成最简分数后是,这个分数是多少？（嘉祥外国语学校2011年5升6招生数学试题）
B 级
4.某分数分子分母的和为23，若分母增加17，此分数值为，原分数为多少？（成都实验外国语学校“德瑞教育发展基金会”2010年奖学金测试数学A 卷）
5.分子与分母的乘积是156的最简真分数有多少个？（2008年成都嘉祥外国语衔接班招生考试题2）
6.一个分数，分子与分母的和是75，若分子加上3，则可约简成,原来的分数是多少?（2007年成都七中育才东区衔接班招生考试题2）
C 级
7.m,n 为自然数，若＜＜，则m+n 的最小值是多少？（2007年成都七中育才东区衔接班招生考试题2）
第二讲分数计算中的拆分
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分数计算中的拆分，又叫裂项计算。

分裂项差与裂项和两类。

最常见的为裂项为分数单位差。

裂项差基本知识点为：
⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=⨯b a a b x b a x 11(注：a 小于b ，a 、b 都为非零自然数。

) 裂项和基本知识点为：b
a b a b a 11+=⨯+(a 、b 都为非零自然数。

) 聪明的你能说出其中的道理吗？
试试看！
）（）（））（（）（）（）（103219321104321321432121321121+⋯+++⨯
+⋯+++-⋯-+++++-++⨯+-+⨯-
本讲主要讲裂项差知识。

精典例题
例1：把下面的和表示为一个既约分数：（注：分子、分母只有公因数1的分数叫做最简分数或者说分子和分母是互质数的分数，叫做最简分数，又称既约分数。

）
6
51541431321211⨯+⨯+⨯+⨯+⨯(美国长岛小学数学竞赛第三次第4题) 思路点拨
仔细观察，每一项中的分母的因数差是几，与分子有什么样的关系？那么可以怎样计算。

模仿练习
21
20120191431321211⨯+⨯+⋯⋯+⨯+⨯+⨯(南京市第一届“兴趣杯”少年数学邀请赛决赛C 卷第5题)
例2：99
163135115131++++(第三届“华杯赛”决赛第一试试题) 思路点拨
想一想：现在这种形式满足
b
a x ⨯吗？很显然不满足，那么仔细观察每一项的分母，根据分母的特点，有没有方法把这道题的每一项都转化成“
b a x ⨯”的形式！相信你会有办法的！ 模仿练习
100
971131011071741411⨯+⋯+⨯+⨯+⨯+⨯（第三届《小数报》数学竞赛） 例3：
(1989年小学数学奥林匹克竞赛初赛试题·成都实验外国语学校“德瑞教育发展基金会”2010年奖学金测试题B 卷)
思路点拨
先根据减法的性质：从被减数中连续减去几个数，可以先把这几个减数相加，再从被减数里减去它们的和，结果不变。

然后，再观察每项分母的两个因数与分子之间有什么关系？那么可以怎样计算？
）（）（））（（）（）（）（10032199321100432132143212132112+
⋯+++⨯+⋯+++
+⋯+++++++++⨯+++⨯模仿练习
计算化简后得到一个最简分数，它的分母与分子的这差是多少？(北京市第四届“迎春杯”刊赛试题)
学以致用 A
级
1.+++…+(第三届“祖冲之杯”数学邀请赛试题)
2.++++…+
3.++++…+
B 级
4.1+3+5+7+9+11+13+15+17(第四届“华杯赛”复赛第5题)
5.+++…+（成都外国语学校2009年“德瑞杯”知识竞赛数学试题）
C 级
6.）（））（（））（）（（））（（1999
113112111999141131121141
3112113121121+⋯+++⋯+++++++++(南京市第三届“兴趣杯”少年数学邀请赛决赛D 卷第1题)
第三讲工程问题(一)
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工程问题小学应用题的重点内容也是难点内容，更是小升初、竞赛中的压轴题。

“难”在工程问题中一般情况下将工作总量看作单位“1”，显得格外的抽象，学生难于理解。

其实工程问题的解题策略就是设值法，就是设工作总量为单位“1”，如果结合具体情境，我们把这个“1”给它赋予实际意义，理解为1㎞，1个……就可以化抽象的“1”为具体的“1”，从而形象理解，轻松掌握。

