2019_2020学年高中数学检测(五)单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质单位圆的对称性与诱导公式北师大版

课时跟踪检测（五） 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 单位

圆的对称性与诱导公式

一、基本能力达标 1．sin 480°的值为( ) A ．－1

2

B ．－32

C. 12

D.

32

解析：选D sin 480°＝sin(360°＋120°)＝sin(180°－60°)＝sin 60°＝32

. 2．已知sin ⎝

⎛⎭

⎪⎫5π2＋α＝15

，那么cos α＝( )

A ．－25

B ．－1

5

C. 15

D. 25

解析：选C sin ⎝

⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2＋α＝cos α＝15.

3．函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－π4，π4的最大值和最小值分别是( ) A ．1，－1 B ．1，

2

2 C.22，－22

D ．1，－

22

解析：选C 函数y ＝sin x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上是增加的，则最大值是sin π4＝22，最小值是sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－22.

4．sin(π－2)－cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2－2化简的结果为( ) A ．0 B ．－1 C ．2sin 2

D ．－2sin 2

解析：选A 原式＝sin 2－sin 2＝0，所以选A. 5．若sin(9π＋α)＝－12，则cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫7π2－α＝( )

A ．－12

B.12

C.32

D ．－

32

解析：选A ∵sin(9π＋α)＝sin(π＋α)＝－sin α＝－1

2，

∴sin α＝1

2，

∴cos ⎝

⎛⎭⎪⎫7π2－α＝cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫3π2－α＝－sin α＝－12.

6．函数y ＝2＋1

3cos x 的定义域为________．

解析：由条件知定义域为R. 答案：R

7．函数y ＝sin x ，x ∈⎣

⎢⎡⎦⎥⎤－π，π3的增区间为________，减区间为________． 解析：借助单位圆可知，y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，π3，在区间⎣

⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上是减少的，

在⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－π2，π3上是增加的．

答案： ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2 8．已知α为第二象限角，化简

1＋2sin (5π－α)cos (α－π)

sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2－ 1－sin 2⎝ ⎛⎭

⎪⎫3π2＋α＝________.

解析：原式＝1＋2sin α(－cos α)cos α－⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝|sin α－cos α|

cos α－|sin α|.

∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0， ∴原式＝sin α－cos α

cos α－sin α＝－1.

答案：－1

9．设f (θ)＝2cos 3θ＋sin 2⎝

⎛⎭⎪⎫θ＋π2－2cos (－θ－π)2＋2cos 2

(7π＋θ)＋cos (－θ)， 求f ⎝

⎛⎭

⎪

⎫2 017π3的值．

解：因为f (θ)＝2cos 3θ＋sin 2⎝

⎛⎭⎪⎫θ＋π2－2cos (－θ－π)2＋2cos 2

(7π＋θ)＋cos (－θ) ＝2cos 3

θ＋cos 2

θ＋2cos θ2＋2cos 2

θ＋cos θ

＝cos θ(2cos 2

θ＋cos θ＋2)2＋2cos 2

θ＋cos θ＝cos θ， 所以f ⎝

⎛⎭

⎪⎫2 017 π3＝cos 2 017 π3

＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫336×2π＋π3＝cos π3＝12. 10．求下列函数的最小正周期及值域．

(1)y ＝－cos x ＋2；(2)y ＝a sin x ＋b (a ＜0)．

解：(1)当y ＝cos x 取得最大值时，y ＝－cos x ＋2取得最小值，而当y ＝cos x 取得最小值时，y ＝－cos x ＋2取得最大值，所以y ＝－cos x ＋2的值域是[1,3]，最小正周期是2π.

(2)∵－1≤sin x ≤1，且a ＜0，∴当sin x ＝－1时，

y max ＝－a ＋b ；当sin x ＝1时，y min ＝a ＋b ，∴y ＝a sin x ＋b 的值域是[a ＋b ，－a ＋b ]，y

＝a sin x ＋b 的最小正周期是2π.

二、综合能力提升

1．如果α＋β＝180°，那么下列等式中成立的是( ) A ．cos α＝cos β B ．cos α＝－cos β C ．sin α＝－sin β

D ．sin α＝cos β

解析：选 B 由α＋β＝180°得α＝180°－β，两边同时取正弦函数得sin α＝sin(180°－β)＝sin β，两边同时取余弦函数得cos α＝cos(180°－β)＝－cos β. 2．化简sin (π＋α)cos (2π－α)

cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α所得的结果是( )

A ．sin α

B ．－sin α

C ．cos α

D ．－cos α

解析：选C 原式＝－sin αcos α

－sin α

＝cos α.

3．已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4，x ∈R ，且f (2 017)＝3，则f (2 018)的值为( )