概率与数理统计在经济中的应用

毕业论文
概率与统计在经济问题中的应用
论文作者：
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系别：
：数学与计算机科学系
专业数学与应用数学年级：2008级
提交日期：2012年5月20日答辩日期：2012年5月27日
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概率与统计在经济问题中的应用
摘要：本文通过引用事例，详细的介绍了期望与方差的概念和性质。

并结合概率与统计的相关知识，系统的阐述了利用公式法或定义法解决一些简单的经济问题，用决策树法解决在多种自然状态下的经济问题。

通过期望与方差的分析，找出最佳方案，从而使决策者利润最大化。

关键词：管理决策; 决策树; 最大利润。

The application of probability and statistics on economic issue
Abstract: Described by reference to examples, this article in detail introduce concept and nature of the expectation and variance.This article,combining with the knowledge of probability and statistics ,systematically emphasis that we can use formula method to solve some easy economic problem and use decision tree method to solve the economic problems in a variety of natural state.Through expectation and variance of analysis,the decision-makers can identify the best solution to maximize profits.
Keywords: management decision-making, decision tree，the best profits.
目录
摘要 (I)
Abstract: (II)
1 绪论 (1)
2基本知识 (2)
3期望在最大利润求解的应用 (5)
3.1利用公式法求最大利润 (5)
3.1.1期望在连续型概随机变量中的应用 (5)
3.1.2期望在离散型概随机变量中的应用 (6)
3.2利用决策树法求最大利润 (7)
3.2.1决策树模型的介绍 (7)
3.2.2决策树模型的应用 (8)
3.2.3期望与决策树的内在关系 (10)
结语 (11)
参考文献 (12)
致谢 (13)
1 绪论
概率与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的学科。

这类规律性的现象与必然科学截然不同，他的条件与结果之间并不存在某种必然的联系，也就是说，在相同的条件下，可能会发生某一结果，也可能不发生这一结果。

关于概率论方法的讨论最初是由帕斯卡和费马二人以通信的形式展开的。

它们虽然没有提出明确的概念定义，但他们在估计赌徒获胜的可能性时，总是利用有利情形数与所有可能数之比来做，这实质上就是早期古典概率的概念。

他们会同惠更斯一起，给出了概率、数学期望等基本概念的雏形，并得到相应的性质和计算方法，这些都表明，当时概率已成为具有本身特定研究对象的一门独立学科。

然而在科技迅发展的今天，概率与统计作为一门独立的学科，它的足迹几乎深入到每一个领域，并在指导优化我们的生活中起着尤为重要的作用。

在经济中，概率与统计经常用与管理预测，从而使利润最大化。

现在的公司企业将期望和方差运用到管理估算决策中。

期望和方差的数字特征含义可以帮助我们可以进行合理的选择,为我们的科学决策提供良好的依据，从而最优地实现目标。

现在，人们经常利用多种概率分布确定商品进货量。

在产品销售过程中，了解产品的进货量是是十分重要的，因为不论商品销售情况如何，销售商都需要交付银行的利息和商品的储存管理费用，销售商应保证本店商品的供给量等于消费者的需求量，所以销售商管理好进货量是十分重要的【1】。

为了是决策过程更加形象化，很多学者将研究兴趣投入到决策树模型中。

在国外，早在八十年代许多大型公司的决策层就普遍使用决策树模型进行管理和决策。

与国外相比，国内的决策树研究起步较晚。

但是随着改革开放，国内的许多学者系统的介绍了决策树法的原理，要素，步骤。

最近，美国学者马克•罗布斯又阐述了决策树方法的缺点，例如使用范围有限，无法适用于一些不能用连续的数量表示的决策；在确定的某种自然状态下，方案的损益值易受人为主观因素的影响；等等。

