2020年中考数学人教版专题复习教案设计：一元一次不等式组及其应用

2020年中考数学人教版专题复习：一元一次不等式组及其应用
考点考纲要求分值考向预测
一元一次不等式组及其应用1.理解并掌握一元一次不等式组
定义及解法,能够正确解出一元一
次不等式组；
2.掌握一元一次不等式组的整数
解的求法；
3.利用一元一次不等式组解决实
际问题。

10~15分
一元一次不等式组在中考中最
主要的出题形式是在方案分析
与选择类习题中应用，通过不等
式组的整数解，求出相应的方案
及选择最优化方案，分值较大，
另外的出题趋势是在填选中出
现求解集的问题。

考点精讲
一元一次不等式组
1.概念
一般地，含有同一个.未知数的几个一元一次不等式合在一起就组成一个一元一次不等式组。

一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。

求一元一次不等式组解集的过程叫解一元一次不等式组。

2.解法
先解出各个不等式的解集，然后再找出它们的公共部分。

求不等式组解集的方.法:
一元一次
不等式组
解集图示语言表达
V x>a,
(Q<Z?) x>b x>b
-J___I________>
a b
同大取大
x<a,
(a<b) x<b x<a
一1____,
同小取小□___i____>
a b
V x>a i
(a<b) x<b a<x<b-J___1____>
a b
大小小大中间取
【重要提示】
V x < a
,(a < b)x> b 无解i >a b 大大小小无解答
求不等式组解集的关键是找不等式解集的“公共部分”。

若有“公共部分”，“公共部分” 即为解集；若无“公共部分”，则不等式组无解。

【随堂练习】
2x-l>5
①（黄冈）解不等式组： ，并在数轴上表示出不等式组的解集。

竺二-1小②
I 2
答案：解：由①得：x>3,由②得：x>l,
则不等式组的解集是：x>3…
思路分析：先求出不等式组中每一个不等式的解集，再把不等式的解集表示在数轴上, 然后求出它们的“公共部分”即可。

3.应用
根据问题中的不等关系列出不等式（组），把实际问题转化成数学问题，再通过解不等 式（组）.得到实际问题的答案。

用不等式（组）解决实际问题的关键是找出题中各量之间 的相等和不等关系，列出正确的等式和不等式，在解的时候，要注意不等号方向是否需要改 变，所得的解是否符合实际意义，把不合题意的解舍去。

一般步骤：
① 审题，找出不等关系；
② 设未知数；
③ 列出不等式；
④ 求出不等式的解集；
⑤ 找出符合题意的值；
⑥ 作答。

典例精析
4(x-l)+2>3x
例题1已知关于x的不等式组J6x+a，有且只有三个整数解，则a的取值
%-1<------
I7
范围是()
A.-2<a<-l
B.-2<a<-l
C.-2<a<-l
D.—2<a<—1
思路分析：先求出不等式组的解集，再根据不等式组有且只有三个整数解求出整数解,得出5<7+a<6即可。

'4(%-1)+2>3%
答案：解；由<6x+a得；2<x<7+a,
%-1<------
I7
...有且只有三个整数解，...x=3或4或5,...7+a的取值范围是5<7+a<6,
.La的取值范围是一2<a<—1,故选C。

技巧点拨：本题考查了不等式的整数解，关键是根据不等式组的整数解求出取值范围,用到的知识点是一元一次不等式的解法。

例题2阅读下列材料：解答“已知X—y=2,且x>l,y<0,试确定x+y的取值范围”有如下解法：
解：Vx—y=2,...x=y+2,又Vx>l,.'.y+2>l,.'.y>—1,
又Vy<0,-l<y<0①
同理得：l<x<2②
由①+②得一l+l<y+x<0+2,/.x+y的取值范围是0<x+y<2。

请按照上述方法，完成下列问题：
(1)已知x—y=3,且x>2,y<l,则x+y的取值范围是。

(2)已知y>l,x<—1,若x—y=.a成立，求x+y的取值范围(结果用含a的式子表示)。

思路分析：(1)根据阅读材料所给的解题过程，直接套用解答即可；
(2)理解解题过程，按照解题思路求解，注意，由y>l,x<.-l可知a<—2,否则怕有误解。

答案：解：(1)Vx—y=3,.♦.x=y+3,又Vx>2,.*.y+3>2,.'.y>—l e
又Vy<l,.\-l<y<l,①
同理得：2<x<4,.②
由①+②得一l+2<y+x<l+4,/.x+y的取值范围是l<x+y<5：
(2)"/x—y=a,.・.x=y+a,X'/x<—1,.'.y+a<—1,.".y<—a—1,
又y>1,/.l<y<_a—1,①
同理得：a+l<x<—1,②
由①+②得l+a+l<y+x<-a-l+(-1),
.♦.x+y的取值范围是a+2<x+y<—a—2。

