相似三角形及平行线分线段成比例
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21、怠惰是贫穷的制造厂。 22、先知三日，富贵十年。 23、自信是向成功迈出的第一步。——爱因斯 坦 24、一个人除非自己有信心，否则不能 带给别 人信心 ；已经 信服的 人，方 能使人 信服。 ——麦 修·阿诺 德 25、凡是挣扎过来的人都是真金不怕火 炼的； 任何幻 灭都不 能动摇 他们的 信仰： 因为他 们一开 始就知 道信仰 之路和 幸福之 路全然 不同， 而他们 是不能 选选择 的，只 有往这 条路走 ，别的 都是死 路。这 样的自 信不是 一朝一 夕所能 养成的 。你绝 不能以 此期待 那些十 五岁左 右的孩 子。在 得到这 个信念 之之前 ，先得 受尽悲 痛，流 尽眼泪 。可是 这样是 好的， 应该要 这样… …——罗 曼·罗 兰 26、一个人在科学探索的道路上，走过 弯路， 犯过错 误，并 不是坏 事，更 不是什 么耻辱 ，要在 实践中 勇于承 认和改 正错误 。——爱因斯 坦88我 们的理 想应该 是高尚 的。我 们不能 登上顶 峰，但 可以爬 上半山 腰，这 总比待 在平地 上要好 得多。 如果我 们的内 心为爱 的光辉 所照亮 ，我们 面前前 又有理 想，那 么就不 会有战 胜不了 的困难 。——普列姆 昌德 27、旁观者的姓名永远爬不到比赛的计 分板上 。
知识点 3 平行线分线段成比例基本事实的推论
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边 的延长线），所得的对应线段成比例.
数学表达式： 如图，∵DE∥BC， AD = AE , AD = AE , BD = CE .
DB EC AB AC AB AC
例4 如图，F是 ABCD的边CD上一点，连接BF， 并延长BF交AD的延长线于点E.求证：DE DF .
5、一个人在科学探索的道路上，走过弯 路，犯 过错误 ，并不 是坏事 ，更不 是什么 耻辱， 要在实 践中勇 于承认 和改正 错误。 ——爱 因斯坦 6、瓜是长大在营养肥料里的最甜，天才 是长在 恶性土 壤中的 最好。 ——培 根 7、发光并非太阳的专利，你也可以发光 。
8、人们常用“心有余而力不足”来为自 己不愿 努力而 开脱， 其实， 世上无 难事， 只怕有 心人， 积极的 思想几 乎能够 战胜世 间的一 切障碍 。 9、如果你希望成功，当以恒心为良友， 以经验 为参谋 ，以当 心为兄 弟，以 希望为 哨兵。 ——爱 迪生
知识点 1 相似三角形
1. 各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形 叫相似多边形
2. 三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三 角形叫相似三角形
相似三角形对应边的比，叫做相似比.
定义:对应角相等，对应边成比例的两个三角形，我 们称为相似三角形. 两个相似三角形用“∽”表示，读做“相似于”.
如△A1B1C1与△ABC相似, 记作“△ A1B1C1 ∽△ABC”
AB = BC AC = 1 . AB BC AC k
例2 如图，在△ABC中，DE∥BC. (1)求 AD , AE , DE 的值；
AB AC BC
(2)△ADE与△ABC相似吗？
为什么？
导引：(1)直接利用线段的长度求它们的比值；
(2)抓住两个条件判断：①三条边成比例；
②三个角分别相等．
解：(1)由图形可知AB＝9，AC＝6.
AD 3 1 , AE 2 1 , DE 3.5 1 . AB 9 3 AC 6 3 BC 10.5 3
(2)△ADE与△ABC相似．理由如下：
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB. 由(1)知 AD AE DE ,
AB AC BC
又∵∠DAE＝∠BAC，
∴△ADE∽△ABC.
