中考数学热身 多边形与平面图形的镶嵌(含解析)

多边形与平面图形的镶嵌
一.选择题
1．只用下列图形不能镶嵌的是（）
A．三角形B．四边形C．正五边形 D．正六边形
2．若n边形的每个内角为150°，则这个n边形是（）
A．九边形B．十边形C．十一边形 D．十二边形
3．一个多边形内角和是1080°，则这个多边形是（）
A．六边形B．七边形C．八边形D．九边形
4．若一个多边形的内角和等于720°，则这个多边形的边数是（）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．某商店出售下列四种形状的地砖：
①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形．
若只选购其中一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（）
A．4种B．3种C．2种D．1种
6．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD，则∠CAD的度数是度．
7．下面各角能成为某多边形的内角和的是（）
A．430°B．4343°C．4320°D．4360°
8．一个多边形的内角和与它的一个外角的和为570°，那么这个多边形的边数为（）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题
9．四边形的内角和等于度．
10．一幅图案在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成．其中的两个分别是正方形和正六边形，则第三个正多边形的边数是．
11．一个内角和为1440°的正多边形的外角和为．
12．一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为．
三、解答题
13．已知一个多边形的内角和等于外角和的5倍，求这个多边形的内角和及边数．
14．在凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，经过观察、探索、归纳，你认为凸八边形的对角线条数应该是多少条？简单扼要地写出你的思考过程．
15．请你用正三角形、正方形、正六边形三种图形设计一个能铺满整个地面的美丽图案．
16．一个多边形少一个内角的度数和为2300°．
（1）求它的边数；
（2）求少的那个内角的度数．
27．求下图中x的值．
多边形与平面图形的镶嵌
参考答案与试题解析
一.选择题
1．只用下列图形不能镶嵌的是（）
A．三角形B．四边形C．正五边形 D．正六边形
【考点】平面镶嵌（密铺）．
【分析】任意三角形的内角和是180°，放在同一顶点处6个即能组成镶嵌．同理四边形的内角和是360°，也能组成镶嵌．正六边形的每个内角是120°，正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，其中180°，360°，120°能整除360°，所以不适用的是正五边形．
【解答】解：A、任意三角形的内角和是180°，放在同一顶点处6个即能密铺；
B、任意四边形的内角和是360°，放在同一顶点处4个即能密铺；
C、正五边形的每一个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，所以不能密铺；
D、正六边形每个内角是120度，能整除360°，可以密铺．
故选C．
【点评】本题考查一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360°．
2．若n边形的每个内角为150°，则这个n边形是（）
A．九边形B．十边形C．十一边形 D．十二边形
【考点】多边形内角与外角．
【分析】首先根据内角的度数计算出外角度数，再用360°÷外角的度数即可得到边数．
【解答】解：∵n边形的每个内角为150°，
∴它的外角是180°﹣150°=30°，
∴n=360°÷30°=12，
故选：D．
【点评】此题主要考查了多边形的内角和外角的关系，关键是掌握多边形的内角与相邻的外角互补．
3．一个多边形内角和是1080°，则这个多边形是（）
A．六边形B．七边形C．八边形D．九边形
【考点】多边形内角与外角．
【分析】设这个多边形是n（n≥3）边形，则它的内角和是（n﹣2）180°，得到关于n的方程组，就可以求出边数n．
【解答】解：设这个多边形是n边形，由题意知，
（n﹣2）×180°=1080°，
∴n=8，
所以该多边形的边数是八边形．
故选C．
【点评】根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
4．若一个多边形的内角和等于720°，则这个多边形的边数是（）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】多边形内角与外角．
【专题】压轴题．
【分析】利用多边形的内角和公式即可求解．
【解答】解：因为多边形的内角和公式为（n﹣2）•180°，
所以（n﹣2）×180°=720°，
解得n=6，
所以这个多边形的边数是6．
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的内角和公式及利用内角和公式列方程解决相关问题．内角和公式可能部分学生会忘记，但是这并不是重点，如果我们在学习这个知识的时候能真正理解，在考试时即使忘记了公式，推导一下这个公式也不会花多少时间，所以，学习数学，理解比记忆更重要．
5．某商店出售下列四种形状的地砖：
①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形．
若只选购其中一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（）
A．4种B．3种C．2种D．1种
【考点】平面镶嵌（密铺）．
【分析】由镶嵌的条件知，判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看正多边形的内角度数是否能整除360°，能整除的可以平面镶嵌，反之则不能．
【解答】解：①正三角形的每个内角是60°，能整除360°，6个能组成镶嵌
②正方形的每个内角是90°，4个能组成镶嵌；
③正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能镶嵌；
④正六边形的每个内角是120°，能整除360°，3个能组成镶嵌；
故若只选购其中某一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有3种．
故选B．
【点评】此题主要考查了平面镶嵌，用一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360°．
6．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD，则∠CAD的度数是36 度．
【考点】正多边形和圆．
【分析】根据正五边形的性质和内角和为540°，得到△ABC≌△AED，AC=AD，AB=BC=AE=ED，先求出∠BAC和∠DAE的度数，再求∠CAD就很容易了．
【解答】解：根据正五边形的性质，△ABC≌△AED，
∴∠CAB=∠DAE=（180°﹣108°）=36°，
∴∠CAD=108°﹣36°﹣36°=36°．
【点评】本题考查了正五边形的性质：各边相等，各角相等，内角和为540°．
7．下面各角能成为某多边形的内角和的是（）
A．430°B．4343°C．4320°D．4360°
【考点】多边形内角与外角．
