1-1二阶与三阶行列式
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0,
如果三元线性方程组
a 11
的系数行列式
D a 21 a 31
a 11 D a 21 a 31 a 11 D 2 a 21 a 31
a 12 a 22 a 32 b1 b2 b3
a 13 a 23 a 33 a 13 a 23 , a 33
b1 D 1 b2 b3 a 11 D 3 a 21 a 31
定义
设有 9 个数排成 a 11 a 21 a 12 a 22 a 32 3 行 3 列的数表 a 13 a 23 a 33 (5)
记
a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33
a 31
a 11 a 22 a 33 a 12 a 23 a 31 a 13 a 21 a 32
若记 系数行列式
D
a 11 a 21
a 12 a 22
,
a 11 x 1 a 12 x 2 b1 , a 21 x 1 a 22 x 2 b 2 .
D1
b1 b2
a 12 a 22
,
a 11 x 1 a 12 x 2 b1 , a 21 x 1 a 22 x 2 b 2 .
D2
a 11 a 21
b1 b2
.
则二元线性方程组的解为
b1 x1 D1 D b2 a 11 a 21 a 12 a 22 a 12 a 22 , x2 D2 D a 11 a 21 a 11 a 21 b1 b2 a 12 a 22 .
注意
分母都为原方程组的系数行列式.
二、三阶行列式
(4)
4）所确定的二阶 (5)
行列式，并记作
即
D
a 11 a 21
a 12 a 22
a 11 a 22 a 12 a 21 .
二阶行列式的计算
主对角线a11a22 a12a21 .
a 22
对于二元线性方程组
a 11 x 1 a 12 x 2 b1 , a 21 x 1 a 22 x 2 b 2 .
b1 a 22 a 12 b 2 a 11 a 22 a 12 a 21
， x2
由方程组的四个系数确定.
定义
由四个数排成二行二列（横排称行、竖排
称列）的数表
a 11 a 12 a 21 a 22
表达式 a 11 a 22 a 12 a 21 称为数表（ a 11 a 21 a 12 a 22
2 2
x 5 x 6,
2
由 x 5 x 0 解得
2
x 2 或 x 3.
例3
解线性方程组
x1 2 x 2 x 3 2, 2 x1 x 2 3 x 3 1, x x x 0. 1 2 3
解
1 D 2
(6)
a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 a 13 a 22 a 31 ,
（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.
a 11 D a 21 a 31
a 12 a 22 a 32
a 13 a 23 a 33
.列标
行标
a 11 a 21 a 31
三阶行列式的计算
(2)对角线法则
a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号．
1
2
1 a 22 : 2 a 12 :
两式相减消去
a 11 a 22 x 1 a 12 a 22 x 2 b1 a 22 , a 12 a 21 x 1 a 12 a 22 x 2 b 2 a 12 ,
x 2，得
（ a 11 a 22 a 12 a 21） x 1 b 1 a 22 a 12 b 2 ;
类似地，消去 x 1，得
（ a 11 a 22 a 12 a 21） x 2 a 11 b 2 b1 a 21 ,
当 a 11 a 22 a 12 a 21 0 时，
方程组的解为
a 11 b 2 b1 a 21 a 11 a 22 a 12 a 21 . （ 3）
x1
由于方程组的系数行列式
2 1 1 1 3 1 1 1 2 3 1 1
1
1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 3 1 5 0,
同理可得
2 D1 1 0 1 D3 2 1 2 1 1 2 1 1 1 3 5, D2 1 2 1 0
5,
1 2 1
2 1 0
1 3 10 , 1
故方程组的解为:
x1 D1 D 1, x2 D2 D 2, x3 D3 D 1.
1 1 4 2 (2) (2) (4) 2 (3)
4 6 32 4 8 24 14 .
1
1 3 9
1 x 0. x
2
例2 解
求解方程
2 4
方程左端
D 3 x 4 x 18 9 x 2 x 12
a 11 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33
a 12 a 22 a 32
(1)沙路法
D a 21 a 31
D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 .
大学数学教程
——线性代数
主讲：戴斌祥教授 制作：戴斌祥教授
第一章
矩阵与行列式
第一节 二阶与三阶行列式
•
一、二阶行列式的引入 二、三阶行列式
•
一、二阶行列式的引入
用消元法解二元线性方程组
a 11 x 1 a 12 x 2 b1 , a 21 x 1 a 22 x 2 b 2 .
说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
2.三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行, 不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为 负. 利用三阶行列式求解三元线性方程组
a 11 x 1 a 12 x 2 a 13 x 3 b 1 , a 21 x 1 a 22 x 2 a 23 x 3 b 2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33
a 12 a 22 a 32 a 12 a 22 a 32
a 13 a 23 , a 33 b1 b2 . b3
则三元线性方程组的解为:
x1 D1 D , x2 D2 D , x3 D3 D .