2010年，韦竹稳根据国内外经济发展形势，介绍了多种利用期望值进行决策的方法，再次让人们认识到概率统计是经济决策的新工具。

此期刊论文从大量的市场调研数据着手，建议企业与公司大量使用决策树法，从而使决策者找到最优方案。

而本文就概率的实际应用进行了探讨，并对上述提到的方法进行了分析、总结，使上述的概率方法更简便明了，更容易使读者理解和接受。

2基本知识
离散型随见变量的数学期望【2】：设离散型随机变量X 的分布率为
),2,1()( ===i p x X P i i 若无穷级数i i i p x ∑∞=1
绝对收敛，则称无穷级数i i i p x ∑∞
=1
的和为随
机变量X 的数学期望。

记作)(X E 或EX ，即=
)(X E i
i i
p x ∑∞
=1
.
特别的，若果X 是非负的离散型随机变量，则有=
)(X E ∑∞
=>0
)(n n X P
连续型随机变量数学期望的概念 ：设X 为连续型随机变量，其概率密度为)(x f .若反常积分dx x xf ⎰+∞
∞
-)(绝对收敛，则称反常积分dx x xf ⎰+∞
∞
-)(的值为随机变量数学期望记
作EX 或)(X E ，即dx x xf X E ⎰+∞
∞
-=)()(
特别的，若果X 是非负的连续型随机变量，其概率密度为)(x f ，则
dx x X P X E ⎰+∞
>=0)()(.
数学期望简称期望。

由于数学期望)(x E 描述随机变量X 取值的平均大小，因此又称为均值。

随机变量X 的数学期望)(x E 是一个实数。

数学期望)(x E 完全由随机变量X 的概率分布所确定。

若X 服从某一分布，也称)(x E 是这一分布的数学期望。

如果上述的无穷级数或反常积分不绝对收敛，则称随机变量的数学期望不存在。

随机变量的数学期望的性质
()1c c E =)(（c 是常数） ()2c x E c x E +=+)()(
()3)()(x cE cx E = ()4b x aE b ax E +=+)()(
一维随机变量函数的数学期望:设Y 是随机变量X 的函数,)(X g Y =（g 连续型或者分段连续函数）。

设离散型随机变量X 具有分布律,3,2,1)(, ===i p x X P i i 且无穷级数
i
i i
p
x g ∑∞
=1
)(绝对收敛；设连续型随机变量X 具有概率密度函数)(x f ，且反常积分
dx x f x g ⎰
+∞
∞
-)()(绝对收敛，则有
[]⎪⎩⎪⎨⎧==⎰∑∞
+∞
-∞
=dx x f x g p x g X g E Y E i i
i )()()()()(1
方差【3】：设X 是一个随机变量，若2))((X E X E -存在，则称2))((X E X E -为X 的方差，记为)(x D 或)(X Var ，即2))(()()(X E X E X Var X D -==.方差是指表示一系列数据或统计总体的分布特征的值，即方差表示的是和中心偏离的程度。

标准差：方差的算数平方根)(X D 称为X 的均方差或标准差，称)
()(*X D X E X X -=为X
的标准随机变量，此时有1)(,0)(**==X D X E . 方差的计算公式
[]2
2)()()(X E X E X D -=.
方差的重要性质
假设c 为任意常数，下列各式中的期望，方差都存在，则 （1）0)(=c D （2）DX c cX D 2)(= （3）)()(X D c X D =+
随机变量X 的概率分布【4】，是指X 的“一切可能值的集合”及它取各个可能值或值域内各部分取值的“概率”二者的总称。

商人追求的目标永远是经济利润最大化。

我们利用随机变量函数来求相应的期望值，为解决此类问题提供了新的方法。

符合特殊条件的某些可求随机变量函数，我们可
以通过建立自变量x和利润期望y的函数)
f
y ，然后根据此函数和导数的关系以及
(x
极值和导数的性质得出，x取何值时得出利润y的最大值。

