柱、锥、台体、圆的面积与体积公式

柱、锥、台体、圆的面积与体积公式
（一）圆柱、圆锥、圆台的侧面积
将侧面沿母线展开在平面上，则其侧面展开图的面积即为侧面面积。

1、圆柱的侧面展开图——矩形
圆柱的侧面积
2,,,S cl rl r l c π==圆柱侧其中为底面半径为母线长为底面周长
2、圆锥的侧面展开图——扇形
圆锥的侧面积
1
,,,2S cl rl r l c π==圆锥侧其中为底面半径为母线长为底面周长
3、圆台的侧面展开图——扇环
圆台的侧面积
（二）直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积
把侧面沿一条侧棱展开在一个平面上，则侧面展开图的面积就是侧面的面积。

1、柱的侧面展开图——矩形
直棱柱的侧面积
2
、锥的侧面展开图——多个共点三角形
'
h
侧面展开
'
h
c
正棱锥的侧面积
3、正棱台的侧面展开图——多个等腰梯形
c
侧面展开
'
h
,
c
'
h
正棱台的侧面积
说明：这个公式实际上是柱体、锥体和台体的侧面积公式的统一形式 ①即锥体的侧面积公式；
②c'＝c 时即柱体的侧面积公式；
（三）棱柱和圆柱的体积
,V Sh h =柱体其中S 为柱体的底面积,为柱体的高
斜棱柱的体积＝直截面的面积×侧棱长
（四）棱锥和圆锥的体积
1
,3V Sh h =锥体其中S 为锥体的底面积,为锥体的高
（五）棱台和圆台的体积
说明：这个公式实际上是柱、锥、台体的体积公式的统一形式： ①0S =上时即为锥体的体积公式； ②S 上＝S 下时即为柱体的体积公式。

（六）球的表面积和体积公式
（一）简单的组合几何体的表面积和体积——割补法的应用
割——把不规则的组合几何体分割为若干个规则的几何体；
补——把不规则的几何体通过添补一个或若干个几何体构造出一个规则的新几何体，如正四面体可以补成一个正方体，如图：
四、考点与典型例题
考点一 几何体的侧面展开图
例1. 有一根长为5cm ，底面半径为1cm 的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端A 、D ，则铁丝的最短长度为多少厘米？
D C
B
A
解：展开后使其成一线段AC 222425AB BC cm π+=+
考点二 求几何体的面积
例2. 设计一个正四棱锥形的冷水塔顶，高是0.85m ，底面的边长是1.5m ，制造这种塔顶需要多少平方米铁板？（保留两位有效数字）
E
S
O
解：
)m (40.313.15.12
1
4S 2=⨯⨯⨯=⇒
答：略。

考点三 求几何体的体积
例3. 求棱长为2的正四面体的体积。

A
C
D A 1
B 1
C 1
D 1
补
分析：将正四面体通过补形使其成为正方体，然后将正方体的体积减去四个易求体积的小三棱锥的体积。

解：如图，将正四面体补形成一个正方体，则正方体的棱长为1，则：V 正四面体＝V 正方体－4V 三棱锥＝1－3
1121314=⨯⨯⨯。

考点四 求不规则几何体的体积
例4. 证明四面体的体积1s i n s i n s i n 6V a b c C
βα=，其中a ，b ，c 为自同一顶点S 出发
的三条棱SA 、SB 、SC 的长，α，β为点S 处的两个面角∠BSC 、∠ASC ，C 为这两个面所
夹二面角的大小。

证明：通过补形，可将此三棱锥补成一个三棱柱，如图。

则该三棱柱的体积可以利用“直
截面面积×侧棱长”来进行求解，若设过A 点的直截面为AHD ，则由题意知：∠ADH ＝C ；
又AD ⊥SC ，故AD ＝SA ×sin β＝a ·sin β；
若过B 作BE ⊥SC 于E ，则BE ＝HD ＝BC ×sin α＝b ·sin α.所以，
1
sin sin sin 2
S ab C αβ∆=
ADH 从而有。

