三角函数值如何求角

5π 7π ，} o 6 6 40
2.答案为{
1 解析：应用诱导公式得sinX= ，所角X是第一，二象限角， 2 π π α0 = 求得锐角 ，故第一象限的角为 或第二象限 6 6π π 5π 5π 的角 = ，所以所求角的集合为{ ， } 6 6 6 6
π
本讲小结： 本讲小结：
已知角α的一个三角函数值求角α,要结合角所属范围和三角函 数在此区间上的单调性来确定。一般说来，所得的解不是唯一的， 而是有无数多个， 其解法步骤可概括为： （1） 由已知函数值的正、负确定所求角α所在的象限（定象限）； （2） 如函数值为正，若函数值是非特殊值，则用计算器，先求 出对应的锐角 α 0 ；如果函数值为负，则先求出与其绝对值 对应的锐角
o ⋅
反正弦
满足条件sinX= -0.3332 的锐角X =arcsin 0.3332 满足条件sinX= 0.65 的锐角X = arcsin 0.65 满足条件sinX= 0.5 的锐角X = arcsin 0.5 2 2 满足条件sinX= 的锐角X = arcsin 2 2 定义 一般的， 在闭区间[ − π ，π ]上，符合条件 sinX=a（-1 ≤ a
4 符合条件的角有且只有两个：第一象限的角 或 4 π π 3π 3π 第二象限的角π - 即 于是所求角X的集合是{ 4 ， } 4 4 4
π
π
]上
-1
π
π 3π =π − 4 4
π
已知三角函数值求角的步骤可概括为：
（1）定象限；（2）找锐角；（3）写形式
（4）sinX= 2 ， 且X ∈[ 2 0 ， 2π
2
π
4
-1
π
3π 4
π
π
2 2
因此在X ∈ [0， 2π ]上符合条件的角有且只有两个： π π 3π 第一象限的角 或第二象限的角 π - 即 4 4 4 π 3π 于是所求的X的集合是{ 4 ， 4 }
(2) 已知sin X= −
2 2 2 2
，且X ∈ [ 0 , 2π ]，求X的取值集合. Y1 α π − α 0 0
作业： 作业：
课本：P77
1T、（1）（2）
2T、（1）（2） 4T、（3）（4）
3T、（1）（2）（3）
思考题 求满足下列条件的角X的集合 （1）sinX=1 1 ( 2 ) sinX= 2
知识回顾 已知特殊三角函数值求角
已知非特殊三角函数值求角
解析1： （1）满足条件cosX= -0.7660 的锐角为
(
sinX=
2 ,如何求角X？ 2
已知三角函数值求角（一）
例1.求满足下列条件的角X的集合. 2 （1）sinX= ， 且X ∈[ 0 2 π 2 解： Q sin = 4 2 由正弦曲线可知： y=sinX在[ 0 ， ，
π
2
]
Y
π
−
π
2
2 2
O
1
π
2
X
∴ 符合条件的角有且只有 一个，
即第一象限的角
π
π
4
4
找锐角时，如果正弦值为负，则求出与其绝对值对应的锐角 X 0； 如果正弦值为正，则可直接求出对应的锐角 X 0 .
已知三角函数值求角（一）
（2）已知sinX= - 0.3332,且X ∈ [ 0 ，2π ] ，求角X的取值集合. 解析 因为sinX=-0.3332<0,且X ∈[ 0 ， 2π ]，所以角X是第三，四象限的角, 利用计算器可求得满足条件sinX= -0.3332 的锐角为 19 24 , 于是所求的角X的集合是{ 199o 24’，340 o 36 ’ } 已知非特殊三角函数值求角： 除在求相应锐角时利用计算器外，其余步骤同前。
例1 (1) 已知sin X= 解：
2 2
，且X ∈ [ −
π
2
π
2
, ].
2 2
O
π
2
Y 1
]，求X的取值集合.
Q sin X=
∴
2 2
，且X∈[ −
,
π
2
π
2
X是第一象限的角 由正弦曲线可知：
−
π
2
X
y=sinX在[ −
π
2
，
π
2
π
4
-1
π
]上是 增函数, 且sin
= 4 π 因此符合条件的角有且只有一个，即 . 4 于是所求的角X的集合是{
≤ 根据余弦函数图象的性质，为了使符合条件cosX=a（-1 a≤ 1 ） 的角有且只有一个，我们选择闭区间[ 0 ，π ]作为基本的范围。在这个 闭区间上，符合条件cosX=a(-1 ≤ a ≤ 1) 的角X，叫做实数a的反余弦， 记做arccos a,即X=arccos a,其中X [ 0 ， ]，且a=cosX, π π 2 =arccos 例如： 7π =arccos(-0.7663) , 4 2 9
2π 答案为{ ， } 3 3
π
X ∈ [ 0 ， 2π
2 ]，求角X的集合.