决策树【5】基本上是从左向右生成的。

每种决策事件都有可能导致多种事件的发生，即会导致多种不同的结果，我们把把这种决策分支绘画成图形很像树的枝干，故称决策树。

当所要决策问题只需进行一次决策就可解决，叫做单阶段决策问题；如果问题比较复杂，而要进行一系列的决策才能解决，就叫做多阶段决策问题，又叫多级决策问题损益值【6】指的是利润表上的损失或利润。

利润=主营业务收入+其他业务收入-主营业务成本-其他业务成本-营业税金及附加-资产减值损失-销售费用-管理费用-财务费用+投资收益-投资损失+营业外收入-营业外支出-所得税费用
上式计算出来是正值，就是利润值；计算出来是负值，就是损失值；统称损益值。

概率枝【7】:从决策点引出的许多条直线，每条直线代表各自的自然状态，我们把在各种自然状态下的损益值记在概率枝的末端。

3期望在最大利润求解的应用
3.1利用公式法求最大利润
3.1.1期望在离散型概随机变量中的应用
某商店出售某种肥料,从以往的销售数据来看:该肥料的市场需求量x (单位:吨)
服从)500,300( 的均匀分布,每售出1吨肥料,商店可获利1500元;如果积压1吨肥料,
则商店亏损500元,问商店应该进多少货物,可使均值（期望）的利润最大?
解：设商店进a 吨该货物,则由例题得；500300≤≤a 出售a 吨肥料的利润记为函
数y , y 是需求量x 的函数即)(x f y = ,由题意可知可知:
当a x ≥时,则此a 吨肥料全部售出,共获得利润a 5.1；
当a x <时,则售出x 吨(获利x 5.1) 且还有x a -吨肥料积压(获利)(5.0x a --) ,由
此得共获得利润)(5.05.1x a x --，所以：
当a x ≥时 a x g Y 5.1)(==
当a x <时 a x x g Y 5.02)(-==
从而得
()()()()
5003001200x y g x p x dx g x dx E +∞-∞==⎰⎰ )300900(200
120015.12001)5.02(22500300-+-=+-=⎰⎰a dx a dx a x a a
从上述例题我们可以得出)(y E 是a 的二次函数,对)(y E 求导可以求得极值,即
450=a 吨。

这时商店能够使得最大的利润。

解决此类问题，首先必须找到利润与需求量的相关函数，然后利用公式求利润的期
望，再求出期望的极值，再根据实际情况找出最佳的方案，使决策者的利润最大化【8】。

3.1.2期望在离散型概随机变量中的应用
某投资商将一笔资金投资到三个项目中，即服装业、物流业和保险业。

不同的经济
运行状况下，各行业的收益情况也不相同，如果把经济运行情况分为好、中、差三个级
别元) ,其分别发生的概率为2.01=p 7.02=p 1.03=p 。

研究经济社会的大量数据，可
表2为各种投资季度收益分布表
请问:投资者应该怎样的合理投资？
解： 我们先分别考察数学期望，可知
9.3)1.03(7.032.011)(=⨯-+⨯+⨯=x E ；
9.31.0)1(7.042.06)(=⨯-+⨯+⨯=y E ；
2.31.0)2(7.022.010)(=⨯-+⨯+⨯=z E ；
方差：
4
.151.0)43(7.0)43(2.0)411()(222=⨯--+⨯-+⨯-=x D
29.31.0)9.31(7.0)9.34(2.0)9.36()(222=⨯--+⨯-+⨯-=x D
96.121.0)2.32(7.0)2.32(2.0)2.310()(222=⨯--+⨯-+⨯-=x D
期望在离散型概随机变量中的应用中，我们从计算的数学期望可知,投资服装业的
平均收益最大,投资商可能选择房地产。

