人教版高中数学必修二精讲练导学案7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义(解析版)

7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
导学案
编写:XXX 初审:XXX 终审:XXX 廖云波
【学习目标】
1.利用复数三角形式熟练进行复数乘除运算,并能根据乘除运算的几何意义解决相关问题
2.注意多种解题方法的灵活运用,体会数形结合、分类讨论等数学思想方法
【自主学习】
知识点1 复数的三角形式的运算
设z 1＝r 1( cos θ1＋isin θ1),z 2＝r 2( cos θ2＋isin θ2),则
( 1)乘法:z 1·z 2＝r 1r 2[cos( θ1＋θ2)＋isin( θ1＋θ2)],这就是说,两个复数相乘,积的模等于各复数的模的积,积的辐角等于各复数的辐角的和．
( 2)除法:z 1÷z 2＝z 1z 2＝r 1
r 2
[cos( θ1－θ2)＋isin( θ1－θ2)]( 其中z 2≠0),
这就是说,两个复数相除,商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差． ( 3)乘方:z n ＝r n ( cos nθ＋isin nθ)．
( 4)开方:n z ＝n
r ( cos θ＋2k πn ＋isin θ＋2k πn )( k ＝0,1,2,…,n －1)．
知识点2 复数三角形式乘、除运算的几何意义
两个复数z 1,z 2相乘时,可以像图中所示那样,先分别画出与z 1,z 2对应的向量OZ1→,OZ2→
,然后把向量OZ1→绕点O 按逆时针方向旋转一个角θ2( 如果θ2<0,就要把OZ1→
按顺时针方向旋转一个角|θ2|),再把它的模变为原来的r 2倍,得到向量OZ →,OZ →
表示的复数就是积z 1z 2.这就是复数乘法的几何意义．
z 2≠0,z 1z 2的几何意义是把z 的对应向量OZ1→按顺时针方向旋转一个角θ2( 如果θ2<0,就要把OZ1
→按逆时针方向旋转一个角|θ2|),再把它的模变为原来的1r 2倍,所得的向量即表示商z 1
z 2
.
【合作探究】
探究一 复数的三角形式的乘、除运算 【例1】2( cos π12＋isin π12)·3( cos π6＋isin π
6)．
[解]
2( cos π12＋isin π12)·3( cos π6＋isin π
6
)
＝2·3[cos(
π12＋π6)＋isin( π12＋π6
)] ＝6( cos π4＋isin π
4)
＝6( 22＋2
2
i)＝3＋3i.
归纳总结:r 1( cos θ1＋isin θ1( ·r 2( cos θ2＋isin θ2( ＝r 1r 2[cos ( θ1＋θ2( ＋isin ( θ1＋θ2( ]计算,简便得多.这就是复数的三角形式乘法运算公式.
【练习1】设复数z ＝cos θ＋isin θ,θ∈( π,2π),求复数z 2＋z 的模和辐角． 解:z 2＋z ＝( cos θ＋isin θ)2＋cos θ＋isin θ ＝cos2θ＋isin2θ＋cos θ＋isin θ ＝( cos2θ＋cos θ)＋i( sin2θ＋sin θ) ＝2cos 3θ2cos θ2＋i( 2sin 3θ2cos θ
2)
＝2cos θ2( cos 32θ＋isin 3
2θ)
＝－2cos θ2
⨯
⎣
⎡⎦⎤cos (－π＋32θ)＋isin (－π＋32θ).
∵θ∈( π,2π),∴θ2∈( π
2,π),
∴－2cos θ
2
>0,
所以复数z 2＋z 的模为－2cos θ2,辐角为( 2k －1)π＋3θ
2( k ∈Z )．
探究二 复数的乘、除运算的几何意义
【例2】向量OZ →与－1＋i 对应,把OZ →按逆时针方向旋转120°,得到OZ ′→,求与向量OZ ′→
对应的复数
[解] 将向量OZ →逆时针方向旋转120°,得到OZ ′→,由于模未发生变化,应当是OZ →
对应复数乘以1·( cos120°＋isin120°),
即z ′＝( －1＋i)( cos120°＋isin120°)＝2( cos135°＋isin135°)( cos120°＋isin120°)＝2( cos255°＋isin255°)＝1－32－1＋3
2
i.
归纳总结:利用复数乘、除法的几何意义来解决三角形中角的大小问题,十分方便
【练习2】如图,已知平面内并列的三个相等的正方形,利用复数证明∠1＋∠2＋∠3＝π
2
.
证明:∈1,∈2,∈3分别等于复数1＋i,2＋i,3＋i 的辐角主值,这样∈1＋∈2＋∈3就是( 1＋i)( 2＋i)( 3＋i)＝10i 的辐角,∈1,∈2,∈3都是锐角,所以∈1＋∈2＋∈3＝π
2.