19、别因为落入了一把牛毛就把一锅奶 油泼掉 ，别因 为犯了 一点错 误就把 一生的 事业扔 掉。——蒙古 20、许多人之所以在生活中一事无成， 最根本 原因在 于他们 不知道 自己到 底要做 什么。 在生活 和工作 中，明 确自己 的目标 和方向 是非常 必要的 。只有 在知道 你的目 标是什 么、你 到底想 做什么 之后， 你才能 够达到 自己的 目的， 你的梦 想才会 变成现 实。
解：对应边分别是：AB与DE，BC与EF，AC与DF. 对应角分别是：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F. ∵AB∶DE＝6∶9＝2∶3，∴相似比为2∶3.
总结
(1)对应性：表示两三角形相似时，要注意对应性， 即要把对应顶点写在对应位置上．
(2)顺序性：求两相似三角形的相似比，要注意顺序 性．若当△ABC∽△A′B′C′时， AB = BC AC =k, 则△A′B′C′∽△ABC时， AB BC AC
＝1，则EF的长是( B )
A．1
B．2
C．3
D．4
知识点 2 平行线分线段成比例的基本事实
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等， 那么在其他直线上截得的线段也相等.
符号语言 ∵直线l1∥l2∥l3 ，AB=BC ∴ A1B1=B1C1
A
l1
l2
B
l3 C
A1 ？B1 ？C1
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
则EF＝____3____．
1 知识小结
平行线除了具备造成“三线八角”相等或互补的 功能外，还可以分线段成比例，而利用平行线得线 段成比例的基本思路是： (1)善于从较复杂的几何图形中分离出基本图形：
“ 型”或“ 型”，得到相应的比例式； (2)平行是前提条件，没有平行线可以添加辅助线，
一般从分点或中点出发作平行线．
列比例式正确的是( C )
A. AD DE DB BC
B. BF EF BC AD
C. AE BF EC FC
D. EF DE AB BC
4 【2016·锦州】如图，在△ABC中，点D为AC上一
点，且 CD 1 , 过点D作DE∥BC交AB于点E， AD 2
连接CE，过点D作DF∥CE交AB于点F.若AB＝15， 10
总结
由于三角形是最简单的多边形，因此判定两个 三角形相似可以根据判定两个多边形相似的方法， 即利用相似三角形的定义证出三个角分别相等，三 条边成比例即可．
1 如图，△ABC∽△AED，∠ADE＝80°， ∠A＝60°，则∠C等于( C ) A．40° B．60° C．80° D．100°
2 如图，△ABC∽△DEF，相似比为1∶2. 若BC
10、涓滴之水终可磨损大石，不是由于 它力量 大，而 是由于 昼夜不 舍的滴 坠。只 有勤奋 不懈的 努力才 能够获 得那些 技巧， 因此， 我们可 以确切 地说： 说：不 积跬步 ，无以 致千里 。——贝多芬 11、一定要做最适合自己的事情，不要 迎合别 人的口 味而去 做一件 不属于 自我的 “难事 ”。一 旦“发 现自我 ”，就 要尽力 而为， 但要全 面了解 自己和 周围的 环境， 知道适 可而止 。 12、要有自信，然后全力以赴--假如具有 这种观 念，任 何事情 十之八 九都能 成功。 ——威 尔逊 13、莫找借口失败，只找理由成功。 14、一个有坚强心志的人，财产可以被 人掠夺 ，勇气 却不会 被人剥 夺的。 ——雨 果 15、积极的人在每一次忧患中都看到一 个机会 ，而消 极的人 则在每 个机会 都看到 某种忧 患。 16、不是境况造就人，而是人造就境况 。
∵CD∥EF，∴ HC
HD ,
故选项C错误．
HE HF
总结
在题目中如遇到与直线平行相关的问题时，可 从两个方面得到信息：一是位置角之间的关系(同位 角相等、内错角相等、同旁内角互补)；二是线段之 间的关系，即平行线分线段成比例．
1 【2016·杭州】如图，已知直线a∥b∥c，直线m分别
交直线a，b，c于点A，B，C，直线n分别交直线a， b，c于点D，E，F. 若 AB 1 , 则 DE 等于( B )
注意：对应顶点写在 在对应位置.
