角的平分线的性质教案

《12.3 角的平分线的性质》教案
李爽
2013-9-24
一、内容和内容解析
1、内容：角的平分线的性质
2、内容解析：角的平分线的性质反映了角的平分线的基本特征，也是证明两条线段相等的常用方法。

角的平分线的性质的研究过程为以后学习线段的垂直平分线的性质提供了思路和方法。

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本节内容是全等三角形知识的运用和延续，用尺规作一个角的平分线，其作法原理是三角形全等的“边边边”判定方法和全等三角形的性质；角的平分线的性质证明，运用了三角形全等的“角角边”判定方法和全等三角形的性质。

角的平分线的性质证明提供了使用角的平分线的一种重要模式------利用角的平分线构造两个全等的直角三角形，进而证明相关元素对应相等。

基于以上分析，确定本节课的教学重点：探索并证明角的平分线的性质。

二、目标和目标解析
1、目标
（1）会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性；
（2）探索并证明角的平分线的性质；
（3）能用角的平分线的性质解决简单问题。

2、目标解析
达成目标（1）的标志是：学生明确尺规作图的基本要求，知道用尺规作图作角的平分线的方法与原理，能在教师的引导下用尺规作出一个已知角的平分线。

达成目标（2）的标志是：学生能在教师的引导下通过观察、测量等方法，发现角的平分线的性质，能准确表达性质的内容，能正确地写出已知、求证，能运用三角形全等的“AAS”判定方法和全等三角形的性质证明角的平分线的性质。

达成目标（3）的标志是：学生能利用角的平分线的性质构造全等三角形，证明与线段相等有关的简单问题。

三、教学问题诊断分析
本节课的学习中，学生在分清角的平分线的性质的条件和结论，并进行严格的逻辑证明的过程中常常感到困难。

例如，在用符号语言表述性质的条件和结论时，不知“距离”应为“条件”还是“结论”。

其重要原因是角的平分线的性质是以文字命题的形式给出的，其条件和结论具有一定的隐蔽性。

教学时，教师要引导学生分析性质中的条件和结论（必要时可让学生将性质改写成“如果······那么······”的形式），找出结论中的隐含条件（垂直），正确写出已知和求证，并归纳出证明命题的一般步骤。

本节课的教学难点是：证明以文字命题形式给出的角的平分线的性质。

四、教学过程设计
1、感悟实践经验，用尺规作角的平分线
问题1：怎样将纸片上的角分成两个相等的角呢？
师生活动：学生可能用量角器，也可能用折纸的方法。

追问1：除了用刚才提到的方法，还有其他的方法吗？
师生活动：提出问题引发学生思考。

追问2：用平分角的仪器可以平分一个角，（教师拿模型演示）你能说明其中的道理吗？
师生活动：教师启发学生将实际问题抽象为数学模型，并运用全等的知识解释平分角的仪器的工作原理。

追问3：仿照平分角的仪器的工作原理，我们如何利用尺规作一个角的平分线呢？
师生活动：师生分别在黑板和学案上，教师引导学生边操作边归纳得出用尺规作∠AOB 平分线的具体方法。

如果学生没有思路，教师可作如下提示：
1、怎样用圆规在∠AOB 的两边上得到(AD=AB)两条相等的线段？
2、又怎样得到另两条相等的线段(CD=CB)呢？
追问4：你能说说为什么射线OC 是∠AOB 的平分线吗？
师生活动：学生用三角形全等进行证明，明确作图的理论依据。

设计意图：让学生运用全等三角形的知识解释平分角的仪器的工作原理，体会数学的应用价值，同时从中获得启发，用尺规作角的平分线，增强作图技能。

最后让学生在简单的推理过程中，体会作法的合理性。

A
B
A
2、 经历实验过程，发现并证明将角的平分线的性质
问题2：在射线OC 上任取一点P ，过点P 画出OA 、OB 的垂线，垂足分别为点D 、E ，测量PD 、PE 并作比较，你得到什么结论？我们全班同学取了几十个点，如果这样的点继续取下去，你猜一猜角的平分线有什么性质？
师生活动：学生动手操作，独立思考，然后汇报自己的发现。

