第一方案 高三一轮复习(文理通用)第八章 平面解析几何第八节 抛物线

5 也是 5，从而线段 AB 中点到准线距离是 ，故 AB 中点到 y 轴的 2 5 1 距离是 － ＝2. 2 2
•答案：2
•5．设抛物线y2＝mx的准线与直线x＝1的距离 为3，则抛物线的方程为__________．
m 解析：当 m>0 时，准线方程为 x＝－ 4 ＝－2，∴m＝8； 此时抛物线方程为 y2＝8x； m 当 m<0 时，准线方程为 x＝－ ＝4，∴m＝－16. 4 此时抛物线方程为 y2＝－16x.
8 4 ∴N( ， ). 5 5
过抛物线 y2＝2px(p>0)焦点 F 的直线交抛物线于 A， B 两点，过 B 点作其准线的垂线，垂足为 D，设 O 为坐标原点， → → 问：是否存在实数 λ，使AO＝λOD？
【思路导引】 由抛物线方程得其焦点坐标和准线方程 → 按直线的斜率存在和不存在分情况讨论 → 由直线方程和抛物线方程组成方程组 → 研究A、D两点坐标的关系 → → → 求出向量AO、OD的坐标 → 探求λ的存在性
1 (2)由于直线 x＝－2即为抛物线的准线， 故|PB|＋d＝|PB|＋|PF|≥|BF|， 当且仅当 B、P、F 共线时取等号． 而|BF|＝ 1 12 2＋2 ＋12＝ 2.
∴|PB|＋d 的最小值为 2.
•【方法探究】
•提醒：建立函数关系后，一定要注意根据题 目的条件探求自变量的取值范围，即函数的定 义域．
• (2)抛物线的焦点弦的性质 •设AB是过抛物线 y2 ＝2px(p>0)焦点F的弦， A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
3．如图，已知直线 l：y＝kx－2 与抛物线 C：x2＝－2py(p>0) → → 交于 A，B 两点，O 为坐标原点，OA＋OB＝(－4，－12)．
(1)求直线 l 和抛物线 C 最 大值．
p 解析：(1)抛物线 y ＝2px(p>0)的准线为 x＝－2，
2
p 于是 4＋2＝5，∴p＝2. ∴抛物线方程为 y2＝4x.
(2)∵点 A 的坐标是(4,4)，由题意得 B(0,4)，M(0,2)， 4 3 又∵F(1,0)，∴kFA＝ .∵MN⊥FA，∴kMN＝－ . 3 4 4 则 FA 的方程为 y＝ (x－1)， 3 3 MN 的方程为 y－2＝－ x， 4 4 y＝3x－1， 解方程组 y－2＝－3x， 4 8 x＝5. 得 y＝4. 5
【思路导引】 由抛物线的定义知曲线段C是抛物线的一部分 → N是焦点，l2是准线 → 建系设出方程 → 根据题目的条件确定p的值 → 得方程，注明x，y的取值范围
【解析】 以直线 l1 为 x 轴， 线段 MN 的垂直平分线为 y 轴， 建立直角坐标系，由条件可知，曲线段 C 是以点 N 为焦点，以 l2 为准线的抛物线的一段．其中 A，B 分别为曲线段 C 的端点． 设曲线段 C 的方程为 y2＝2px(p>0)(xA≤x≤xB，y>0)， 其中 xA，xB 为 A，B 的横坐标，p＝|MN|， p p 所以 M(－ ，0)，N( ，0)．由|AM|＝ 17，|AN|＝3 2 2 p2 得(xA＋ ) ＋2pxA＝17① 2 p2 (xA－2) ＋2pxA＝9②
.
图形
y≥0，x∈R y≤0，x∈R y轴
p p (0，2) 原点O(0,0) (0，－2) p p y＝－2 y＝2
范围 对称轴 顶点坐标
焦点坐标
准线方程 离心率
e＝1
•1．抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点 A与抛物线焦点的距离为( ) •A．2 B．3 •C．4 D．5 •解析：点A与抛物线焦点的距离就是点A与抛 物线准线的距离，即4－(－1)＝5. •答案：D
(2)当直线 AB 的斜率存在时， p 设直线 AB 的方程为 y＝k(x－2)(k≠0)， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， p y12 y22 则 D(－2，y2)，x1＝ 2p ，x2＝ 2p ， p y＝kx－ 2 得 ky2－2py－kp2＝0， 由 y2＝2px p2 ∴y1y2＝－p2，∴y2＝－y ， 1
y＝kx－2， 解析：(1)由 2 x ＝－2py，
得 x2＋2pkx－4p＝0，
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝－2pk， y1＋y2＝k(x1＋x2)－4＝－2pk2－4， → → 因为OA＋OB＝(x1＋x2，y1＋y2) ＝(－2pk，－2pk2－4)＝(－4，－12)，
y02 y02 解析：由题意，设 P( 4 ，y0)，则|PF|＝|PM|＝ 4 ＋1＝5， 1 ∴y0＝± 4，S△MPF＝2|PM||y0|＝10.