【分析】利用多边形的内角和公式可知，多边形的内角和是180度的倍数，由此即可找出答案．【解答】解：因为多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°（n≥3且n是整数），则多边形的内
角和是180度的倍数，
在这四个选项中是180的倍数的只有4320度．
故选：C．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理，是需要识记的内容．
8．一个多边形的内角和与它的一个外角的和为570°，那么这个多边形的边数为（）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】多边形内角与外角．
【专题】方程思想．
【分析】本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征，还需要懂得挖掘此题隐含着边数为正整数这个条件．本题既可用整式方程求解，也可用不等式确定范围后求解．
【解答】解法1：设边数为n，这个外角为x度，则0＜x＜180°根据题意，得
（n﹣2）•180°+x=570°
解之，得n=．
∵n为正整数，
∴930﹣x必为180的倍数，
又∵0＜x＜180，
∴n=5．
解法2：∵0＜x＜180．
∴570﹣180＜570﹣x＜570，即390＜570﹣x＜570．
又∵（n﹣2）•180°=570﹣x，
∴390＜（n﹣2）•180°＜570，
解之得4.2＜n＜5.2．
∵边数n为正整数，
∴n=5．
故选A．
【点评】此题较难，考查比较新颖，涉及到整式方程，不等式的应用．
二、填空题
9．四边形的内角和等于360 度．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，代入公式就可以求出内角和．
【解答】解：（4﹣2）•180°=360°．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，是需要识记的内容．
10．一幅图案在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成．其中的两个分别是正方形和正六边形，则第三个正多边形的边数是12 ．
【考点】平面镶嵌（密铺）．
【分析】正多边形的组合能否进行平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明可以进行平面镶嵌；反之，则说明不能进行平面镶嵌．
【解答】解：∵正方形的一个内角度数为180°﹣360°÷4=90°，正六边形的一个内角度数为180°﹣360°÷6=120°，
∴需要的多边形的一个内角度数为360°﹣90°﹣120°=150°，
∴需要的多边形的一个外角度数为180°﹣150°=30°，
∴第三个正多边形的边数为360÷30=12．
故答案为：12．
【点评】此题主要考查了平面镶嵌，关键是掌握多边形镶嵌成平面图形的条件：同一顶点处的几个内角之和为360°；正多边形的边数为360÷一个外角的度数．
11．一个内角和为1440°的正多边形的外角和为360°．
【考点】多边形内角与外角．
【专题】计算题．
【分析】根据了多边形的外角和定理即可得到答案．
【解答】解：∵一个多边形的外角和为360°，
∴一个内角和为1440°的正多边形的外角和为360°．
故答案为360°．
【点评】本题考查了多边形内角和定理和外角和定理：多边形内角和为（n﹣2）•180°，外角和为360°．
12．一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为 5 ．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】利用多边形的外角和360°，除以外角的度数，即可求得边数．
【解答】解：多边形的边数是：360÷72=5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了多边形的外角和定理，理解任何多边形的外角和都是360度是关键．
三、解答题
13．已知一个多边形的内角和等于外角和的5倍，求这个多边形的内角和及边数．
【考点】多边形内角与外角．
【专题】计算题；方程思想．
【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，外角和是固定的360°，从而可根据一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍列方程求解．
【解答】解：设这个多边形是n边形．
则（n﹣2）×180°=5×360°，
n=12．
5×360°=1800°．
答：这个多边形内角和是1800°，是6边形．
【点评】本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征．
14．在凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，经过观察、探索、归纳，你认为凸八边形的对角线条数应该是多少条？简单扼要地写出你的思考过程．
【考点】多边形的对角线．
【专题】探究型．
【分析】首先从特殊四边形的对角线观察起，则四边形是2条对角线，五边形有5=2+3条对角线，六边形有9=2+3+4条对角线，则七边形有9+5=14条对角线，则八边形有14+6=20条对角线．
【解答】解：凸八边形的对角线条数应该是20．
理由：∵从一个顶点发出的对角线数目，它不能向本身引对角线，不能向相邻的两个顶点引对角线，
∴从一个顶点能引的对角线数为（n﹣3）条；
∵n边形共有n个顶点，
∴能引n（n﹣3）条，但是考虑到这样每一条对角线都重复计算过一次，
∴能引条．
∴凸八边形的对角线条数应该是： =20．
【点评】能够从特殊中找到规律进行计算．
15．请你用正三角形、正方形、正六边形三种图形设计一个能铺满整个地面的美丽图案．
【考点】平面镶嵌（密铺）．
【分析】根据多边形镶嵌成平面图形的条件，因为正三角形的内角和为60°，而正方形、正六边形的内角分别为90°、120°，由于60+90×2+120=360，故能进行平面镶嵌，进而得出即可．
【解答】解：因为三种瓷砖都必须用到，所以在每一个顶点处正三角形1个，正方形2个，正六边形1个即可．
如图：
【点评】此题主要考查了平面镶嵌，解这类题，需要掌握多边形镶嵌成平面图形的条件，即围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
16．一个多边形少一个内角的度数和为2300°．
（1）求它的边数；
（2）求少的那个内角的度数．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】根据n边形的内角和公式，则内角和应是180°的倍数，且每一个内角应大于0°而小于180度，根据这些条件进行分析求解即可．
【解答】解：（1）∵2300°÷180°=12…140°，
则边数是：12+1+2=15；
（2）该内角应是180°﹣140°=40°．
【点评】本题主要考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是找到相应度数的等量关系．注意多边形的一个内角一定大于0°，并且小于180度．
17．求下图中x的值．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】根据五边形的内角和定理即可列方程求解．
【解答】解：根据五边形的内角和是（5﹣2）•180=540°得到：
2x+120+150+x+90=540
解得：x=60．
【点评】此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式来寻求等量关系，构建方程即可求解．。