技巧点拨：本题考查了一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是仔细阅读材料，理解解题过程，难度一般。

例题3(宜宾)在我市举行的中学生安全知识竞赛中共有20道题。

每一题答对得5分，答错或不答都扣3分。

(1)小李考了60分，那么小李答对了多少道题？
(2)小王获得二等奖(75〜85分)，请你算算小王答对了几道题？
思路分析：(1)设小李答对了x道题，则有(20—X)道题答错或不答，根据答对题目的得分减去答错或不答题目的扣分等于60分，即可得到一个关于X的方程，解方程即可求解；(2)先设小王答对了y道题，根据二等奖在75分〜85分之间，列出不等式组，求出y 的取值范围，再根据y只能取正整数，即可得出答案。

答案：解：(1)设小李答对了x道题，
依题意得5x—3(20—X)=60,解得：x=15。

答：小李答对了15道题。

(2)设小王答对了y道题,
依题意得:
5y-3(20-y)>75
‘5y—3(20—y)<85
，解得:詈电遗,
Ly是正整数,.Ly=17或18,
答：小王答对了17或18道题。

提分宝典
【技巧突破】
利用一元一次不等式组进行方案的设计与最优化方案选择
在实际问题中，往往需要数值为整数，这样我们就可以利用一元一次不等式组，根据题意，正确解出取值范围，并根据问题选择正整数解，就可以设计出方案，再利用方案中的具体值，根据利润、费用等条件进行方案的最优化选择，这种问题通常都是综合性的，考查内容较多，可能会综合函数、方程，甚至会出现数形结合，是中考的热点问题。

同学们要注意在取值是否包含两端值，不要漏解。

【满分训练】
(四川内江)某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降。

今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，.如果卖出相同数量的A 款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元。

(1)今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？
(2)为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？
(3)如果B款汽车每辆售价为&万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使(2)中所有的方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？
思路分析：(1)求单价，总价明显，应根据数量来列等量关系，等量关系为：今年的销售数量=去年的销售数量。

(2)关系式为：99<A款汽车总价+B款汽车总价<105=(3)方案获利相同，说明与所设的未知数无关，让未知数x的系数为0即可；对公司更有利，因为A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，所以要多进B款。

QQ10Q 答案：解：(1)设今年5月份A款汽车每辆售价m万元，贝上一=----,
m m+1解得:m=9。

经检验，m=9是原方程的根且符合题意。

答：今年5月份A款汽车每辆售价m万元；
.(2)设购进A款汽车x量。

贝U：99<7.5x+6(15—x)<105=解得：6<x<10o
因为x的正整数解为6,7,8,9,10,所以共有5种进货方案。

(3)设总获利为W元，贝上W=(9-7.5)x+(8-6-a)(15—x)=(a—0.5)x+ 30-15a,
当a=0.5时，(2)中所有方案获利相同。

此时，购买A款汽车6辆，B款汽车9辆时对公司更有利.。

技巧点拨：本题考查分式方程和一元一次不等式组的综合应用，找到合适的等量关系及不等关系是解决问题的关键。

同步测试
1. 小燕子要在鱼缸里饲养A 、B 两种观赏鱼,A 种观赏鱼的生长温度x°C 的范围是15<x<28,B 种观赏鱼的生长温度y°C 的范围是19<y<25,那么鱼缸里的温度T°C 应该设定在( )
A. 15<T<28
B.15<T<25
C. 19<T<25
D. 19<T<28
f2x + l>02. 一元一次不等式组｛ 的解集中，整数解的个数是(
)
x-5 <0A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
3. 不等式组一2Vx+l<l 的解集，在数轴上表示正确的是(
)4.某班组织20名同学去春游，同时租用两种型号的车辆，一种车每辆有8个座位，另一 种车每辆有4个座位，要求租用的车辆不留空座，也不能超载。

租车方案共有( )种
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
5.关于X 的不等式组:2X + 53
>%-5有5个整数解，则a 的取值范围是
x + 3<-x + a
6.对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为(x),即当n 为非负整数时，若n--<x< 2 n+：,贝!| (x) =n,如(0.46) =0, (3.67)=4。