考点五 球的表面积和体积
例5. 在球心的同侧有相距为9的两个平行截面，它们的面积分别为49π和400π，求球的表面积和体积。

分析：画出球的轴截面，利用球的截面性质求球的半径
解：设球的半径为R ，O 为球心，O 1、O 2分别是截面圆的圆心，如图。

则O 1A ＝7，O 2B ＝20，OA ＝OB ＝R ，从而分别解三角形OO 2B 和三角形OO 1A 得到OO 1和OO 2，由OO 1－OO 2＝9解得R ＝25，从而
球的表面积为2500π，球的体积为
362500 。

考点六 求点到平面的距离——等积法的应用
例6. 在正方体ABCD －A’B’C’D’中，已知棱长为a ，求B 到平面AB’C 的距离。

解：设B 到面AB’C 的距离为h ，因为AB’＝B’C ＝CA ＝2a ，
所以S ΔAB’C ＝4
3
（2a ）2
＝2
3
a 2
，
因此31·23a 2·h ＝V B －AB ′C ＝ V B ′－ABC ＝31·21a 2·a ＝61a 3
，
故h ＝33a ，即B 到面AB ′C 的距离为33
a 。

附：拟柱体通用体积公式
拟柱体：所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体.它在这两个平面内的面叫做拟柱体的底面.其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的距离叫做拟柱体的高。

2
2h ,43S ,1S ,0S 021==
== 32)13(2261)S S 4S (h 61V 201=
+⨯=++=，选A 。

例2. 如图所示，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为3的正方形，
EF//AB ，23EF =
，
EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积为（ ）
A. 29
B. 5
C. 6
D. 215
2h ,8
27
S ,9S ,0S 021==
== 215)S S 4S (h 61V 201=
++=，选D 。

【模拟题】
一、选择题
1. （2008四川）设M ，N 是球心O 的半径OP 上的两点，且NP=MN=OM ，分别过N ，M ，O 作垂直于OP 的平面，截球面得三个圆，则这三个圆的面积之比为：（ ）
A. 3：5：6
B. 3：6：8
C. 5：7：9
D. 5：8：9
2. （2008山东）下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）
A. 9π
B. 10π
C. 11π
D. 12π
3. （2008湖北）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为
（ ）
A.
38π B. 3
28π C. π28 D. 332π
4.（2008湖南）长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的8个顶点在同一球面上，且AB ＝2，AD ＝3，AA 1＝1，则顶点A 、B 间的球面距离是（ ）
A. 22π
B.2π
C.
22
π
D.
24
π *5. （2008重庆）如图，体积为V 的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且
与大球球面有且只有一个交点，
4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点.V 1为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，V 2为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是（ ）
A. V 1＝
2
V B. V 2＝
2
V C. V 1> V 2
D. V 1< V 2
6. （2008海南改）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面。

已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为8
9
，底面周长为3，那么这个球的体积为 （ ）
A.
43π B.2
3
π C.13π D.53π 7. （2008天津改）若一个球的体积为π34，则它的表面积为（ ） A. π34 B. 83π C. 12π D. 24π
二、填空题：
8.（2008四川）
已知正四棱柱的对角线的长为6，且对角线与底面所成角的余弦值为3
3，
则该正四棱柱的体积等于________________。

9. （2008浙江）如图，已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝3，则球O 的体积等于___________。

三、解答题
*10.（2008广东卷）
如图所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形，其中BD 是圆的直径，60ABD ∠=，45BDC ∠=，PD 垂直底面ABCD ，22PD R =，E F ，分别是PB CD ，上的点，且
PE DF
EB FC
=，过点E 作BC 的平行线交PC 于G ． （1）求BD 与平面ABP 所成角θ的正弦值； （2）证明：EFG △是直角三角形； （3）当
1
2
PE EB =时，求EFG △的面积。

11.（2008辽宁卷）
如图，在棱长为1的正方体ABCD A B C D ''''-中，AP ＝BQ ＝b （0<b <1），截面PQEF ∥A D '，截面PQGH ∥AD '。

（Ⅰ）证明：平面PQEF 和平面PQGH 互相垂直；
（Ⅱ）证明：截面PQEF 和截面PQGH 的面积之和是定值，并求出这个值；
（Ⅲ）若D E '与平面PQEF 所成的角为45，求D E '与平面PQGH 所成角的正弦值。

A
B C
D E
F
P Q H A '
B '
C '
D '
G
**12. 在六条棱分别为2，3
，3，4，5，5的所有四面体中，最大的体积是多少？并证明你的结论。