但投资者进行投资时，投资商也要慎重的考虑各行业的风险，即它们各自的的方差。

方差越大,则收益的波动幅度就越大【9】,从而对应的风险也就越大。

所以单从方差看,服
装业和物流业的期望值出不多。

但是服装业的方差要远大于物流业的方差，即投资商投
资服装业的风险远远大于投资物流业的风险。

综合考虑，投资商应选择物流业。

尽管平
均收益少1000元,但风险要小50%以上。

3.2利用决策树法求最大利润
3.2.1决策树模型的介绍
决策树模型【10】是风险决策问题的一种直观的图示法。

决策树又称决策图，是以其
图形酷似大树而得名，其图形如所示。

图形整合了自然状态，出现的概率及损益值等其
它的影响觉的因素。

依据该图，可以计算出在不同的自然状态下各个方案的平均期望值，从而找出最优方案。

图1 决策树构成图
从图上可清楚看出，决策树以决策结点□为出发点，同时也是决策的归结点，表明
决策的结果；从决策点引出许多条方案枝，每条方案枝代表一个可行的方案。

在方案枝
的末端有一个状态结点○，用以表示各种自然状态下的平均期望值；从状态结点引出若
干条概率枝，每条概率枝代表一种自然状态及其概率，在概率枝的最末端，列出各自然
状态的损益值△（就是损益矩阵中的ij Q ）。

决策树法的主要步骤：
第一步：绘制决策树图。

绘图时，从决策点开始画，从由左向右绘画，逐步进行。

第二步：计算各结点的期望值。

应从右向左依次计算，通过计算损益值和概率枝上
的概率，可以得出，在不同自然状态下的期望值，并且把他们写到状态结点上。

第三步：剪枝。

又称修枝，找出在不同自然状态下的方案期望值，将不符合目标的
△ 损益值 △ 损益值
△ 损益值 △ 损益值
方案期望值去掉，在舍弃的方案枝上画“║”，以表示剪掉。

按此方法，依次排除。

最后留下的是最优方案。

3.2.2决策树模型的应用
某电视机厂为增强市场竞争能力，以便在国内外市场的三种不同销售状态下（高、中、低需求）取得较好收益，其经营方式有两种：1.国内联营 2.中外合资。

并估计国内联营和中外合资经营签约成功的可能性均为100%。

不论哪种经营签约成功，下一步都考虑两种生产方案：一是产量增加50%，全部内销；二是产量增加150%，部分外销，其余全部内销。

根据市场调查及其预测，在销售商相应方案的损益值如图表所示。

试用决策树法进行方案决
表1各方案损益值表 单位：万元
高需求（5.0=p ） 中需求(3.0=p ) 低需求(2.0=p )
国 内 增产50%
200 105 -350
联 营 增产150%
350 120 -500
中外合资 增产50%
280 0 -400
经 营 增产150%
850 -300 -560
解：这是一个多级决策问题。

根据题意，绘制决策树图3首先计算第二级决策点的期望值，即判断增产50%的方案还是增产150%的方案好。

图2 决策树图
点4：=4E ∑⋅∆p 5.0200⨯=3.0105⨯+)2.0350(⨯-+5.61=万元
点5：1112.0)350(3.01205.03505=⨯-+⨯+⨯=⋅∆=∑p E 万元
这表明在国内联营时增产150%的方案较优，因此剪掉点4，并将5E 转移到点2上。

点6：602.0)400(3.005.02806=⨯-+⨯+⨯=⋅∆=∑p E 万元
△ +200 △ +105 △ -350 △ +350 △ +120 △ -500 △ +280 △ +0 △ -400 △ +850 △ -300 △ -560
高需求 0.5p =
点7：233
+
-
⨯
+
⨯
=
E万元
=∑p
∆
⋅
⨯
(
560
)
2.0
7=
3.0
850
)
5.0
(
300
比较点6与点7，剪掉点6，并将7
E转移到点3上。