课后作业
A 组 基础题
一、选择题
1．复数( sin10°＋icos10°)3的三角形式为( )
A ．sin30°＋icos30°
B ．cos240°＋isin240°
C ．cos30°＋isin30°
D ．sin240°＋icos240°
【正确答案】B
2．若z ＝cos θ－isin θ,则使z 2＝－1的θ值可能是( )
A ．0 B.π
2 C ．π D ．2π
【正确答案】B
详细解析:∈z ＝cos θ－isin θ＝cos( －θ)＋isin( －θ), ∈z 2＝z ·z ＝cos( －2θ)＋isin( －2θ)＝cos2θ－isin2θ＝－1,
∈⎩
⎪⎨⎪⎧
cos2θ＝－1，－sin2θ＝0∈θ＝π2.
3．4( cos60°＋isin60°)×3( cos150°＋isin150°)＝( )
A ．63＋6i
B ．63－6i
C ．－63＋6i
D ．－63－6i
【正确答案】D
详细解析:4( cos60°＋isin60°)×3( cos150°＋isin150°)＝12[cos( 60°＋150°)＋isin( 60°＋150°)]＝12( cos210°＋isin210°)＝12⎝
⎛⎭
⎫
－
32－12i ＝－63－6i.故选D. 4．复数z 1＝1,z 2是由z 1绕原点O 逆时针方向旋转π
6而得到,则arg( z 2－z 12
)的值为( )
A.π
12 B.π3 C.5π12
D.7π12
【正确答案】D
5．( 多选)设z 1、z 2是复数,arg z 1＝α,arg z 2＝β,则arg( z 1·z 2)有可能是下列情况中的( )
A ．α＋β
B ．α＋β－2π
C ．2π－( α＋β)
D ．π＋α＋β
【正确答案】ABC
详细解析:因为arg z 1＝α,arg z 2＝β,所以α∈[0,2π),β∈[0,2π),而arg( z 1·z 2)∈[0,2π),则当α＋β∈[0,2π)时,arg( z 1·z 2)＝α＋β;当α＋β∈[2π,4π)时,α＋β－2π∈[0,2π),则arg( z 1·z 2)＝α＋β－2π;当α＋β＝π时,2π－( α＋β)＝π＝α＋β,此时arg( z 1·z 2)＝α＋β＝2π－( α＋β),故选ABC. 二、填空题
6．复数－i 的一个立方根是i,它的另外两个立方根是 . 【正确答案】－
32－12i,32－12
i 详细解析:∵－i ＝cos 3π2＋isin 3π2,其立方根是cos 2k π＋3π23＋isin 2k π＋
3π23,k ∈0,1,2,即i,－32－
1
2i,32－1
2
i. 三、参考解答题
7．计算:4( cos 4π3＋isin 4π3)÷2( cos 5π6＋isin 5π
6)．
解:原式＝2[cos(
4π3－5π6)＋isin( 4π3－5π
6
)] ＝2( cos π2＋isin π
2
)＝2i.
8．把复数z 1与z 2对应的向量OA →,OB →分别按逆时针方向旋转π4和5π3后,重合于向量OM →
且模相等,
已知z 2＝－1－3i,求复数z 1的代数形式和它的辐角主值． 解:由复数乘法的几何意义得 z 1( cos π4＋isin π4)＝z 2( cos 5π3＋isin 5π3),
又z 2＝－1－3i ＝2( cos 4π3＋isin 4π3
),
∴z 1＝2(cos 4π3＋isin 4π3)·(cos 5π3＋isin 5π3
)
cos π4＋isin π4
＝2[cos( 3π－π4)＋isin( 3π－π
4)]
＝－2＋2i,z 1的辐角主值为3π
4
.
9．计算:3( cos π6＋isin π6)·4( cos π12＋isin π
12)．
解:原式＝43[cos( π6＋π12)＋isin( π6＋π
12)]
＝43( cos π4＋isin π
4
)＝26＋26i.
10．若z ＝3( cos π6＋isin π
6),求z 2与z 3的值．
解:z 2＝z ·z ＝( 3)2[cos( π6＋π6)＋isin( π6＋π
6)]
＝3( cos π3＋isin π3)＝32＋33
2
i.
z 3＝z ·z ·z ＝( 3)3[cos( π6×3)＋isin( π
6×3)]
＝33( cos π2＋isin π
2
)＝33i.
11．在复平面上A ,B 表示复数为α,β( α≠0),且β＝( 1＋i)α,判断△AOB 形状, 并证明S △AOB ＝1
2
|α|2.
解:∈AOB 为等腰直角三角形． 证明:∵α≠0,∴β＝( 1＋i)α,
∴βα＝1＋i ＝2( cos π4＋isin π4),∴∠AOB ＝π4; ∵OA →,AB →
分别表示复数α,β－α,
由β－α＝αi,得β－αα＝i ＝cos π2＋isin π
2,
∴∠OAB ＝90°,∴△AOB 为等腰直角三角形． ∴S △AOB ＝12|OA |2＝1
2
|α|2.