常见数量关系：
工作总量=工作效率×工作时间；
工作时间=工作总量÷工作效率；
工作效率=工作问题÷工作时间。

分析解答问题时，不要把问题想的太复杂了！如果善于从基本关系入手，相信很多工程问题，都应该变得格外简单。

也有些特定的题需要理解特定的规律进行解答的如“例3”的内容。

“它山之石，可以攻玉”，有时我们工程问题的解题策略运用到非工程问题中，可以起到意想不到的效果。

精典例题
例1：一项工程，甲、乙合作8天可以完成全部工程的，已知乙单独做要15天完成。

问甲单独做要多少天完成这项工程？(2009七中实验小升初试题)
思路点拨
想一想:“问甲单独做要多少天完成这项工程？”就是求甲的什么？要回答这个问题，根据哪个基本关系来做？那么应该知道哪些条件?这些条件直接告诉没有？应该怎么办呢？
模仿练习
甲乙两工程队同时合作修一条水渠要100天。

甲工程队先修40天，乙工程队再修60天，可以完成这条水渠的,如果甲乙两工程队都单独去修，完成任务各需要多少天？
例2：一架飞机所带的燃料最多可以用6小时，飞机去时顺风，每小时可以飞1500千米，回来时逆风，每小时可以飞1200千米，这架飞机最多能飞多少千米，就需要往回飞？(北京市第一届“迎春杯”刊赛试题·2007年成都外国语学校奖学金考试数学试题)
思路点拨
这道题的解答方法很多！但要从工程问题的角度来思考，该怎么办？想一想：工程问题的思维特点是什么？若能再结合“量率的对应关系”来思考，那么，此类问题你应该可以秒杀了！
模仿练习
一辆汽车以每小时60㎞的速度从A地开往B地，它又以每小时40㎞速度从B地返回A地，那么这辆汽车行驶的平均速度是多少㎞/h？(第九届“祖冲之杯”数学邀请赛试题) 例3：右图是根据甲、乙单独完成一项工作所需要的天数制成的条形统计图，如果这项工作要在10天内完成，那么甲、乙合作的时间至少有多少天？(2009年成都嘉祥外国语学校6年级插班生招生考试题)
思路点拨
想一想：问题的关键是合作的时间要最少！该怎么理解！（友情提示：如果我们让其中一个人做满10天，那么另一人做的天数是不是可以理解为他们的合作天数了？）
模仿练习
某水池可以用甲、乙两个水管注水，单放甲管需要12小时注满，单放乙管需要24小时注满。

现在要求10小时注满水池，并且甲乙两管合放的时间尽可能地少，那么甲、乙两管合放最少需多少小时？(1989年小学数学奥林匹克决赛试题)
学以致用
A级
1.一项工作，甲单独做6天完成，乙单独做9天完成。

两人合做这项工作，用多少天可以完成？(2008年成都外国语学校小升初考试题)
2.从甲地到乙地，快车要10小时，慢车要15小时，现在两车分别从甲乙两地同时出发，相向而行，几小时两车相遇？
3.水果店有甲、乙、丙三种水果，老李所带的钱如果买甲种水果刚好可买4㎏；如果买乙种水果刚好可买6㎏；如果买丙种水果刚好可买12㎏。

老李决定三种水果买一样多，那么他所带的钱能买三种水果各多少㎏？(第十届《小数报》数学决赛试题)
B级
4.师徒二人同时合作完成一项任务要10小时。

师傅工作4小时，徒弟工作6小时，可以完成这项任务的,如果师徒二人都单独去做，完成任务各需要多少小时？(2007年成都市实验外国语学校招生考试题)
5.一项工作，甲单独做要10天，乙单独做工15天。

如果两人合作，工作效率就要降低，甲只能完成原来的,乙只能完成原来的。

现在要8天完成这项工作，两人合作天数尽量少，两人最少合作多少天？(1996年小学数学奥林匹克决赛民族卷试题·2006年成都外国语学校奖学金考试数学试题)
C级
6.甲、乙、丙三个人中，甲每分钟走50米，乙每分钟走60米，丙每分钟走70米，如果甲、乙两人从东镇，丙一人从西镇同时相向出发，丙遇到乙后2分钟再遇到甲，那么两镇距离的是多少米？(北京市第一届“迎春杯”刊赛试题)
第四讲整数在分数应用题中的应用
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整数在分数应用题中的应用，主要是抓住分数的基本意义结合解答分数应用题的基本思路进行分析解题。

一般而言，在分数应用题中，分率(指具有倍数意义的分数)意义是把单位“1”的量平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数。

因此应用整数知识来解决分数应用题的一般思路：
①找准单位“1”的量；
②依据分数的分母确定单位“1”的量代表的份数，依据分子确定比较量代表的份数；
③根据份数来求解。