最后比较点2和点3，点3较优，剪掉点2，并将233
E万元列在点1上。

7
=E
3=
因此，该电视机厂宜采用“中外合资经营”方案，并用增产150%的生产方案进行生产，部分外销，其余全部内销，可得收益223万元。

3.2.3期望与决策树的内在关系
期望是决策树模型的基础。

决策树模型应用到了许多关于期望的知识。

在一些简单的管理估算问题中，可以直利用分布函数接求得期望值【10】。

此类方法说明了一些符合特殊条件的随机变量函数（如均匀分布等），我们在求解其最大经济利润时，可以通过求解其利润期望与的自变量的二次函数最大值来解决。

这样可以为经济决策提供良好的科学依据，并减小了损失，提高了经济利润。

但是在现实社会中，企业与公司在企业管理实践中，经常遇到的情况【11】是：根据市场的运行情况，可以制定出许多方案。

通过分析计算可以了解到许多影响方案收益的因素。

一些因素已知，一些因素未知。

如果执行每个方案后，会出现多种不同结果。

各种结果出现的概率往往是不同的，所以决策者在决策时也面临着一定的风险。

这时，期望值成为了决策的标准。

决策树模型是风险型决策问题的一种直观的图示法。

其表示法简单便捷、条理清晰，将决策过程形象化。

所以，当决策者面临着多种方案时，为了有效地控制风险，他们广泛的采取决策树法来进行决断。

决策树的适用范围【12】：
1.在决策树模型中，存在决策者想要达到的确切目标；
2.在模型中至少有三个可行的备用方案；
3.存在着至少三种决策者无法预测知晓的自然状态(如突发事故、国家政策调整等)；
4.在不同的自然状态下，通过分析计算可以得到各个方案的损益值；
5.在不同的自然状态下，决策者可以预测出事件所发生概率。

决策树方法的优点【13】：
（1）它构成了一个简单决策过程，可以使决策人有顺序有步骤地进行决策；
（2）决策树模型形象直观，决策者可以条理清晰的去考虑影响决策的因素；
（3）通过决策树模型，更加易于决策层的领导人集体讨论，找到最佳的方案；
（4）对于较复杂的决策问题，用决策树方法比较有效，特别是对多级决策问题来说尤其方便简捷。

决策者决策前后,往往存在许多不能知晓的可变因素,从而所作出的的决策不一定符合客观实际情况，所以决策是有风险的。

只有符合客观环境的科学的决策才能使决策者获得最大的经济利润，才能尽可能的节约成本【14】。

而基于期望的决策树模型可以帮助我们可以进行合理的选择,为我们的科学决策提供良好的依据，从而最优地实现目标【14】。

结语
本论文运用概率公式，期望和决策树法讨论了概率统计在利润最大化和管理预测中的应用【15】。

论文运用案例引出了公式法和决策树法，而且系统的介绍了两个方法在最大化利润中的应用。

我们可以发现，利用公式法或决策树法比计算期望的传统方法更加简单有效。

特别是决策树法，将复杂的内外部因素简单化，层次化，从而求出期望值，帮助决策者制定出科学的方案，从而使利润最大化。

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致谢
在此论文撰写过程中，首先感谢我的导师***．论文从选题、结构安排、文字处理直至最终定稿的全过程无一不是在刘老师的悉心指导、严格要求和亲切关怀下完成的．没有老师的帮助也就没有今天的这篇论文．希望借此机会向刘老师表示最衷心的感谢！
求学历程是艰苦的，但又是快乐的．感谢我的导员***老师，谢谢他在这两年中为我们全班所做的一切，他不求回报，无私奉献的精神很让我感动，再次向他表示由衷的感谢．在这四年的学期中结识的各位生活和学习上的挚友让我得到了人生最大的一笔财富．在此，也对他们表示衷心感谢．
谢谢我的父母，没有他们辛勤的付出也就没有我的今天，在这一刻，将最崇高的敬意献给你们！
本文参考了大量的文献资料，在此，向各学术界的前辈们致敬！。