高一平面解析几何初步复习讲义
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变式训练1：求过点A（2，－3），B（－2，－5），且圆心在直线x－2y－3=0上的圆的方程．
例2. 已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P，Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.
变式训练2：已知圆C：（x-1）2+(y-2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 (m∈R).
直线
条件
关系
l1：y＝k1x＋b1
l2：y＝k2x＋b2
l1：A1x＋B1y＋C1＝0
l2：A2x＋B2y＋C2＝0
平行
重合
相交
(垂直)
2．当直线平行于坐标轴时，可结合图形判定其位置关系．
（二）点到直线的距离、直线与直线的距离
1．P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0 的距离为______________．
⑤ 与Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程设为Bx－Ay＋C1＝0 (AB≠0).
例1. 已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0,
（1）试判断l1与l2是否平行；
（2）l1⊥l2时，求a的值.
变式训练1.若直线l1：ax+4y-20=0，l2：x+ay-b=0，当a、b满足什么条件时，直线l1与l2分别相交？平行？垂直？重合？
5．过两圆的公共点的圆系方程：设⊙C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，⊙C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，则经过两圆公共点的圆系方程为．
例1. 根据下列条件，求圆的方程．
(1) 经过A(6，5)，B(0，1)两点，并且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上．
(2) 经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长为6．
例2. 直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若A、B坐标分别为A(－4，2)、B(3，1)，求点C的坐标并判断△ABC的形状．
例3. 设点A(－3，5)和B(2，15)，在直线l：3x－4y＋4＝0上找一点p，使 为最小，并求出这个最小值．
变式训练3：已知过点A（1，1）且斜率为－m(m>0)的直线l与x、y轴分别交于P、Q两点，过P、Q作直线2x＋y＝0的垂线，垂足分别为R、S，求四边形PRSQ的面积的最小值．
（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；
变式训练4.直线l过点M(2，1)，且分别交x轴y轴的正半轴于点A、B，O为坐标原点．
(1)当△AOB的面积最小时，求直线l的方程；
(2)当 取最小值时，求直线l的方程．
第2课时 直线与直线的位置关系
（一）平面内两条直线的位置关系有三种________．
1．当直线不平行坐标轴时，直线与直线的位置关系可根据下表判定
变式训练1.（1）直线3y– x＋2=0的倾斜角是 （ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
（2）设直线的斜率k=2，P1（3，5），P2（x2，7），P（－1，y3)是直线上的三点，则x2，y3依次是 （ ）
A．－3，4 B．2，－3C．4，－3 D．4，3
（3）直线l1与l2关于x轴对称，l1的斜率是－ ，则l2的斜率是 （ ）
（五）五种常用的直线系方程.
① 过两直线l1和l2交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋ (A2x＋B2y＋C2)＝0(不含l2).
② 与直线y＝kx＋b平行的直线系方程为y＝kx＋m (m≠b).
③ 过定点(x0, y0)的直线系方程为y－y0＝k(x－x0)及x＝x0.
④ 与Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程设为Ax＋By＋m＝0 (m≠C).
A． B．－ C． D．－
（4）直线l经过两点（1，－2），（－3，4），则该直线的方程是．
例2. 已知三点A（1，-1），B（3，3），C（4，5）.
求证：A、B、C三点在同一条直线上.
变式训练2. 设a，b，c是互不相等的三个实数，如果A（a，a3）、B（b，b3）、C（c，c3）在同一直线上，求证：a+b+c=0.
2．直线l1∥l2，且其方程分别为：l1：Ax＋By＋C1＝0 l2：Ax＋By＋C2＝0，则l1与l2的距离为．
（三）两条直线的交角公式
若直线l1的斜率为k1，l2的斜率为k2，则
1．直线l1到l2的角θ满足．
2．直线l1与l2所成的角(简称夹角)θ满足．
（四）两条直线的交点：两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数．
2．过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式．若x1＝x2，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°．
3．直线方程的五种形式
名称
方程
适用范围
斜截式
点斜式
两点式
截距式
一般式
例1. 已知直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1．① 当m＝时，直线的倾斜角为45°．②当m＝时，直线在x轴上的截距为1．③ 当m＝时，直线在y轴上的截距为－ ．④ 当m＝时，直线与x轴平行．⑤当m＝时，直线过原点．
例3. 已知实数x,y满足y=x2-2x+2 (-1≤x≤1).
试求： 的最大值与最小值.
变式训练3. 若实数x,y满足等式(x-2)2+y2=3，那么 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
例4. 已知定点P(6, 4)与直线l1:y＝4x，过点P的直线l与l1交于第一象限的Q点，与x轴正半轴交于点M．求使△OQM面积最小的直线l的方程．
第3课时 圆的方程
1． 圆心为C(a、b)，半径为r的圆的标准方程源自文库_________________．
2．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D2＋E2－4F>0)，圆心为，半径r＝．
3．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的方程的充要条件是．
4．圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为_________．x2＋y2＝r2的参数方程为________________．
第1课时 直线的方程
1．倾斜角:对于一条与x轴相交的直线,把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角α叫做直线的倾斜角．当直线和x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0°．倾斜角的范围为________．
斜率:当直线的倾斜角α≠90°时，该直线的斜率即k＝tanα；当直线的倾斜角等于90°时，直线的斜率不存在．
例2. 已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P，Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.