此外，应用整数知识来解分数问题，往往还涉及到整除知识的应用……
精典例题
例1：甲、乙两个两位数，甲数的等于乙数的，那么甲、乙两个数的和最小是多少？
思路点拨
甲、乙两个两位数，“甲数的等于乙数的”，说明了什么？甲数一定是几的倍数？乙数一定是几的倍数？且同时要满足“甲数的等于乙数的”而且要甲、乙两数最小。

那么我们可以用尝试与猜测的方法进行调整……试试看！
模仿练习
甲、乙两个两位数，甲数的等于乙数的，那么甲、乙两个数的和最大是多少？
例2：甲、乙、丙三人去买书，乙买的书比甲买书的本数的多3本，丙买的书比甲的少1本。

那么，三人合计最少买了多少本？
思路点拨
从“乙买的书比甲买书的本数的多3本”你发现“甲买书的本数”一定是几的倍数？从“丙买的书比甲的少1本”，你又有什么发现？把这两个发现结合起来，我们可以得出结论？现在你能回答问题了吗？
模仿练习
在第十届亚运会上，到某一天中国已获得了200多枚奖牌，其中金牌的枚数比银牌枚数的1倍少17枚，铜牌枚数比金牌枚数的多10枚，那么到这一天中国在这届亚运会上共获得多少枚奖牌？
例3：黑板上写着从1开始的若干个连续自然数，擦去其中的一个后。

其余各数的平均数是35。

擦去的数是多少？(2001小学数学奥林匹克初赛试题)
思路点拨
想一想：从条件“其余各数的平均数是35”入手,再根据平均数的意义,我们可以发现“剩下的个数”一定是17的倍数，即剩下的个数可能是17，34，51，68，……那么对应原来的个数可能为18，35，52，69，……再注意原来所有数的总和一定大于剩下数的总和这个隐藏条件，用尝试与猜测的方法可以进行调整.（当然这道题还有秒杀思路！）
模仿练习
从11，12，13……这若干个连续自然数中擦去一个后，剩下的数的平均数是23。

那么擦去的数是多少？
学以致用
A级
1.甲、乙两个三位数，甲数的等于乙数的，那么甲、乙两个数的和最小是多少？
2.老师在黑板上从1开始，写了若干个连续自然数，然后擦掉其中一个，剩下的数的平均数是6，擦掉的自然数是多少？
3.参加迎春杯数学竞赛的人数共2000多人。

其中光明区占，中心区占，朝阴区占，剩余的全是远效区的学生。

比赛结果光明区有得奖，中心区有得奖，朝阴区有得奖，远郊区有得奖，那么参赛
学生有多少人？获奖学生有多少人？（北京市第3届迎春杯决赛试题）
B级
4.张阳拿着50元钱买四本书(书的定价最小单位是角)。

回家一算，《数学奥林匹克解题词典》恰好占用去的钱的一半，其余一半里有用于买《汉语词典》，用于买《英汉词典》，他最后剩下多少元？(1999年小学数学奥林匹克决赛试题)
5.甲、乙、丙、丁四人平均植树30多棵，甲植树棵数是乙的，乙植树棵数是丙的1，丁比甲还多植树3棵，那么丙植树多少棵？(1999年小学数学奥林匹克决赛试题)
C级
6.小强和小林共有邮票400多张，如果小强给小林一些邮票，小强的邮票就比小林的少；如果小林给小强同样多的邮票，则小林的邮票就比小强的少，那么，小强原有多少张邮票？小林原有多
少张邮票？（第十届小学“希望杯”全国数学邀请赛六年级第1试）
第五讲设值法解题
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一般我们解答应用题，都应当满足“知二”才能“求一”的解题模型。

如：要求“速度”，一般而言就应当知道“路程”和“时间”这两个条件；要求“盐水浓度”，一般而言就应当知道“盐水质量”和“盐的质量”两个条件……
而实际上，我们在解答应用题时，常会遇到①已知“速度”求“速度”，而“时间”与“路程”这两种具体数量都没有出现；②已知“平均分”求“平均分”，而“总分”与“人数”这两种具体的数量都没有出现；③已知“浓度”求“浓度”，而“溶液”与“溶质”两种具体的数量都没有出现过……
而这时，我们可以巧用“设特殊值”，根据题目所给信息，假设与题目有某种关系的一个或几个具体数值，和题中已知条件一齐列式、推理和计算，使学生在解题时，起到事半功倍的效果，学生乐于接受。