用数学语言表示：（符号）
｝ ∠A=∠A1、∠B=∠B1、∠C=∠C1 AB AC BC A1B1 A1C1 B1C1 △ABC∽△A1B1C1
例1 如图所示，△ABC∽△DEF，其中AB＝6，DE＝9， 指出对应边、对应角， 并求出相似比．
导引：用“∽”表示两个图形相似时，表示对应顶点的 字母应该写在对应的位置上．
若
AD
2 ,
则 AE
等于(
C)
DB 3
EC
A. 1
B. 2
C. 2
D. 3
3
5
3
5
2 如图，在△ABC中，FG∥DE∥BC，已知DF＝3， AG＝EC＝2，则下列四个等式中一定正确的是( B ) A．FG·DE＝6 B．DB·GE＝6 C．FG:DE＝2:3 D．CE:DB＝3:2
3 如图，在△ABC中，若DE∥BC，EF∥AB，则下
几何语言 ∵ l1//l2//l3
l4 l5
A
D
B
E
l1
∴ AB DE
BC EF
C
l2 F
l3
(平行线分线段成比例)
例3 如图，已知AB∥CD∥EF，AF交BE于点H，
下列结论中错误的是( C )
A.
BH HC
AH HD
C.HBiblioteka HEHD DFB.
AD BC DF CE
D.
AF DF
BE CE
1、世上没有绝望的处境，只有对处境 绝望的 人。 2、挑水如同武术，武术如同做人。循序 渐进， 逐步实 现目标 ，才能 避免许 多无谓 的挫折 。
3、别想一下造出大海，必须先由小河川 开始。 4、自信是所有成功人士必备的素质之一 ，要想 成功， 首先必 须建立 起自信 心，而 你若想 在自己 内心建 立信心 ，即应 像洒扫 街道一 般，首 先将相 当于街 道上最 阴湿黑 暗之角 落的自 卑感清 除干净 ，然后 再种植 信心， 并加以 巩固。 信心建 立之后 ，新的 机会才 会随之 而来。
导引：本题中利用平行线分线段成比例的基本事实
的图形主要有“A”型和“X”型，从每种图形
中找出比例线段即可判断．
解析：根据AB∥CD∥EF，结合平行线分线段成比
例的基本事实可得解．
∵AB∥CD∥EF，
BH AH , AD BC , AF BE , HC HD DF CE DF CE
故选项A，B，D正确．
AE DC
E
D
C
F
A
B
解析: 先根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥
CD，再根据平行线分线段成比例定理的推论得
出对应边成比例即可得出结论．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，AD∥BC. DE EF（平行于三角形一边的直线截其他两
AE EB
边，所得的对应线段成比例）. 同理可得 EF DF .
BC 2 EF 1 A. 3
B．1 2
C. 2 3
D. 1
2 【2016·济宁】如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相
交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么
BC
3
CE ＝___5___．
3 【中考·扬州】如图，练习本中的横格线都平行，且 相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的 三个点A，B，C都在横格线上．若线段AB＝4 cm， 则线段BC＝___1_2_cm___.
第二十七章 相似
27.2 相似三角形
第1课时 相似三角形及平行线 分线段成比例
1 课堂讲解 相似三角形
平行线分线段成比例的基本事实
平行线分线段成比例基本事实的推论
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
复习回顾
1、什么叫相似多边形呢？ 2、你能类似的给相似三角形下一个定义吗？ 3、什么叫相似比？
六、词语点将（据意写词）。
1．看望；访问。 （ ） 2．互相商量解决彼此间相关的问题。 （ ）
3．竭力保持庄重。 （ ） 4．洗澡，洗浴，比喻受润泽。 （ ）
17、在人生的竞赛场上，没有确立明确 目标的 人，是 不容易 得到成 功的。 许多人 并不乏 信心、 能力、 智力， 只是没 有确立 目标或 没有选 准目标 ，所以 没有走 上成功 的途径 。这道 理很简 单，正 如一位 百发百 中的神 射击手 ，如果 他漫无 目标地 乱射， 也不能 在比赛 中获胜 。 18、生活就像海洋，只有意志坚强的人 ，才能 到达彼 岸。——马克 思
EB DC DE DF . AE DC
总结
本题是证明等积式的典型题.要证明 a c ，经 bd
常要把它转化为两个等式：a e 和 e c . 我们通常
把
e
bf fd 叫做中间比.而找中间比的常见的方法就是通过
f
找到平行线，然后利用平行线分线段成比例定理和它
的推论来构造比例式.