变式训练2：已知圆C：（x-1）2+(y-2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 (m∈R).
直线
条件
关系
l1：y＝k1x＋b1
l2：y＝k2x＋b2
l1：A1x＋B1y＋C1＝0
l2：A2x＋B2y＋C2＝0
平行
重合
相交
(垂直)
2．当直线平行于坐标轴时，可结合图形判定其位置关系．
（二）点到直线的距离、直线与直线的距离
1．P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0 的距离为______________．
⑤ 与Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程设为Bx－Ay＋C1＝0 (AB≠0).
例1. 已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0,
（1）试判断l1与l2是否平行；
（2）l1⊥l2时，求a的值.
变式训练1.若直线l1：ax+4y-20=0，l2：x+ay-b=0，当a、b满足什么条件时，直线l1与l2分别相交？平行？垂直？重合？
5．过两圆的公共点的圆系方程：设⊙C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，⊙C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，则经过两圆公共点的圆系方程为．
例1. 根据下列条件，求圆的方程．
(1) 经过A(6，5)，B(0，1)两点，并且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上．
(2) 经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长为6．
例2. 直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若A、B坐标分别为A(－4，2)、B(3，1)，求点C的坐标并判断△ABC的形状．
例3. 设点A(－3，5)和B(2，15)，在直线l：3x－4y＋4＝0上找一点p，使 为最小，并求出这个最小值．
变式训练3：已知过点A（1，1）且斜率为－m(m>0)的直线l与x、y轴分别交于P、Q两点，过P、Q作直线2x＋y＝0的垂线，垂足分别为R、S，求四边形PRSQ的面积的最小值．
（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；
变式训练4.直线l过点M(2，1)，且分别交x轴y轴的正半轴于点A、B，O为坐标原点．
(1)当△AOB的面积最小时，求直线l的方程；
(2)当 取最小值时，求直线l的方程．
第2课时 直线与直线的位置关系
（一）平面内两条直线的位置关系有三种________．
1．当直线不平行坐标轴时，直线与直线的位置关系可根据下表判定
变式训练1.（1）直线3y– x＋2=0的倾斜角是 （ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
（2）设直线的斜率k=2，P1（3，5），P2（x2，7），P（－1，y3)是直线上的三点，则x2，y3依次是 （ ）
A．－3，4 B．2，－3C．4，－3 D．4，3
（3）直线l1与l2关于x轴对称，l1的斜率是－ ，则l2的斜率是 （ ）
（五）五种常用的直线系方程.
① 过两直线l1和l2交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋ (A2x＋B2y＋C2)＝0(不含l2).
② 与直线y＝kx＋b平行的直线系方程为y＝kx＋m (m≠b).
③ 过定点(x0, y0)的直线系方程为y－y0＝k(x－x0)及x＝x0.
④ 与Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程设为Ax＋By＋m＝0 (m≠C).
A． B．－ C． D．－
（4）直线l经过两点（1，－2），（－3，4），则该直线的方程是．
例2. 已知三点A（1，-1），B（3，3），C（4，5）.
求证：A、B、C三点在同一条直线上.
变式训练2. 设a，b，c是互不相等的三个实数，如果A（a，a3）、B（b，b3）、C（c，c3）在同一直线上，求证：a+b+c=0.
2．直线l1∥l2，且其方程分别为：l1：Ax＋By＋C1＝0 l2：Ax＋By＋C2＝0，则l1与l2的距离为．
（三）两条直线的交角公式
若直线l1的斜率为k1，l2的斜率为k2，则
1．直线l1到l2的角θ满足．
2．直线l1与l2所成的角(简称夹角)θ满足．
（四）两条直线的交点：两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数．
2．过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式．若x1＝x2，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°．
3．直线方程的五种形式
名称
方程
适用范围
斜截式
点斜式
两点式
截距式
一般式
例1. 已知直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1．① 当m＝时，直线的倾斜角为45°．②当m＝时，直线在x轴上的截距为1．③ 当m＝时，直线在y轴上的截距为－ ．④ 当m＝时，直线与x轴平行．⑤当m＝时，直线过原点．
例3. 已知实数x,y满足y=x2-2x+2 (-1≤x≤1).
试求： 的最大值与最小值.
变式训练3. 若实数x,y满足等式(x-2)2+y2=3，那么 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
例4. 已知定点P(6, 4)与直线l1:y＝4x，过点P的直线l与l1交于第一象限的Q点，与x轴正半轴交于点M．求使△OQM面积最小的直线l的方程．
第3课时 圆的方程
1． 圆心为C(a、b)，半径为r的圆的标准方程源自文库_________________．
2．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D2＋E2－4F>0)，圆心为，半径r＝．
3．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的方程的充要条件是．
4．圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为_________．x2＋y2＝r2的参数方程为________________．
第1课时 直线的方程
1．倾斜角:对于一条与x轴相交的直线,把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角α叫做直线的倾斜角．当直线和x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0°．倾斜角的范围为________．
斜率:当直线的倾斜角α≠90°时，该直线的斜率即k＝tanα；当直线的倾斜角等于90°时，直线的斜率不存在．