精典例题
例1：某年级一次考试的平均分是70分，其中的人及格，他们的平均分数是80分，求不及格
的人的平均分数。

(第五届《小数报》数学竞赛初赛题·成都嘉祥外国语学校2012年小升初数学试题)
思路点拨
想一想：要回答“不及格的人的平均分数”，应当知道哪两个条件？那么根据题中的信息，你能直接找到有关的条件吗？(友情提示：抓住“其中的人及格”请从设特殊值的方面去思考！)
模仿练习
数学考试全班平均分数为85分，其中有的人及格，及格人的平均分为93分，那么不及格人的平均分是多少分？(第十二届“祖冲之杯”数学竞赛试题)
例2：三个小组的人数一样多，第一小组男生数等于第二小组女生数，第三小组的男生数
是三个小组男生总数的，问三个小组的男生人数占三个小组总人数的几分之几？(2010年七中初中部小升初考题)
思路点拨
想一想：要回答问题，必须知道哪两个条件？那么题中有关这两个条件的具体数量题中出现过没有？那么应该抓住哪句话进行设值计算呢？
模仿练习
某校五年级共有三个班，已知一班、二班、三班各班的学生数相同，一班的男生数与二班的女生数相同，三班的男生占全年级男生的，那么全年级女生占全年级学生的几分之几？(第三届“祖冲之杯”数学邀请赛试题)
例3：某商品按原定价出售，每件利润为成本的25%，后来按原定价的90%出售，结果每天
售出的件数比降价前增加了1.5倍，每天经营的总利润比降价前增加了百分之几？(1998年小学奥林匹克决赛A卷试题)
思路点拨
这道题既有物价关系，又有分率关系。

从物价关系来看，应该有“总价”“单价”“数量”三种具体的数量，但题中，这三种数量的具体数量都无法知晓。

为了满足“知二求一”的解题模型，我们可以从物价关系入手考虑进行设值，试试看！
模仿练习
张先生以标价的95%买下一套房子，经过一段时间后，他又以超出原标价的40%的价格将房子卖出，这段时间物价的总涨幅为20%，张先生买进卖出这套房子，利润率为百分之几？(2004年全国小学数学奥林匹克初赛试题)
学以致用
A级
1.一支股票的价格上升10%后又上升15%，然后下降20%，这支股票的价格和原来相比上升或下降百分之几？(2005年成都七中育才东区初中招生试题1)
2.在一个梯形内有两个面积分别是6cm2和8cm2的三角形(如右图)，这个梯形下底的长是上底长的2倍，则图中阴影部分的面积是多少？(2007年小学数学奥林匹克初赛试题)
3.如果一个三角形的底边长增加10%，底边上的高缩短10%，那么这个新三角形的面积是原来三角形面积的百分之几？(2002年全国小学数学奥林匹克决赛B卷试题)
B级
4.某校参加“祖冲之杯”数学邀请赛的选手平均分数是75分，其中参赛男选手比女选手人数多80%，而女选手比男选手的平均分数高20%，则女选手的平均分是多少分？(第一届“祖冲之杯”数学邀请赛试题)
5.龟兔进行10000米赛跑，兔子的速度是龟的速度的5倍，当它们从起点一起出发后，龟不停地跑，兔子跑到某一地点后开始睡觉，兔子醒来时，龟已经领先它5000米，兔子奋起直追，但龟到达终点后，兔子仍落后100米，那么兔子睡觉期间龟跑了多少米？(1996年小学数学奥林匹克决赛B卷试题)
C级
6.某次数学竞赛设一、二、三等奖。

已知：
(1)甲、乙两校获一等奖的人数相等；
(2)甲校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为5：6；
(3)甲、乙两校获二等奖的人数总和占两校获奖人数总和的20%；
(4)甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的50%；
(5)甲校获二等奖的人数是乙校获二等奖人数的4.5倍。

那么，乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分比等于。

(1998年小学数学奥林匹克决赛A卷试题)
7.一条猎犬追捕野兔。

野兔如果返回80步，就到猎犬所在地。

已知在猎犬跑2步的时间内野兔跑3步；而猎犬跑4步的路程等于野兔跑7步的路程。

那么，猎犬跑多少步才能捕获野兔？(2004年成都实验外国语学校西区小升初素质测试题)
第六讲转化法解题
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在有些分数应用题中，因为单位“1”的量不统一，造成分析解答困难，如果我们能结合题中的具体信息转化单位“1”,就可以化难为易；也有些应用题，如果能有效利用反比的知识找到两种量之间的倍比关系，再结合份数、分数知识进行解答，就可以巧解……
精典例题
例1：兄弟四人一起去买一台电视机，老大带的钱是另外三个人所带总钱数的一半，老二带去的钱另外三个人总前钱数的，老三带去的钱是另外三个人总前钱数的，老四带91元。

