晶体结构讲义

两种等价C原子
全部Na+之间是等价的，全部Cl-之间也等学习价材料 两个面心立方晶格沿体对角线平移1/144
1-3 晶格的周期性
1.3.3 复式晶格 简单晶格 —— 基元是一个原子 复式晶格 —— 基元是一个以上原子
晶体结构 = 点阵〔数学几何点〕 + 基元〔物理〕
学习材料 15
1-3 晶格的周期性
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1-3 晶格的周期性
Wigner-Seitz 原胞
以某个格点为中心，作其与邻近格点的中垂面，这些 中垂面所包含最小体积的地域为维格纳-赛兹原胞 对称性原胞，不依赖于基矢的选择，与相应的布拉伐 格子有完全相同的对称性
特点：
1.仅包含一个格点，体积与
惯用原胞相等
2.保存了晶格全部的对称性
3.平常很少用，在能带理论
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1-4 晶向和晶面
1.4.1 晶向
晶体根本特点：各向异性
晶列
在布拉伐格子的格点可以看成分列在一系列相互平行的直线 系上，这些直线系称为晶列。
晶列的特点
〔1〕一族平行晶列把全部格点包含 无遗
〔2〕在一平面中，同族的相邻晶列 之间
距离相等
学习材料
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1-4 晶向和晶面
1.4.1 晶向
(hcp)…
点阵
基元
晶体
晶体结构 = 点阵〔学数习学材料几何点〕 + 基元〔物理〕
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1-3 晶格的周期性
1.3.1 晶格周期性的描述：原胞和基矢
原胞 (Primitive cell)：晶格的最小周期性单元。又称初基晶胞。 基矢：原胞的边矢量 单胞 (Unit cell)：晶体学中，为了反映晶格的对称性，选取较
1.3.4 布拉伐格子(Bravais lattice)
简单晶格中，任意原子的位置均可表示为 Rl l1a1 l2a2 l3a3
Rl 2a1 3a2
Rl 3a1 a2 a3
学习材料 16
1-3 晶格的周期性
1.3.4 布拉伐格子(Bravais lattice)
复式晶格：任 一原 子A的 位矢
Rl ra l1a1 l2a2 l3a3 ,
1, 2, 3
r 为原胞中各种等价原子之间的相对位移
金刚石晶格中
X 碳1位置 l1a1 l2a2 l3a3
X 碳2位置
l1a1
l2a2
l3a3
对角线位移 1/ 4 学习材料
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1-3 晶格的周期性
1.3.4 布拉伐格子(Bravais lattice)
具有密排六方晶 格结构的金属： Zn，Mg等
六方晶格的堆积比= 配位数=？
学习材料 22
1-3 晶格的周期性
1.3.5 晶格结构实例—金刚石结构
两套面心立方套构而成 第二套4个原子位于体对角线1/4处 第二套C原子与4个第一套C原子形成正四面体 Si, Ge为金刚石结构
单胞中的 原子坐标？
同一个格子可以形成方向不同的晶列，如何区分不同的晶 列？晶向！两个格点的连线即一晶列，因此从任一格点沿
晶列方向到最近邻格点的平移矢量即晶向
取某一原子为原点O，原胞的三个基矢 a1, a2 , a3
沿晶向到最近的一个格点的位矢
l1a1 l2a2 l3a3
晶向指数表示为
[uvw] [l1 l2 l3 ]
面对角线OB的晶向 [110]
面对角线共有12个不同的晶向<110>
体对角线OC晶向 [111]
体对角线共有？个不同的晶向<111>
学习材料 32
1-4 晶向和晶面
1.4.2 晶面
与晶列类似，布拉伐格子中的全部格点也可看成分列 在一族平行等距的平面系上，它们可以将全部的格点 包含无遗。这些相互平行的平面称为晶体的晶面。
准晶体：有长程的取向序但没有长程的平移对称
序〔长程周期性〕。取向序具有晶体周期性所不
同意的点群对称性。例学如习材：料 Al-Mn合金