1 【2016·兰州】如图，在△ABC中，DE∥BC，
知识点 3 平行线分线段成比例基本事实的推论
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边 的延长线），所得的对应线段成比例.
数学表达式： 如图，∵DE∥BC， AD = AE , AD = AE , BD = CE .
DB EC AB AC AB AC
例4 如图，F是 ABCD的边CD上一点，连接BF， 并延长BF交AD的延长线于点E.求证：DE DF .
5、一个人在科学探索的道路上，走过弯 路，犯 过错误 ，并不 是坏事 ，更不 是什么 耻辱， 要在实 践中勇 于承认 和改正 错误。 ——爱 因斯坦 6、瓜是长大在营养肥料里的最甜，天才 是长在 恶性土 壤中的 最好。 ——培 根 7、发光并非太阳的专利，你也可以发光 。
8、人们常用“心有余而力不足”来为自 己不愿 努力而 开脱， 其实， 世上无 难事， 只怕有 心人， 积极的 思想几 乎能够 战胜世 间的一 切障碍 。 9、如果你希望成功，当以恒心为良友， 以经验 为参谋 ，以当 心为兄 弟，以 希望为 哨兵。 ——爱 迪生
知识点 1 相似三角形
1. 各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形 叫相似多边形
2. 三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三 角形叫相似三角形
相似三角形对应边的比，叫做相似比.
定义:对应角相等，对应边成比例的两个三角形，我 们称为相似三角形. 两个相似三角形用“∽”表示，读做“相似于”.
如△A1B1C1与△ABC相似, 记作“△ A1B1C1 ∽△ABC”
AB = BC AC = 1 . AB BC AC k
例2 如图，在△ABC中，DE∥BC. (1)求 AD , AE , DE 的值；
AB AC BC
(2)△ADE与△ABC相似吗？
为什么？
导引：(1)直接利用线段的长度求它们的比值；
(2)抓住两个条件判断：①三条边成比例；
②三个角分别相等．
解：(1)由图形可知AB＝9，AC＝6.
AD 3 1 , AE 2 1 , DE 3.5 1 . AB 9 3 AC 6 3 BC 10.5 3
(2)△ADE与△ABC相似．理由如下：
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB. 由(1)知 AD AE DE ,
AB AC BC
又∵∠DAE＝∠BAC，
∴△ADE∽△ABC.
19、别因为落入了一把牛毛就把一锅奶 油泼掉 ，别因 为犯了 一点错 误就把 一生的 事业扔 掉。——蒙古 20、许多人之所以在生活中一事无成， 最根本 原因在 于他们 不知道 自己到 底要做 什么。 在生活 和工作 中，明 确自己 的目标 和方向 是非常 必要的 。只有 在知道 你的目 标是什 么、你 到底想 做什么 之后， 你才能 够达到 自己的 目的， 你的梦 想才会 变成现 实。
解：对应边分别是：AB与DE，BC与EF，AC与DF. 对应角分别是：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F. ∵AB∶DE＝6∶9＝2∶3，∴相似比为2∶3.