1
2 2 4
-4 1 -2
例1 解
计算三阶行列式
D -2 -3
按对角线法则，有
D 1 2 (2) 2 1 (3) (4) (2) 4
如果三元线性方程组
a 11
的系数行列式
D a 21 a 31
a 11 D a 21 a 31 a 11 D 2 a 21 a 31
a 12 a 22 a 32 b1 b2 b3
a 13 a 23 a 33 a 13 a 23 , a 33
b1 D 1 b2 b3 a 11 D 3 a 21 a 31
定义
设有 9 个数排成 a 11 a 21 a 12 a 22 a 32 3 行 3 列的数表 a 13 a 23 a 33 (5)
记
a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33
a 31
a 11 a 22 a 33 a 12 a 23 a 31 a 13 a 21 a 32
若记 系数行列式
D
a 11 a 21
a 12 a 22
,
a 11 x 1 a 12 x 2 b1 , a 21 x 1 a 22 x 2 b 2 .
D1
b1 b2
a 12 a 22
,
a 11 x 1 a 12 x 2 b1 , a 21 x 1 a 22 x 2 b 2 .
D2
a 11 a 21
b1 b2
.
则二元线性方程组的解为
b1 x1 D1 D b2 a 11 a 21 a 12 a 22 a 12 a 22 , x2 D2 D a 11 a 21 a 11 a 21 b1 b2 a 12 a 22 .
注意
分母都为原方程组的系数行列式.
二、三阶行列式
(4)
4）所确定的二阶 (5)
行列式，并记作
即
D
a 11 a 21
a 12 a 22
a 11 a 22 a 12 a 21 .
二阶行列式的计算
主对角线a11a22 a12a21 .
a 22
对于二元线性方程组
a 11 x 1 a 12 x 2 b1 , a 21 x 1 a 22 x 2 b 2 .
b1 a 22 a 12 b 2 a 11 a 22 a 12 a 21
， x2
由方程组的四个系数确定.
定义
由四个数排成二行二列（横排称行、竖排
称列）的数表
a 11 a 12 a 21 a 22
表达式 a 11 a 22 a 12 a 21 称为数表（ a 11 a 21 a 12 a 22
2 2
x 5 x 6,
2
由 x 5 x 0 解得
2
x 2 或 x 3.
例3
解线性方程组
x1 2 x 2 x 3 2, 2 x1 x 2 3 x 3 1, x x x 0. 1 2 3
解
1 D 2
(6)
a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 a 13 a 22 a 31 ,
（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.
a 11 D a 21 a 31
a 12 a 22 a 32
a 13 a 23 a 33
.列标
行标
a 11 a 21 a 31
三阶行列式的计算
(2)对角线法则
a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号．
1
2
1 a 22 : 2 a 12 :
两式相减消去
a 11 a 22 x 1 a 12 a 22 x 2 b1 a 22 , a 12 a 21 x 1 a 12 a 22 x 2 b 2 a 12 ,
x 2，得
（ a 11 a 22 a 12 a 21） x 1 b 1 a 22 a 12 b 2 ;
类似地，消去 x 1，得
（ a 11 a 22 a 12 a 21） x 2 a 11 b 2 b1 a 21 ,
当 a 11 a 22 a 12 a 21 0 时，
方程组的解为
a 11 b 2 b1 a 21 a 11 a 22 a 12 a 21 . （ 3）
x1
由于方程组的系数行列式
2 1 1 1 3 1 1 1 2 3 1 1
1
1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 3 1 5 0,
同理可得
2 D1 1 0 1 D3 2 1 2 1 1 2 1 1 1 3 5, D2 1 2 1 0
5,
1 2 1
2 1 0
1 3 10 , 1
故方程组的解为:
x1 D1 D 1, x2 D2 D 2, x3 D3 D 1.
1 1 4 2 (2) (2) (4) 2 (3)
4 6 32 4 8 24 14 .
1
1 3 9
1 x 0. x
2
例2 解
求解方程
2 4
方程左端
D 3 x 4 x 18 9 x 2 x 12
a 11 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33
a 12 a 22 a 32
(1)沙路法
D a 21 a 31
D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 .
大学数学教程
——线性代数
主讲：戴斌祥教授 制作：戴斌祥教授
第一章
矩阵与行列式
第一节 二阶与三阶行列式
•
一、二阶行列式的引入 二、三阶行列式
•
一、二阶行列式的引入
用消元法解二元线性方程组
a 11 x 1 a 12 x 2 b1 , a 21 x 1 a 22 x 2 b 2 .
说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
2.三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行, 不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为 负. 利用三阶行列式求解三元线性方程组
a 11 x 1 a 12 x 2 a 13 x 3 b 1 , a 21 x 1 a 22 x 2 a 23 x 3 b 2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33
a 12 a 22 a 32 a 12 a 22 a 32
a 13 a 23 , a 33 b1 b2 . b3
则三元线性方程组的解为:
x1 D1 D , x2 D2 D , x3 D3 D .
1
2 2 4
-4 1 -2
例1 解
计算三阶行列式
D -2 -3
按对角线法则，有
D 1 2 (2) 2 1 (3) (4) (2) 4