•答案：D
•4．抛物线y2＝2x上的两点A、B到焦点的距离 之和是5，则线段AB中点到y轴的距离是 ________． 1
解析：由抛物线定义可知，A、B 到准线 x＝－2的距离之和
•1．若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线 x＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程． •解析：法一：设动圆半径为r，动圆圆心O′(x， y)， •因动圆与圆(x－2)2＋y2＝1外切， •则O′到(2,0)的距离为r＋1， •动圆与直线x＋1＝0相切，O′到直线x＋1＝0 的距离为r. •所以O′到(2,0)的距离与到直线x＝－2的距离 相等，
－2pk＝－4， 所以 －2pk2－4＝－12， p＝1. 解得 k＝2.
所以直线 l 的方程为 y＝2x－2， 抛物线 C 的方程为 x2＝－2y.
(2)法一：设 P(x0，y0)，依题意，抛物线过 P 的切线与 l 平行 1 2 时，△APB 面积最大，∵y＝－2x ， y′＝－x，k＝y′|x＝x0＝－x0＝kl＝2，∴x0＝－2， 1 2 y0＝－2x0 ＝－2，所以 P(－2，－2)． 此时 P 到直线 l 的距离
－y12 → AO＝(－x1，－y1)＝( 2p ，－y1)， p p p2 → OD＝(－2，y2)＝(－2，－y )， 1 → → 假设存在实数 λ，使AO＝λOD， y12 p － 2p ＝－2λ， 则 p2 －y1＝－ λ， y1 y12 解得 λ＝ p2 ，
y12 → → ∴存在实数 λ＝ 2 ，使AO＝λOD， p → → 综上所述，存在实数 λ，使AO＝λOD.
y＝2x－2 |2· －2－－2－2| 4 4 5 d＝ ＝ ＝ 5 ，由 2 ，得 x2＋ x ＝－2y 5 22＋－12
【解析】
→ → 存在实数 λ，使AO ＝λOD .抛物线方程为 y2 ＝
p p 2px(p>0)，则 F(2，0)，准线 l：x＝－2， (1)当直线 AB 的斜率不存在，即 AB⊥x 轴时，交点 A、B 坐 p p 标不妨设为：A(2，p)，B(2，－p) p ∵BD⊥l，∴D(－2，－p)， → ＝(－p，－p)，OD＝(－p，－p)， → ∴AO 2 2 → → ∴存在 λ＝1 使AO＝λOD.
•2．抛物线的标准方程与几何性质
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0)
图
形 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x轴
p (2，0) p x＝－2
范围
对称轴 顶点坐标
焦点坐标 准线方程
原点O(0,0)p (－2，0) p x＝2 e＝1
离心率
标准方程
x2＝
2py(p>0)
.
－2py(p>0) x2＝
2．抛物线 y＝ax2 的准线方程是 y－2＝0，则 a 的值是( 1 A. 8 C．8 1 B．－ 8 D．－8
2
)
1 解析： 将抛物线的方程化为标准形式 x ＝ay， 其准线方程是 y 1 1 ＝－ ＝2，a＝－ . 4a 8
•答案：B
3．从抛物线 y2＝4x 上一点 P 引其准线的垂线，垂足为 M， 设抛物线的焦点为 F，且|PF|＝5，则△MPF 的面积为( A．5 6 C．20 25 3 B. 4 D．10 )
法二：设动圆圆心坐标为 O′(x，y)，动圆半径为 r，
|OO′|＝r＋1， 据题意有 |x－－1|＝r，
⇒ x－22＋y2＝x＋2(x>－1)， 化简得 y2＝8x， 即动圆圆心的轨迹方程为 y2＝8x.
如图所示，直线 l1 和 l2 相交于点 M，l1⊥l2，点 N∈ l1，以 A，B 为端点的曲线段 C 上任一点到 l2 的距离与到点 N 的 距离相等． 若△AMN 为锐角三角形， |AM|＝ 17， |AN|＝3， 且|NB| ＝6，建立适当的坐标系，求曲线段 C 的方程．
•【思路导引】 (1)由定义知，抛物线上点P 到焦点F的距离等于点P到准线的距离d，求 |PA|＋|PF|的问题可转化为|PA|＋d的问题． •(2)把点P到直线的距离转化为到焦点的距离 即可解决．
【解析】
将 x＝3 代入抛物线方程 y2＝2x，得 y＝± 6.
∵ 6＞2，∴A 在抛物线内部，设抛物线上点 P 到准线 l：x 1 ＝－2的距离为 d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d， 7 当 PA⊥l 时，|PA|＋d 最小，最小值为2， 7 即(|PA|＋|PF|)min＝2. 此时 P 点纵坐标为 2，代入 y2＝2x 得 x＝2，∴P(2,2)．
•【方法探究】 (1)已知抛物线的标准方程， 可以确定抛物线的开口方向、焦点的位置及p 的值，进一步确定抛物线的焦点坐标和准线方 程． •(2)求抛物线的标准方程常用待定系数法，即 利用题目中的已知条件确定p的值． •提醒：求抛物线的标准方程首先要确定其开 口方向，其次是确定p的值．
•2．如图所示，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F， A在抛物线上，其横坐标为4，且位于x轴上方， A到抛物线准线的距离等于5.过A作AB垂直于y 轴，垂足为B，OB的中点为M. •(1)求抛物线方程； •(2)过M作MN⊥FA，垂足为N， •求点N的坐标．
4 联立①②解得 xA＝p，代入①式，并由 p>0，