总结
(1)对应性：表示两三角形相似时，要注意对应性， 即要把对应顶点写在对应位置上．
(2)顺序性：求两相似三角形的相似比，要注意顺序 性．若当△ABC∽△A′B′C′时， AB = BC AC =k, 则△A′B′C′∽△ABC时， AB BC AC
＝1，则EF的长是( B )
A．1
B．2
C．3
D．4
知识点 2 平行线分线段成比例的基本事实
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等， 那么在其他直线上截得的线段也相等.
符号语言 ∵直线l1∥l2∥l3 ，AB=BC ∴ A1B1=B1C1
A
l1
l2
B
l3 C
A1 ？B1 ？C1
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
则EF＝____3____．
1 知识小结
平行线除了具备造成“三线八角”相等或互补的 功能外，还可以分线段成比例，而利用平行线得线 段成比例的基本思路是： (1)善于从较复杂的几何图形中分离出基本图形：
“ 型”或“ 型”，得到相应的比例式； (2)平行是前提条件，没有平行线可以添加辅助线，
一般从分点或中点出发作平行线．
列比例式正确的是( C )
A. AD DE DB BC
B. BF EF BC AD
C. AE BF EC FC
D. EF DE AB BC
4 【2016·锦州】如图，在△ABC中，点D为AC上一
点，且 CD 1 , 过点D作DE∥BC交AB于点E， AD 2
连接CE，过点D作DF∥CE交AB于点F.若AB＝15， 10
总结
由于三角形是最简单的多边形，因此判定两个 三角形相似可以根据判定两个多边形相似的方法， 即利用相似三角形的定义证出三个角分别相等，三 条边成比例即可．
1 如图，△ABC∽△AED，∠ADE＝80°， ∠A＝60°，则∠C等于( C ) A．40° B．60° C．80° D．100°
2 如图，△ABC∽△DEF，相似比为1∶2. 若BC
10、涓滴之水终可磨损大石，不是由于 它力量 大，而 是由于 昼夜不 舍的滴 坠。只 有勤奋 不懈的 努力才 能够获 得那些 技巧， 因此， 我们可 以确切 地说： 说：不 积跬步 ，无以 致千里 。——贝多芬 11、一定要做最适合自己的事情，不要 迎合别 人的口 味而去 做一件 不属于 自我的 “难事 ”。一 旦“发 现自我 ”，就 要尽力 而为， 但要全 面了解 自己和 周围的 环境， 知道适 可而止 。 12、要有自信，然后全力以赴--假如具有 这种观 念，任 何事情 十之八 九都能 成功。 ——威 尔逊 13、莫找借口失败，只找理由成功。 14、一个有坚强心志的人，财产可以被 人掠夺 ，勇气 却不会 被人剥 夺的。 ——雨 果 15、积极的人在每一次忧患中都看到一 个机会 ，而消 极的人 则在每 个机会 都看到 某种忧 患。 16、不是境况造就人，而是人造就境况 。
∵CD∥EF，∴ HC
HD ,
故选项C错误．
HE HF
总结
在题目中如遇到与直线平行相关的问题时，可 从两个方面得到信息：一是位置角之间的关系(同位 角相等、内错角相等、同旁内角互补)；二是线段之 间的关系，即平行线分线段成比例．
1 【2016·杭州】如图，已知直线a∥b∥c，直线m分别
交直线a，b，c于点A，B，C，直线n分别交直线a， b，c于点D，E，F. 若 AB 1 , 则 DE 等于( B )
注意：对应顶点写在 在对应位置.
用数学语言表示：（符号）
｝ ∠A=∠A1、∠B=∠B1、∠C=∠C1 AB AC BC A1B1 A1C1 B1C1 △ABC∽△A1B1C1
例1 如图所示，△ABC∽△DEF，其中AB＝6，DE＝9， 指出对应边、对应角， 并求出相似比．
导引：用“∽”表示两个图形相似时，表示对应顶点的 字母应该写在对应的位置上．
若
AD
2 ,
则 AE
等于(
C)
DB 3
EC
A. 1
B. 2
C. 2
D. 3
3
5
3
5
2 如图，在△ABC中，FG∥DE∥BC，已知DF＝3， AG＝EC＝2，则下列四个等式中一定正确的是( B ) A．FG·DE＝6 B．DB·GE＝6 C．FG:DE＝2:3 D．CE:DB＝3:2
3 如图，在△ABC中，若DE∥BC，EF∥AB，则下
几何语言 ∵ l1//l2//l3
l4 l5
A
D
B
E
l1
∴ AB DE
BC EF
C
l2 F
l3
(平行线分线段成比例)
例3 如图，已知AB∥CD∥EF，AF交BE于点H，
下列结论中错误的是( C )
A.
