专题5.2 平面向量的基本定理及坐标表示(讲)(解析版)

专题5.2 平面向量的基本定理及坐标表示
1.了解平面向量的基本定理及其意义；
2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；
4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
知识点一 平面向量基本定理
如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.
其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 知识点二 平面向量的坐标运算
知识点三 平面向量共线的坐标表示
设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.,
(1)基底e 1，e 2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底； (2)基底给定，同一向量的分解形式唯一；
(3)如果对于一组基底e 1，e 2，有a ＝λ1e 1＋λ2e 2＝μ1e 1＋μ2e 2，则可以得到⎩⎪⎨⎪⎧
λ1＝μ1，λ2＝μ2
.
知识点四 必备结论
1．若a 与b 不共线，且λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.
2．已知P 为线段AB 的中点，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则P 点坐标为⎝⎛
⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.
3．已知△ABC 的顶点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心G 的坐标为⎝⎛
⎭⎫
x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33.
4．A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)三点共线的充要条件为(x 2－x 1)(y 3－y 1)－(x 3－x 1)(y 2－y 1)＝0，或(x 2－x 1)(y 3－y 2)＝(x 3－x 2)(y 2－y 1)，或(x 3－x 1)(y 3－y 2)＝(x 3－x 2)·(y 3－y 1)．
考点一 平面向量基本定理及其应用
【典例1】 (2019·河北衡水中学调研)一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB ，AD 分别交于点E ，F ，且交其对角线AC 于点M ，若AB →＝2AE →，AD →＝3AF →，AM →＝λAB →－μAC →
(λ，μ∈R)，则52
μ－λ＝( )
A.－12
B.1
C.32
D.－3
【答案】A
【解析】 (1)AM →＝λAB →－μAC →＝λAB →－μ(AB →＋AD →
) ＝(λ－μ)AB →－μAD →＝2(λ－μ)AE →－3μAF →
.
因为E ，M ，F 三点共线，所以2(λ－μ)＋(－3μ)＝1， 即2λ－5μ＝1，∴52μ－λ＝－1
2
.
【方法技巧】平面向量基本定理的实质及应用思路
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
【变式1】（2019·安徽安庆一中质检）如图，已知平行四边形ABCD 的边BC ，CD 的中点分别是K ，L ，且AK ―→＝e 1，AL ―→＝e 2，试用e 1，e 2表示BC ―→，CD ―→。

【解析】设BC ―→＝x ，CD ―→＝y ，则BK ―→＝12x ，DL ―→
＝－12y .
由AB ―→＋BK ―→＝AK ―→，AD ―→＋DL ―→＝AL ―→
，
得⎩⎨⎧
－y ＋1
2
x ＝e 1， ①
x －1
2y ＝e 2
，
②
①＋②×(－2)，得1
2x －2x ＝e 1－2e 2，
即x ＝－23(e 1－2e 2)＝－23e 1＋4
3e 2，
所以BC ―→
＝－23e 1＋43
e 2.
同理可得y ＝－43e 1＋23e 2，即CD ―→
＝－43e 1＋23
e 2.
考点二 二平面向量的坐标运算
【典例2】（2019·天津新华中学调研）设A (0，1)，B (1，3)，C (－1，5)，D (0，－1)，则AB →＋AC →
等于( )
A.－2AD →
B.2AD →
C.－3AD →
D.3AD → 【答案】C
【解析】由题意得AB →＝(1，2)，AC →＝(－1，4)，AD →＝(0，－2)，所以AB →＋AC →
＝(0，6)＝－3(0，－2)＝－3AD →.
【方法技巧】求解向量坐标运算问题的一般思路 (1)向量问题坐标化
向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算．
(2)巧借方程思想求坐标
向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．
(3)妙用待定系数法求系数
利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数．
【变式2】（2019·吉林实验中学模拟）已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且MP ―→＝12MN ―→
，则P 点的
坐标为( )
A ．(－8,1) B.⎝⎛⎭⎫－1，－3
2 C.⎝⎛⎭⎫1，32 D ．(8，－1)
【答案】B
【解析】设P(x ，y)，则MP ―→
＝ (x －3，y ＋2)，而12MN ―→＝12(－8,1)＝⎝⎛⎭⎫－4，12，所以⎩⎪⎨⎪⎧
x －3＝－4，y ＋2＝12，解
得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－1，y ＝－32，
所以P ⎝
⎛⎭⎫－1，－3
2. 考点三 利用两向量共线求参数
【典例3】 (2018·全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b)，则λ＝________。

【答案】1
2
【解析】因为2a ＋b ＝(4,2)，c ∥(2a ＋b)， 所以4λ＝2，解得λ＝1
2
.
【方法技巧】如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．
【变式3】（2019·广东肇庆一中期末）设向量OA →＝(1，－2)，OB →＝(2m ，－1)，OC →
＝(－2n ，0)，m ，n ∈R ，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则m ＋n 的最大值为( )
A.－3
B.－2
C.2
D.3
【答案】A
【解析】由题意易知，AB →∥AC →，其中AB →＝OB →－OA →＝(2m －1，1)，AC →＝OC →－OA →
＝(－2n －1，2)， 所以(2m －1)×2＝1×(－2n －1)，得：2m ＋
1＋2n ＝1. 2m ＋
1＋2n ≥22m
＋n ＋1
，所以2m
＋n ＋1
≤2－
2，即m ＋n ≤－3.
考点四 利用两向量共线求向量坐标
【典例4】（2019·山东青岛一二中质检）已知梯形ABCD 中，AB ∥DC ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1，2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．
【答案】(2,4)
【解析】∵在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，AB ∥DC ， ∴DC ―→＝2AB ―→
.设点D 的坐标为(x ，y )， 则DC ―→＝(4－x ，2－y )，AB ―→
＝(1，－1)， ∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2，y ＝4，
故点D 的坐标为(2,4)．
【方法技巧】一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．
【变式4】（2019·河北邯郸一中模拟）已知点A (4，0)，B (4，4)，C (2，6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________。

【答案】(3，3)
【解析】方法一 由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →
＝(4λ，4λ)， 则AP →＝OP →－OA →
＝(4λ－4，4λ). 又AC →＝OC →－OA →
＝(－2，6)，
由AP →与AC →
共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0， 解得λ＝34
，
所以OP →＝34OB →
＝(3，3)，
所以点P 的坐标为(3，3).
方法二 设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4，4)，且OP →与OB →
共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y .
又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2，6)，且AP →与AC →
共线， 所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3， 所以点P 的坐标为(3，3).。