,且
解析：应用诱导公式得sinX=
3 2
.
本讲小结： 本节课我们重点研究了给值求角的步骤，当三角 函数值不是 ± 1和0时可概括为： 定象限，找锐角，写 形式，如果要求出[ 0 ， π ]范围以外的角则可利用终 2 边相同的角有相同的三角函数值写出结果。 若求得的角是特殊角，最好用弧度表示。 用反正弦符号表示角。
2 2
≤1）
π π
2
记做arcsin a,即X=arcsin a,其中X ∈ [ − 2 ， 的角X，叫做实数a的反正弦， 且a=sinX, 上题答案也可以写成：{
π
]，
+ arcsin 0.3332 , 2π - arcsin0.3332 }
已知三角函数值求角（一）
课堂练习
1、求满足下列条件的角X的集合. （1）sinX=0.3332 , 1 （2）cosX= − ， 2 2、已知sin( 且X ∈[ 0 ，2π ] ， 且X ∈ [ 0 ，2π ] ，
π 3π 所求角X的集合是{ ， } ] 4 4
已知三角函数值求角（一）
（1）sinX= （2）sinX= （3）sinX= （4）sinX= 2 ， 且X ∈[ 0 2 ，
π
2
]
所求的角X的集合是{ 所求角X的集合是{
π
4
}
π π 2 ， 且X ∈[ − ， ] 2 2 2 2 ， 且X ∈[ 0 ， ] 2 2 ， 且X ∈[ 0 ， 2π ] 2
π
π
3π 所求角X的集合是{ ， 4 4
π
4
} }
所求角X的集合是{
π
4
，
3π } 4Biblioteka 我们发现：角的范围不同，所求角的集合有时相同，有时不相同. 因此已知三角函数值求角时一定要注意角的范围。
已知三角函数值求角（一）
例 2（1） 已知sinX= − 解：
2 2 ，且X∈ [ 0 ， π ] ，求X的取值集合 2
已知三角函数值求角（一）
2 （3）sinX= 2 ， 且X ∈[ 0 ， 解： sinX= 2 > 0且X∈ [ 0， ]
∴
Q
2
π
2 2
π
]
Y
X是第一，二象限的角 π 又 sin = 2 4 2 π π sin （ - 4 ) =sin 4 =
Q
π
−
π
2
2 1 2
O
π
2
X
由正弦曲线的单调性 可知在X∈ [ 0，
QsinX= − 22
∴
< 0 且X∈ [ 0 ， 2π ]
π 的锐角为 , 4
,
X是第三，四象限的角,
− 2 2
而满足条件sinX=
由正弦函数的单调性和 π π π 2 sin( + )=sin( 2π )=-sin = − 2, 4 4 4 可知在 X∈ [0，2π ]上 符合条件的角有且只有两个，即第三象限 π π 7π 5π 的角 + = 或第四象限的角2π + = . 4 4 4 4 5π 7π 于是所求的角X的集合是{ ， }
α 0 ）； （写形式）
π - α 0 ， π + α 0 ，2π
-
π 练习 已知cosX=-0.7660，且X∈ [0， ] ，求满足条件的角X的集合.