BH HC
AH HD
C.HBiblioteka HEHD DFB.
AD BC DF CE
D.
AF DF
BE CE
1、世上没有绝望的处境，只有对处境 绝望的 人。 2、挑水如同武术，武术如同做人。循序 渐进， 逐步实 现目标 ，才能 避免许 多无谓 的挫折 。
3、别想一下造出大海，必须先由小河川 开始。 4、自信是所有成功人士必备的素质之一 ，要想 成功， 首先必 须建立 起自信 心，而 你若想 在自己 内心建 立信心 ，即应 像洒扫 街道一 般，首 先将相 当于街 道上最 阴湿黑 暗之角 落的自 卑感清 除干净 ，然后 再种植 信心， 并加以 巩固。 信心建 立之后 ，新的 机会才 会随之 而来。
导引：本题中利用平行线分线段成比例的基本事实
的图形主要有“A”型和“X”型，从每种图形
中找出比例线段即可判断．
解析：根据AB∥CD∥EF，结合平行线分线段成比
例的基本事实可得解．
∵AB∥CD∥EF，
BH AH , AD BC , AF BE , HC HD DF CE DF CE
故选项A，B，D正确．
AE DC
E
D
C
F
A
B
解析: 先根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥
CD，再根据平行线分线段成比例定理的推论得
出对应边成比例即可得出结论．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，AD∥BC. DE EF（平行于三角形一边的直线截其他两
AE EB
边，所得的对应线段成比例）. 同理可得 EF DF .
BC 2 EF 1 A. 3
B．1 2
C. 2 3
D. 1
2 【2016·济宁】如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相
交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么
BC
3
CE ＝___5___．
3 【中考·扬州】如图，练习本中的横格线都平行，且 相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的 三个点A，B，C都在横格线上．若线段AB＝4 cm， 则线段BC＝___1_2_cm___.
第二十七章 相似
27.2 相似三角形
第1课时 相似三角形及平行线 分线段成比例
1 课堂讲解 相似三角形
平行线分线段成比例的基本事实
平行线分线段成比例基本事实的推论
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
复习回顾
1、什么叫相似多边形呢？ 2、你能类似的给相似三角形下一个定义吗？ 3、什么叫相似比？
六、词语点将（据意写词）。
1．看望；访问。 （ ） 2．互相商量解决彼此间相关的问题。 （ ）
3．竭力保持庄重。 （ ） 4．洗澡，洗浴，比喻受润泽。 （ ）
17、在人生的竞赛场上，没有确立明确 目标的 人，是 不容易 得到成 功的。 许多人 并不乏 信心、 能力、 智力， 只是没 有确立 目标或 没有选 准目标 ，所以 没有走 上成功 的途径 。这道 理很简 单，正 如一位 百发百 中的神 射击手 ，如果 他漫无 目标地 乱射， 也不能 在比赛 中获胜 。 18、生活就像海洋，只有意志坚强的人 ，才能 到达彼 岸。——马克 思
EB DC DE DF . AE DC
总结
本题是证明等积式的典型题.要证明 a c ，经 bd
常要把它转化为两个等式：a e 和 e c . 我们通常
把
e
bf fd 叫做中间比.而找中间比的常见的方法就是通过
f
找到平行线，然后利用平行线分线段成比例定理和它
的推论来构造比例式.
1 【2016·兰州】如图，在△ABC中，DE∥BC，