学生互相补充，教师指导，得出猜想。

追问1：我们得到了一个猜想，想知道它是否成立，怎么办？
师生活动：教师首先引导学生分析命题的条件和结论。

如果学生感到困难，可以让学生将命题写成“如果······那么······ ”的形式，然后引导学生逐字分析结论，进而发现并找到结论中的隐含条件（垂直）。

最后让学生画出图形，用符号语言写出已知和求证，并独立完成证明过程。

已知：∠AOC = ∠BOC,点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为
D 、E.
求证：PD=PE
追问2：由角的平分线的性质的证明过程，你能概括出证明几何命题
O B E
的一般步骤吗？
师生活动：师生共同概括证明几何命题的一般步骤：
（1）、明确命题中的已知和求证；
（2）、根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；（3）、经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。

追问3：角的平分线的性质对我们解决问题有什么帮助？
师生活动：学生思考，角的平分线的性质主要是用于判断和证明两条线段相等，与以前的方法相比，运用此性质不需要先证明两个三角形全等，使简化了证明的过程。

设计意图：让学生通过实验发现、分析概括、推理证明角的平分线的性质，体会研究几何问题的基本思路，以角的平分线的性质的证明为例，让学生概括证明几何命题的一般步骤，发展学生的归纳概括能力。

而反思性质，可以让学生进一步体会到证明两条线段相等时利用角的平分线的性质比先证两个三角形全等更简捷。

3、解决问题，理解巩固角的平分线的性质
练习：1、判断：∵如图，AD平分∠BAC（已知）
∴BD = CD（角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

）（）第1题图第2题图
C
2、判断：∵如图， DC⊥AC，DB⊥AB ，垂足分别是点C、D 。

（已知）
∴BD=CD (角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

)（）做一做：
1、如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD ⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD=4cm,则PE=__________cm.
第1题第2题
2、如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，∠1=∠
2，且AC=6cm，那么线段BE是△ABC的，AE+DE= 。

3、在△OAB中，OE是它的角平分线，且EA=EB，EC、ED分别垂直OA，OB，垂足为C，D.
求证：AC=BD.
A
D
O
B
E
P
C
A B
D
师生活动：学生独立完成，学生板演问题3的证明，教师适时点拨指导，师生共同评价。

4、 已知△ABC 中, ∠C=900，AD 平分∠ CAB,且 BC=8,BD=5, 求点D 到AB 的距离是多少？
学生先独立思考，然后小组交流，派代表回答，教师适时指导，并让学生板演解题过程。

此时教师主要关注学生是否能够想到如何构造辅助线，并准确的描述辅助线的作法。

设计意图：通过有梯度的训练，提高学生运用角的平分线的性质解决问题的能力。

4、小结：教师与学生共同回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：
（1）本节课你有哪些收获？
（2）角的平分线的性质为我们提供了证明什么的方法？ 设计意图：引导学生从知识内容和学习方法两个方面总结自己的收A B E C
D A
B C
获，并建立知识之间的联系。

5、 布置作业
教科书51页第4、5题。

五、 目标检测设计（灵活安排）
1、如图,一目标在A 区,而且A 区在公路、铁路所夹角的平分线上，如果目标离公路的距离是500米.那么它离铁路的距离是（ ）米。

设计意图：本题主要考察学生运用角的平分线的性质解决简单实际问题的能力。

2、如图，P 是∠ AOB 的平分线上的一点，PD ⊥OA,PE ⊥OB,垂足分别为D 、E 写出图中一对相等的线段（只需写出一对即可）。

设计意图：本题主要考察学生对角的平分线的性质的理解情况。

O
B E C。