高中数学课件-2 3《幂函数》课件

思考：以上这些函数有什么共同的特征？
幂函数的概念
一般地，函数y＝xa 叫做幂函数，其 中x是自变量，a是常数.
注意: 幂函数中a的可以为任意实数.
典例展示
1
已知y (m2 2m 2)x m2 1 2n 3是幂函数，求 m、n的值。
m2 解：由题意得m2
2n
2m 1 0 3 0
2
1 m -3
四个值，则相应图象依次为：
____c_4_, c_2_,_c_3_,_c1__
y
2
1
• 22
• 2 c1
1
c2 1
• c3 22
• c4 21
o
1
2
x
规律: 作直线 x m(m,它1同) 各幂函数图象
相交,按交点从下到上的顺序,幂指数按
从小到大的顺序排列
练习：y1＝x2， y2 ＝ x ，试求出满足不 等式x2< x的x的解集。
奇偶性 奇
偶
奇 非奇非偶
奇
[0,+∞)增
单调性 增
增
(-∞,0]减
(0,+∞)减 增
(-∞,0)减
公共点 (1,1)
(1,1)
(1,1)
(1,1)
(1,1)
幂函数的性质总结：
(1) 所有的幂函数在(0,+∞)都有定义，并且图象 都通过点(1,1);
(2) 如果α＞０，则幂函数图象过原点，并且在 区间[0,+∞)上是增函数；
（1）求函数f（x）; （2）讨论 F(x) a f (x) b 的奇偶性.
xf (x)
(3) 如果α＜０，则幂函数图象在区间(0,+∞)上 是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原 点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴，当x趋向 于+∞时，图象在y轴上方无限地逼近x轴;
(4) 当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数 时，幂函数为偶函数．
例3.如果函数 f (x) (m2 m 1)xm2 2m3 是幂函数，且在
, 解得n
3 2
, m
-3,
n
3 2
说明：幂函数 y x 要满足三个特征：
(1)幂x前系数为 1；
(2)底数只能是自变量 x, 指数是常数；
(3)项数只有一项；
变式
已知幂函数y=f(x)的图象过点（ 4,1/2）, 求f(8)的值。
已知f(x)=（m2 +2m） xm2m1,当m为何值时，f(x)是： （1）正比例函数； （2）反比例函数； （3）二次函数； （4）幂函数？
解: 因为x2< x ，即y1<y2 y
由图象知x的解集为
1
{x | 0 x 1}
o
y1 y2
1
x
下列是
y
|
1 x
|
的图像的是
（
B）
y ox
A
y ox
B
y ox
C
y ox
D
幂函数的性质
函数
性质
y=x
y=x2
y=x3
定义域 Ｒ
Ｒ
Ｒ
值域 R
[0,+∞)
R
1
y x2
[0,+∞) [0,+∞)
y=x-1 {x|x≠0} {y|y≠0}
2
4.15
-
,3.8
2 3
和（
3
-1.9）5
2.求满足式子的x的取值范围
（x 3）13
1
(1 2x) 3
3.若幂函数 y (m2 3m 3)xm2 的图象不过原点，求
m的取值范围
4.已知幂函数 f ( x) x m2 2m3 (m Z ) 为偶函数，且在区
间 (0, ) 上是单调减函数.
能获得-1哪<m些<3信(息m? Z）
∴m=0,1,2
1
当①m=m02时-2，my-=3x<-30;
当m=1时，y=x-4;
-1 o 1
x
当②m=m22时-2，my-=3x为-3; 偶数。
因为函数为偶函数
∴m=1.
变式 证明幂函数 f (x) x 在[0,+∞)上是增函数．
证明：任取x1,x2∈ [0,+∞)，且x1＜x2，则
f (x1) f (x2 ) x1 x2
(
x1
x2 )( x1
x2 )
x1 x2
除了作差，还有 没有其它方法呢？
x1 x2 x1 x2
因为x1 x2 0, x1 x2 0, 所以f (x1) f (x2 ),即幂函数 f (x) x在[0,)上是增函数 .
1.比较大小
和
(
1
)
7 8
9
( 3 ) 3 1.4 和 5 1.5
(1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那 么她需要支付p＝w元，这里p是w的函数；
(2) 如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S
＝a2，这里S是a的函数；
(3) 如果立方体的边长为a，那么立方体的体积V
＝a3，这里V是a的函数；
(1) 都是函数； (2) 指数为常数； (3) 均是以自变 量为底的幂.
2.3 幂函数
预习自测
1. 判断下列函数是否为幂函数
1
(1) y x 4 (2) y x 2 (3) y 2 x 2
(4) y x 2 (5) y x 3 2
2.若函数 y (a2 3a 3)x2 为幂函数，求a的值
3.比较下列各组数的大小
(1)
5
32
和
3 .1
5 2
(2)
8
7 8
区间（0，+∞）内是减函数，求满足条件的实数m的值。
解：由题意得m2 m 1 1
化简为m2 m 2 0
解得m 2或m 1
f (x)在（0,)单调递减
m2 2m 3 0
代入检验得m
<0
变式：幂函数y xm22m3(m Z) 的图像如图 所示， 求m的值。
y
思解考：：由由图幂知 函m数2-2的m-图3<像0 特,得征你
幂函数的图象
在同一平面
直角坐标系 内作出幂函 数y=x，y=x2， y=x3，y=x1/2， y=x-1的图象：
y y y=x3
y=x2 y=x
y=x1/2
y=x-1
O
x
同学们，我 们一起来画 画这些函数
的图像。
例2.如图所示，曲线是幂函数
y x 在第一象限内的图象,
已知 分别取 -1, 1, 1/2, 2