13. 设一直角四面体P －ABC （即∠APB ＝∠BPC ＝∠CPA ＝90º）的三条棱PA 、PB 、PC 的长之和为L ，试求（并证明）其最大体积。

【试题答案】
一、选择题 DDBCD AB
二、填空题 8、2； 9、
9π2
三、解答题
10、【解】（1）在Rt BAD ∆中，
60ABD ∠=
，,AB R AD ∴==
而PD 垂直于底面ABCD
，PA ===
PB ===，
在PAB ∆中，222PA AB PB +=，即PAB ∆为以PAB ∠为直角的直角三角形。

设点D 到面PAB 的距离为H ，由P ABD D PAB V V --=有PD A D A B H A B PA ⋅⋅=⋅⋅，即
R
11662R
11R 22R 3PA PD AD H =⋅=⋅=
sin 11H BD θ==；
（2）
GC PG EB PE ,BC //EG =∴
，而FC DF EB PE =，即,
PD //GF ,DC
DF
GC PG ∴=GF BC ∴⊥， GF EG ∴⊥，EFG ∴∆是直角三角形；
（3）12PE EB =时13EG PE BC PB ==，2
3GF CF PD CD ==，
即11222cos 45,3333EG BC R R GF PD ==⨯⨯︒===⨯=，
EFG ∴∆的面积
2
EFG R 9
4R 3
24R 3
22
1GF EG 2
1S =
⨯
⨯
=
⋅=
∆
11、解：
（Ⅰ）证明：在正方体中，AD A D ''⊥，AD AB '⊥，又由已知可得PF A D '∥，
PH AD '∥，PQ AB ∥，所以PH PF ⊥，PH PQ ⊥，所以PH ⊥平面PQEF 。

所以平面PQEF 和平面PQGH 互相垂直。

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知PF PH '==，，又截面PQEF 和截面PQGH 都是矩形，且PQ ＝1，所以截面PQEF 和截面PQGHR 的 面积之和是
)PQ '⨯=
（III ）解：连结BC ′交EQ 于点M 。

A
B
C
D
E
F
P
Q
H A '
B '
C '
D '
G N M
因为PH AD '∥，PQ
AB ∥， 所以平面ABC D ''和平面PQGH 互相平行，因此D E '与平面PQGH 所成角与D E '与平
面ABC D ''所成角相等．
与（Ⅰ）同理可证EQ ⊥平面PQGH ，可知EM ⊥平面ABC D ''，因此EM 与D E '的比值就是所求的正弦值．
设AD’交PF 于点N ，连结EN ，由1FD b =-知
222(1)2(1)D E b ND b ''=-+=
+-，． 因为AD ’⊥平面PQEF ，又已知D E '与平面PQEF 成45角， 所以2D E ND ''=，即
2222(1)(1)222b b ⎡⎤+-=-+⎢⎥⎦
，
解得1
2
b =
，可知E 为BC 中点． 所以EM ＝24
，又2
3(1)22D E b '=-+=，
故D’E 与平面PQGH 所成角的正弦值为2
EM D E =
'． 12、【解】三角形两边之和大于第三边，按题设的数据，一边为2的三角形，其余两边只
可能是：①3，3；②5，5；③4，5；④3，4。

从而，四面体中以2为公共边的有两个面，其余两边只可能有下列三种情形：1．①与②；2．①与③；3．②与④．
下面就这三种情形分别讨论．
1. 如图a ，由勾股定理，CD ⊥AC ，CD ⊥BC ，所以，四面体的体积
3/28132
1
2431S CD 31V 2A BC 1=-⨯⨯⨯⨯=⋅=∆
2. 如图b 、c ，这样的四面体有两个，它们的体积为 1243
1
V S V ABC <⨯⨯<
∆
3. 如图d 、图e ，这样的四面体也有两个，体积为 1223V 116
5)25(3521231V <=-⨯⨯⨯⨯<
13、设一直角棱长为x ，一直角棱长为y ，则第三条直角棱长为L －x －y ，则体积3)3y x L y x (61)y x L (xy 2131V --++⨯≤--⨯=，等号当且仅当x ＝y ＝L －x －y 时成立，从
而
162L V 3
max =。