三角形“四心“的向量统一形式及证明

三角形“四心“的向量统一形式及证明
三角形的“四心”是指三角形内部的四个特殊点：重心、外心、垂心和内心。

以三角形的三个顶点A、B、C为坐标原点，分别取AD、BE、CF 为坐标轴，其中D、E、F分别为BC、AC、AB的三个中点。

则A、B、C的坐标分别为
A(0, 0)
B(1, 0)
C(k, m)
其中k、m为未知数，待求。

重心的坐标为三个顶点坐标的平均值，即
G((0+1+k)/3, (0+0+m)/3) = (1/3*k, m/3)
外心的坐标可以通过垂直平分线的交点求得。

设AB的垂直平分线为x=1/2，AC的垂直平分线为y=mx+b，交点为(Ox, Oy)。

由于垂直平分线是两条对称轴，所以可以得到下面两个方程：(1/2 + k) / 2 = Ox
m * Ox + b = Oy
解方程可以得到
Ox = 1/4 + k/2
Oy = m/4 + b
垂心的坐标可以通过高的垂直线交点求得。

设高的垂直线分别为x=c1和y=mc2+b2，两条垂直线的交点为(Hx, Hy)。

由于高的垂直线是两条轴线，所以可以得到下面两个方程：
c1 = 0
mc2 + b2 = 0
解方程可以得到
Hx = 0
Hy = -b2/m
内心的坐标可以通过三条角平分线的交点求得。

设角A的平分线为y=mx+b1，角B的平分线为y=mx+b2，角C的平分线为
y=mx+b3，三条平分线的交点为(Ix, Iy)。

由于角平分线相交于内心，所以可以得到下面三个方程：
Ix = (k+b2-b1) / (2*m)
Iy = m * Ix + b2
由以上分析可以得到“四心”的坐标：
重心G：(1/3*k, m/3)
外心O：(1/4 + k/2, m/4 + b)
垂心H：(0, -b2/m)
内心I：((k+b2-b1) / (2*m), m * ((k+b2-b1) / (2*m)) + b2)
证明这些点的向量统一形式，可以分别计算这些点和三个顶点之间的向量，观察它们是否有统一的形式。

以重心G为例，向量AG的坐标为
(1/3*k-0, m/3-0) = (1/3*k, m/3)
向量BG的坐标为
(1/3*k-1, m/3-0) = (-2/3+k, m/3)
向量CG的坐标为
(1/3*k-k, m/3-m) = (-2/3*k, -2/3*m)
可以看出，向量AG、BG、CG的形式是统一的，都能够写成(x, y)的形式。

类似地，可以验证“四心”点与其他两个顶点的向量也具有统一的
形式，由此可以得出“四心”的向量统一形式。

证明略。