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1-1 晶体的概念及其特性
晶体特性：
物 理：
X 固定熔点〔熔化时，晶态固体的长程有序解体时对
应肯定的熔点〕
X 原子排列长程有序〔微米量级的范围是有序排列的
〕
X 解理性 〔 Si的解理面为(111) 〕 学习材料
学习材料 9
1-3 晶格的周期性
1.3.2 一些简单的晶格
面心立方晶格(Face-centered Cubic)
原胞基矢
a a1 2 ( j k )
a2
a 2
Байду номын сангаас(k
i
)
a3
a (i 2
j)
单胞内原子数：4 原胞内原子数：1
原胞体积
V
a1 (a2
a3)
1 4
a3
单胞内原子的 分数坐标：
〔0,0,0〕
任意格点均可表示为
Rl ra l1a1 l2a2 l3a3,
1, 2, 3
可以用(l1、l2、l3)全部可能取值的集合表示一个空间格子(也称点 阵)，一组(l1、l2、l3)的取值表示格子中的一个格点。实际晶格即在 上述空间格子(点阵)上放一组原子 (基元)，它们的相对位移为ra。该 空间格子表征了晶格的周期性，成为布拉伐格子。
中对应布里渊区
学习材料
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1-3 晶格的周期性
1.3.2 一些简单的晶格
简单立方晶格(Simple Cubic)
基 矢 a1 ai , a2 aj, a3 ak
原胞体积
V
a1
(a2
a3)
a3
如何推断所选取的原胞是正确的，即最小周期单元？ 计算原胞体积所对应的原子数。原胞中只包含一个原子
学习材料 23
1-3 晶格的周期性
1.3.5 晶格结构实例—NaCl结构
Na和Cl分别构成面心立方格子，彼此在空间有一个位移
学习材料 24
1-3 晶格的周期性
1.3.5 晶格结构实例—CsCl结构
Cs和Cl分别构成简立方格子，彼此在空间有一个位移 注意：CsCl不是体心立方，而是简立方结构！
学习材料 25
第1章 晶体结构
1-1 晶体的概念及其特性
1-2 晶格结构
1-3 晶格的周期性
1.3.1 晶格周期性的描述：原胞和基矢 1.3.2 一些简单的晶格 1.3.3 复式晶格 1.3.4 布拉伐格子(Bravais lattice) 1.3.5 晶格结构实例
1-4 晶向和晶面
1.4.1 晶向 1.4.2 晶面
1-5 晶体的宏观对称性
1-6 群的概念
1-7 晶格的对称性
1-8 倒格子
1-9 布里渊学习区材料
1
1-1 晶体的概念及其特性
概 念：
晶 体：规则结构，分子或原子按肯定的周期性 排列。长程有序性、有固体的熔点。例如：水晶 、岩盐
非晶体：非规则结构，分子或原子的排列没有明 确的周期性。短程有序性，没有固定的熔点。 例 如：玻璃、橡胶
学习材料 27
1-3 晶格的周期性
1.3.5 晶格结构实例—钙钛矿结构
钙钛矿型的化学式可写为ABO3
X A代表二价或一价的金属
X B代表四价或五价的金属
X BO3称为氧八面体基团, 是钙钛矿型晶体结构的特点
X 重要介电晶体：钛酸钡〔BaTiO3〕、锆酸铅〔PbZrO3〕、
铌酸锂〔LiNbO3〕、学钽习酸材料锂〔LiTaO3〕
a2
a 2
(i
j
k)
a3
a 2
(i
j
k)
原胞体积
V
a1
(a2
a3)
1 2
a3
单胞内原子数：2 原胞内原子数：1
单胞基矢 单胞体积
a ai
V a
,
b (b
aj
c)
, c
a3
ak
单胞内原子的分数坐标：〔0,0学,习0材〕料(1/2,1/2,1/2)
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1-3 晶格的周期性
1.3.2 一些简单的晶格
1.3.5 晶格结构实例—体心立方
• 为了保证同一层中原子球间的距离等于A-A层之间的距离， 正方排列的原子球并不是紧密靠在一起；
• 由几何关系证明，间隙=0.31r0，r0为原子球的半径。 • 具有体心立方晶格结构的金属：Li、Na 、Cr、 W、 Fe等.
