平面解析几何初步(知识点 例题)

个性化简案

个性化教案（真题演练）

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平面解析几何初步

知识点一：直线与方程

1. 直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角.倾斜角)180,0[︒∈α,︒=90α斜率不存在.

2. 直线的斜率：αtan ),(211

21

2=≠--=

k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.

3．直线方程的五种形式

【典型例题】

例1：已知直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m)y ＝4m －1．① 当m ＝ 时，直线的倾斜角为45°．②当m ＝ 时，直线在x 轴上的截距为1．③ 当m ＝ 时，直线在y 轴上的截距为－2

3．④ 当m ＝ 时，直线与x

轴平行．⑤当m ＝ 时，直线过原点．

【举一反三】

1. 直线3y ＋ 3 x ＋2=0的倾斜角是 （ ） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°

2. 设直线的斜率k=2，P 1（3，5），P 2（x 2，7），P （－1，y 3)是直线上的三点，则x 2，y 3依次是 （ ） A ．－3，4 B ．2，－3 C ．4，－3 D ．4，3

3. 直线l 1与l 2关于x 轴对称，l 1的斜率是－7 ，则l 2的斜率是 （ ）

A ．7

B ．－

77 C ．77

D ．－7 4. 直线l 经过两点（1，－2），（－3，4），则该直线的方程是 ．

例2：已知三点A （1，-1），B （3，3），C （4，5）.求证：A 、B 、C 三点在同一条直线上.

练习：设a ，b ，c 是互不相等的三个实数，如果A （a ，a 3）、B （b ，b 3）、C （c ，c 3）在同一直线上，求证：a+b+c=0.

例3：已知实数x,y 满足y=x 2-2x+2 (-1≤x≤1).试求：2

3

++x y 的最大值与最小值.

变式训练3. 若实数x,y 满足等式(x-2)2+y 2=3，那么x

y

的最大值为（ ）

A.2

1

B.

3

3 C.

2

3 D.3

例4.：已知定点P(6, 4)与直线l 1:y ＝4x ，过点P 的直线l 与l 1交于第一象限的Q 点，与x 轴正半轴交于点M ．求使△OQM 面积最小的直线l 的方程．

练习：直线l 过点M(2，1)，且分别交x 轴y 轴的正半轴于点A 、B ，O 为坐标原点． （1）当△AOB 的面积最小时，求直线l 的方程； （2）当MB MA ⋅取最小值时，求直线l 的方程．

知识点二：直线与直线的位置关系

一：两条直线的平行和垂直：

（1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+

① 212121,//b b k k l l ≠=⇔； ② 12121l l k k ⊥⇔=-. （2）若0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有

① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=⇔且．② 0212121=+⇔⊥B B A A l l ． 二：点到直线的距离、直线与直线的距离

1. 点到直线的距离公式：点),(00y x P 到直线0=++C By Ax l ：的距离：2

2

00B

A C

By Ax d +++=

．

2. 两平行直线间的距离：两条平行直线002211=++=++C By Ax l C By Ax l ：，：距离：2

2

21B

A C C d +-=．

三：两条直线的交角公式

若直线l 1的斜率为k 1，l 2的斜率为k 2，则 1．直线l 1到l 2的角θ满足21121tan k k k k +-=

θ．2．直线l 1与l 2所成的角(简称夹角)θ满足2

11

21tan k k k k +-=θ．

四：两条直线的交点：两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数．

五：五种常用的直线系方程.

① 过两直线l 1和l 2交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(不含l 2). ② 与直线y ＝kx ＋b 平行的直线系方程为y ＝kx ＋m (m≠b). ③ 过定点(x 0, y 0)的直线系方程为y －y 0＝k(x －x 0)及x ＝x 0.

④与Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程设为Ax＋By＋m＝0 (m≠C).

⑤与Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程设为Bx－Ay＋C1＝0 (AB≠0).

【典型例题】

例1：已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0,

（1）试判断l1与l2是否平行；（2）l1⊥l2时，求a的值.

练习：若直线l1：ax+4y-20=0，l2：x+ay-b=0，当a、b满足什么条件时，直线l1与l2分别相交？平行？垂直？重合？

例2：已知直线l经过两条直线l1：x＋2y＝0与l2：3x－4y－10＝0的交点，且与直线l3：5x－2y＋3＝0的夹角

π，求直线l的方程．

为

4

练习：某人在一山坡P处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220

1.（米），OA=200（米），图中所示的山坡可视为直线l，且点P在直线l上，l与水平地面的夹角为α,tanα=

2试问，此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC最大（不计此人的身高）？

例3：直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若A、B坐标分别为A(－4，2)、B(3，1)，求点C的坐标并判断△ABC的形状．

练习：三条直线l1：x+y+a=0，l2：x+ay+1=0，l3：ax+y+1=0能构成三角形，求实数a的取值范围。