解：
2π cosX= -0.7660 的锐角为 9
利用计算器可求得满足条件 由余弦函数的单调性和
QcosX= - 0.7660 p 0且X ∈ [ 0 , π ∴X是第二象限的角
已知三角函数值求角（一）
（口答）求下列三角函数值
sin
sin
sin sin
π
4
=
2 2 2 2
3π = 4
( ( (
π π = sin(π − ) = sin 4 4
) ) ) )
2 5π =− 4 2
= sin(π + )= − sin 4 4
π
π
7π 2 π =− = sin(2π − )= − sin π 4 2 4 4 7π π 2 π cos = cos(2π − ) = cos = 4 4 2 4
α0
（ 找锐角）；
2π
（3） 根据α所在的象限，得出0°～360°间的角（写形式）；
2 （4） 如果要求[ 0 ， π ]范围以外的角，则可利用终边相同的角的
表达式写出（求全角）。 若求得的角是特殊角，最好用弧度表示。
∴
例1 已知sin X = 解：
2 2 ，且
X ∈ [ 0 , 2π ]，求X的取值集合. ]
π
]，且a=cosX,
如： o = arccos 0.7660 40
上题（2）的答案可以写成{
π
- arccos0.7660,
π
+arccos(-0.7660)}
已知三角函数值求角（一）
具体可分如下三步（为方便先不考虑轴线角）： 由已知正弦值确定角所在的象限； （定象限） （找锐角） 求出对应的锐角； 间的角（ α 0 ， 根据角的象限，利用诱导公式写[ 0 ，2π ]
Y
]
1
( 40o )
2π 9
π
2
7π 9
X
O
π
cos（
可知在[ 0 ，π ]内符合条件的角有且只有一个，即第二象限的角 于是所求的角X的集合是{ } 注意：除在求相应锐角时需 利用计算器，其余步骤同前。
7π 9
π-
3π 2
2π
2π 2π -0.7660 ）= - cos = - 0.7660 9 9 -1
于是所求的角X的集合为{ （2）{
40
o
140o Y
1
}
140o ，220o
}
反余弦
40 140
o
o
220
o
X
定义 在闭区间[ 0 ， ]上， O π 符合条件cosX=a（-1≤ a ≤ 1 ） - 0.7660 2 的角X，叫做实数a的反余弦， -1
π
π
3π 2
2π
记做arccos a,即X=arccos a, 其中X ∈ [ 0 ，
−
反正弦
定义 在闭区间[
−
π
2
2 2
O
π
2
π
2 ， 2 ]上，
π
π
4
-1
3π 4
符合条件 sinX=a（-1 ≤ a
≤1）
π π
的角X，叫做实数a的反正弦， 记做arcsin a,即X=arcsin a,其中X ∈ [ − 2 ， 2 ]，且a=sinX,
4
2 2
Q
sinX= 2 > 0且X ∈ [ 0， 2 X是第一，二象限的角 由正弦曲线可知：
2π
2 2
O
Y 1
α0
π
π −α0 π + α0
y=sinX在[0，π ]上是 增函数, 2 π 2 且sin = 2 4 π Y=sinX在[ Y=sinX [ ， ] ]上是 减函数， 2 π 3π 且sin （ ) =sin = 4 4
已知三角函数值求角（一）
例 2（1） 已知sinX= −
Y
2 2 ，且X∈ [ 0 ， π ] ，求X的取值集合 2
π
1
4
π
2
O
-1
2 − 2
π
5π 4
3π 2
7π 4
X
2π
课堂练习： 课堂练习：
（1）已知sinX=−
2 ，且X ∈ [ 0 ，2π ] ，求X的取值集合 2
（2） 已知sinX=-0.3332,且X∈ [ 0 ， π ] ，求满足条件 2 的角X
π
2 2
π
4
}
学习要求 知识讲解 课堂练习 本课小结 课后作业
※4.11.1
学习要求
已知三角函数值求角（一）
利用三角函数的图象、符号规律、诱导公 式及使用计算器的方法等项知识和技能，学会已知 一个三角函数值，求与它对应的角的方法；为今后 学习解三角方程、三角不等式等奠定基础。
1.答案为{ 40o } 解析：在 ABC中cosA = 0.7660，所以 A 是锐角，因此 A的集合为{ 40o } 答案可以写成{ arccos0.7660 }
2
]上是增函数, .
π
-1
π
π
4
4
于是所求的角X的集合是{ 4 （2）sinX=
π
}
π π 2 ， 且X ∈[ − ， 2 2 2
] 所求角X的集合是{
π
4
}
已知三角函数值求角（一）
（3）sinX= 2 ， 且X ∈[ 2
Y
0 ，
π
]
2 − 2 2
O
π
1
π
2
π
-1
4
π 3π =π − 4 4
π
X
求角X，关键在于找出满足条件的相应锐角 X 0
π
X ∈ [ 0 ， 2π
3 -X)= 2 ,且 ]，求角X的集合.
（1）sinX=0.3332 , 答案为{
且X ∈[ 0 ，2π ] ， 且X ∈ [ 0 ，2π ] ，
1 （2）cosX= − ， 2
19
o
o ， 24' 160 36' }
2π 答案为{ 3
2、已知sin(
π
-X)=
4π ， } 3 3