给出下列关于(x)的结论：①(1.493) =1；②(2x) =2 (x)；③若(?x-l) =4,则实数x 的取值范围是9<x<ll ；④当X20, m 为非负整数时，有(m + 2013x) =m+ (2013x)； (5)(x+y) = (x) + (y)；
其中，正确的结论有 (填写所有正确的序号)。

7阅.读材料：解分式不等式竺9<0
x-l
式可转化为：①，解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等3x + 6>0
解①得：无解，解②得：一2<x<l 。

所以原不
%-1<03X + 6V0 %-1>0等式的解集是一2<X<1…请仿照上述方法解下列分式不等式
:
,、x-4
(1)------<0；
2x+5
x+2
(2)------>0o
2x-6
8.今年我市水果大丰收，A、B两个水果基地分别收获水果380件、320件，现需把这些水果全部运往甲、乙两销售点，从A基地运往甲、乙两销售点的费用分别为每件40元和20元，从B基地运往甲、乙两销售点的费用分别为每件15元和30元，现甲销售点需要水果400件，乙销售点需要水果300件。

(1)设从A基地运往甲销售点水果x件，总运费为w元，请用含x的代数式表示w”并写出x的取值范围；
(2)若总运费不超过18300元，且A地运往甲销售点的水果不低于200件，试确定运费最低的运输方案，并求出最低运费。

试题答案
1.C解：根据题意，得<15<T<28
,则19<T<25,故选C。

19<T<25
2.C解：I.解不等式2x+l>0得：x>--,解不等式X-5M0得：x<5,
2
...不等式组的解集是一L<x<5,整数解为0,1,2,3,4,5,共6个，故选C。

2
3.B解：I,由题意可得｛,由①得，x>—3,由②得，x<0,
x+l<l②
A-3<x<0,在数轴上表示为:
故选B。

4.A解：设租用每辆8个座位的车x辆，每辆有4个座位的车y辆，根据题意得：8x+ 4y=20,
整理得：2x+y=5,・.危、y都是正整数，.・.x=1时，y=3；x=2时，y=l,x=3时，y =—1(不符合题意，舍去)，所以，共有2种租车方案。

故选A。

]][2x+5〉x5
5.—6<a<—一解：，3,解不等式①，得x<20,解不等式②，得x>3—
2h+3>一一
----<x+a
I2
2a,I•不等式组有5个整数解，依次为：19,18,17,16,15,A14<3-2a<15,解得一6
<a<——o故本题答案为：一6<a《一一o
22
6.①③④解：①(1.493)=1,正确；
②(2x)*2(x),例如当x=0.3时，(2x)—1,2(x)=0,故②错误；
③若(?x-：L)=4,则4-y<yX-l<4+y,解得：9<x<ll,故③正确；
④m为整数，不影响“四舍五入”，故(m+2013x)=m+(2013x),故④正确；
⑤(x+y)h(x)+(y),例如x=0.3,y=0.4时，(x+y)=1,(x)+(y)=0,故
⑤错误。

综上可得①③④正确。

故答案为：①③④。

7,解：(1)根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此,
原不等式可转化为:
%-4>0 2%+5<0
%-4<0
2%+5>0
解①得：无解，解②得：一2.5<x<4或②<
所以原不等式的解集是：一2.5<x“；
(2)根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式
fx+2>0fx+2<0
可转化为：①】或②{解①得：x>3,解②得：x<-2»
2x-6>0[2x-6<0
所以原不等式的解集是：x>3或x<—2。

8.解：(1)设从A基地运往甲销售点水果x件，则从A基地运往乙销售点的水果(380—x)件，从B基地运往甲销售点水果(400—x)件，运往乙基地(x—80)件，由题意得，W=40x+20(380-x)+15(400-x)+30(x-80)=35x+11000,
x>0
380—x>0
即W=35x+11000,,.\80<x<380,即x的取值范围是80笠380；
400-x>0—
x-80>0
(2)...A地运往甲销售点的水果不低于200件，.Ix/OO,V35>0,
运费W随•着x的增大而增大，.•.当x=200时，运费最低，为35x200+11000=18000元，
此时，从A基地运往甲销售点水果200件，从A基地运往乙销售点的水果180件，
从B基地运往甲销售点水果200件，运往乙基地120件。