那么这台电视机多少元？（北京市第2届迎春杯决赛试题）
思路点拨
从“老大带的钱是另外三个人所带总钱数的一半”很容易想到当我们把老二、老三、老四一共带的钱看作2份，那么老大带的钱就是1份，兄弟四人就一共带了（1+2=）3份钱，很明显老大所带的钱就是四人钱数总和的；那么从“”与“”这两个信息，你又可以发现什么呢？那么这道题可以怎么解答了！试试看！
模仿练习
甲、乙、丙三人生产一批玩具，甲生产的个数是乙、丙两人生产个数之和的，乙生产的个数是甲、丙两人生产个数之和的，丙生产了50个。

这批玩具共有多少个？（第六届小学“希望杯”全国数学邀请赛六年级第1试）
例2：两个书架，甲书架存书的相当于乙书架的，甲书架比乙书架多存120本。

乙书架存书
多少本？（北京市第2届迎春杯决赛试题）
思路点拨
根据“甲书架存书的相当于乙书架的”我们容易得到这样的数量关系：“甲书架存书本数×=乙书架存书本数×”，根据反比知识可得：
甲书架存书本数：乙书架存书本数=：=8：5，也就是甲存书本数为8份，乙书架的存书就是5份。

现在你会做这道题了吗？以后你会做这类题了吗？
模仿练习
把120个苹果分给两个班，其中大班分得的与小班分得的正好相等，那么小班分得多少个？
例3：甲从A地往B地，乙、丙两人从B地往A地，三人同时出发，甲首先在途中与乙相遇，
之后15分钟又与丙相遇，甲每分钟走70米，乙每分钟走60米，丙每分钟走50米，问：A、B两地相距多少米？(2010年七中初中部小升初试题)
思路点拨
从最基础的数量关系入手想一想：相遇问题最基本的关系是什么？那么这道题中哪个信息最关键？很显然这道题中有“甲乙的速度和×甲乙的相遇时间=甲丙的速度和×甲丙的相遇时间”，路程一定，时间与速度成反比例：
如果“甲乙的速度和：甲丙的速度和=a:b”，那么“甲乙的相遇时间：甲丙的相遇时间=b:a”，根据这个知识点，再利用份数知识，我们就可以求出相遇时间了。

试一试，你能行！
模仿练习
甲、乙、丙三个人中，甲每分钟走50米，乙每分钟走60米，丙每分钟走70米，如果甲、乙两人从东镇，丙一人从西镇同时相向出发，丙遇到乙后2分钟再遇到甲，那么两镇距离的是多少米？(北京市第一届“迎春杯”刊赛试题)
A级
1.有甲、乙、丙、丁四个数，甲数是其余三数之和的，乙数是其余三数之和的，丙数是另外三数之和的，丁数为42。

那么这四个数的和是多少？(1997年小学数学奥林匹克初赛试题)
2.甲、乙、丙、丁共同生产一批零件，甲生产的占其他三人生产总数的,乙生产的占其他三人生产总数的,丙生产的占其他三人生产总数的，已知丁生产了60个，那么甲、乙、丙共生产了多少个？(2004年全国小学数学奥林匹克初赛B卷试题)
3.三人合买一件东西，甲付钱数的，等于乙付钱数的，也等于丙付钱数的。

已知丙比甲多付了120元，求这件东西的价格。

B级
4.一架飞机所带的燃料最多可以用6小时，飞机顺风，每小时可以飞1500千米，飞回时逆风，每小时可以飞1200千米，这架飞机最多飞出多少千米，就需往回飞？(北京市第一届“迎春杯”刊赛试题)
5.张、王、李三人共有54元，张用了自己钱数的，王用了自己钱数的，李用了自己钱数的，各买了一支相同的钢笔，那么张和李两人剩下的钱共有多少元？（1994我爱数学少年夏令营试题）
C级
6.从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路，一辆汽车上坡每小时行20㎞，下坡每小时行35㎞，车从甲地开往乙地需要9小时，从乙地开往甲地需要7小时，那么从甲地到乙地的行程中，上坡的路程是多少㎞？下坡的路程是多少㎞？(2003年小学数学奥林匹克初赛B卷试题)。