12．设复数z 1＝3＋i,复数z 2满足|z 2|＝2,已知z 1·z 22的对应点在虚轴的负半轴上,且arg z 2∈( 0,π),求z 2的代数形式．
解:因为z 1＝2( cos π6＋isin π6),设z 2＝2( cos α＋isin α),α∈( 0,π),所以z 1z 22
＝8[cos( 2α＋π6)＋isin( 2α＋π6)]．由题设知2α＋π6＝2k π＋3π2( k ∈Z ),所以α＝k π＋2π3( k ∈Z ),又α∈( 0,π),所以α＝2π
3,
所以z 2＝2( cos 2π3＋isin 2π
3)＝－1＋3i.
B 组 能力提升
一、选择题
1．复数z ＝sin π6－icos π
6
,若z n ＝Z ( n ∈N ),则n 的最小值是( )
A ．1
B ．3
C ．5
D ．7
【正确答案】C
详细解析:因为z ＝sin π6－icos π6＝cos 5π3＋isin 5π3,所以z n ＝cos 5n 3π＋isin 5n 3π,Z ＝cos 5π3－isin 5π
3＝
cos π3＋isin π3.因为z n ＝Z ,所以5n 3π＝π
3＋2k π,n ＝6k ＋15,因为n ∈N ,k ∈Z ,所以当k ＝4时,n ＝5. 2.设复数z 1＝2sin θ＋icos θ( π4<θ<π2)在复平面上对应向量OZ 1→,将OZ 1→
按顺时针方向旋转3π4后得
到向量OZ 2→,OZ 2→
对应复数z 2＝r ( cos φ＋isin φ),则tan φ＝( )
A.2tan θ＋12tan θ－1
B.2tan θ－12tan θ＋1
C.12tan θ＋1
D.12tan θ－1 【正确答案】A 二、填空题
3．( 1－3i)7
详细解析:( 1－3i)7＝⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫cos 5π3
＋isin 5π37 ＝27⎝⎛⎭⎫cos 35π3＋isin 35π
3 ＝128⎝⎛⎭⎫12－3
2i ＝64－643i.
三、参考解答题
4．若z ∈C ,|z －2|≤1,求|z |的最大值,最小值和arg z 范围．
解:如图,由|z －2|≤1,知z 的轨迹为复平面上以( 2,0)为圆心,1为半径的圆面( 包括圆周),|z |表示圆面上任一点到原点的距离．
显然1≤|z |≤3,∈|z |max ＝3,|z |min ＝1,
另设圆的两条切线为OA ,OB ,A ,B 为切点,由|CA |＝1,|OC |＝2知∈AOC ＝∈BOC ＝π6,∈arg z ∈[0,π6]∈[116
π,2π)．
5．已知复数z 1＝－2＋i 对应的点为P 1,z 2＝－3＋4i 对应的点为P 2,把向量P 1P 2→绕P 1点按顺时
针方向旋转π2
后,得到向量P 1P →,求向量P 1P →和点P 对应的复数分别是什么? 解:由题意知向量P 1P 2→对应的复数是z 2－z 1＝( －3＋4i)－( －2＋i)＝－1＋3i.再由复数乘法
的几何意义得,向量P 1P →对应的复数是( －1＋3i)·⎣⎡⎦
⎤cos ⎝⎛⎭⎫－π2＋isin ⎝⎛⎭⎫－π2＝3＋i,最后由复数加法的几何意义得,向量OP →＝OP 1→＋P 1P →,其对应的复数是( －2＋i)＋( 3＋i)＝1＋2i,故点P 对应
的复数为1＋2i.
6．已知z ＝－1＋i i －2i,z 1－z ·z 2＝0,arg z 2＝7π12
,若z 1,z 2在复平面上分别对应点A ,B ,且|AB |＝2,求z 1的立方根．
解:由题设知z ＝1－i,因为|AB |＝2,
即|z 1－z 2|＝2,
所以|z 1－z 2|＝|z z 2－z 2|＝|( 1＋i)z 2－z 2|＝|i z 2|＝|z 2|＝2,
又arg z 2＝7π12
, 所以z 2＝2( cos 7π12＋isin 7π12
),z 1＝z z 2＝( 1＋i)z 2 ＝2( cos π4＋isin π4)·2( cos 7π12＋isin 7π12
) ＝2( cos 5π6＋isin 5π6
),
所以z 1的立方根为32[cos 5π6＋2k π3＋isin 5π6＋2k π3
],k ＝0,1,2, 即32( cos 5π18＋isin 5π18),32( cos 17π18＋isin 17π18), 32( cos 29π18＋isin 29π18
)．。