学习材料 20
1-3 晶格的周期性
1.3.5 晶格结构实例—面心立方
学习材料 5
1-2 晶格
理想晶体：实际晶体的数学抽象 以完全相同的根本结构单元〔基元〕规则地，重复的以完 全相同的方法无限地排列而成
格点〔结点〕：基元位置，代表基元的几何点 晶格〔点阵〕：格点〔结点〕的总和 原子种类和间距不同，但有相同的排列规则，则这些原子
构成的晶体具有相同的晶格 简立方(cubic)，面心立方(fcc), 体心立方(bcc),六方
晶向指数是整数，互质
晶胞和原胞类似
学习材料 30
1-4 晶向和晶面
1.4.1 晶向 RA 3a1 a2 a3
RA 2a1 3a2
晶向指数 [311]
晶向指数 [230]
学习材料 31
1-4 晶向和晶面
1.4.1 晶向 简单立方晶格的主要晶向
立方边OA的晶向 [100]
立方边共有6个不同的晶向<100>
学习材料 13
1-3 晶格的周期性
1.3.3 复式晶格
简单晶格：原胞中仅包含1个原子，全部原子的几何位置和 化学性质完全等价
复式晶格：包含两种或更多种等价的原子(或离子) X 两种不同原子或离子构成：NaCl, CsCl X 同种原子但几何位置不等价：金刚石结构、六方密排结
构
Na+和Cl-化学性质不同，不等价
大的周期性单元，又称晶胞。单胞不肯定是原胞
原胞选取不唯一，但有习 惯的选取方法。如三维晶
格原胞通常是 平行 六面体。 a1, a2 , a3
原胞是最小周期性单元，将原胞沿着基矢进行平移便可填充整个空间得到相应晶
体。之所以在原胞之上选取了更大的学单习胞材作料为研究对象，是因为单胞能更好的反
映晶体的对称性，这会在我们分析问题时提供便利。
几何外形：
3
1-1 晶体的概念及其特性
金刚石
石墨
石墨烯
金刚石：复式面心立方结构，最坚硬固体，绝缘体 石墨：层状结构，质软，润滑性好，导体 石墨烯：单层碳原子，优异电输运性能
晶体结构决定物理性能！！
学习材料 4
1-2 晶格
晶格：晶体中原子排列的具体形式一般称为晶体格子，简称为晶格。
金刚石〔立方〕
六角密排晶格(Close-packed Hexagonal Lattice)
基矢：
a1
a 2
(iˆ
3 ˆj)
a2
a 2
(iˆ
3 ˆj)
a3 ckˆ
X 一个原胞中包含A层 和B层原子各一个
X 共两个原子 六角密排晶格的原胞和单胞一学习样材料
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第一讲回忆
什么是固体？ 研究固体的思路？复杂到简单 为什么从研究晶体开始？ 原胞的选取唯一吗？
ABCABC… 密堆积方法排布
堆积比率：被原子〔球〕所占据的 可用体积的最大比率。
配位数：最近邻原子数。指原子间
距最小并相等的原子个数
具有面心立方晶格 结构的金属：Au, Ag, Cu等
面心立方晶格的学堆习材积料 比= 配位数=？
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1-3 晶格的周期性
1.3.5 晶格结构实例—密排六方
ABAB…密排堆垛
学习材料 33
1-4 晶向和晶面
1.4.2 晶面
如何区分不同的晶面？晶面的方向：密勒指数 以晶胞基矢定义的互质整数，用以表示晶面的方向，
称为晶面指数(密勒指数) 求晶面指数的步骤： 确定某平面在直角坐标系 3个轴上的截点，并以晶格
常数为单位测得相应的截距。 取截距的倒数，然后约简为 3 个没有公约数的整数，
石墨〔六方〕
石墨烯〔六方〕
怎样描述不同的晶体结构？？每一个原子的坐标都写出来？？原子数 目1023cm-3量级，不可行！寻觅规律！
规律：金，银，铜虽然化学成分不同，如果不追究其化学成分，即不 管原子是金或银还是铜，不管原子之间间距的大小，那他们是完全相 同的，就是他们的结构完全相同！
数学方法抽象描写：不区分物理、化学成分，每个原子都是不可区分 的，只有原子〔数学上仅仅是一个几何点〕的相对几何排列有意义。
1-3 晶格的周期性
1.3.5 晶格结构实例—闪锌矿ZnS结构
类似金刚石结构，Zn和S分别组成面心立方格子 化合物半导体如GaAs, InP等为闪锌矿结构
学习材料 26
1-3 晶格的周期性
1.3.5 晶格结构实例—纤锌矿ZnS结构
类似密排六方结构，Zn和S分别组成六方格子 化合物半导体如ZnTe, AgI等为纤锌矿结构
单胞基矢 a ai , b aj, c ak
单胞体积
V
a
(b
c
)学习a材料3
(1/2,0,1/2) (1/2,1/2,0) (0,1/2,1/2)
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1-3 晶格的周期性
1.3.2 一些简单的晶格
体心立方晶格(Body-centered Cubic) 原胞基矢
a a1 2 (i j k )
晶体结构 = 点阵〔数学几何点〕 + 基元〔物理〕 学习材料
布拉伐格子是数学抽象，是点在空间的周期性排列。 18
1-3 晶格的周期性
1.3.5 晶格结构实例—简单立方
简立方晶格在实际晶体中并不罕见〔CsCl, NH4Cl,CuZn等〕但一般常见的元素不结晶为简立方结构。
学习材料 19
1-3 晶格的周期性