人教版数学高二-备课资料不等式部分专题解析

<<不等式>>部分专题解析
从05、06高考试题分析，不等式仍是高考数学的重点内容之一，从题型上看选择题、填空题主要考查不等式的性质、比较大小、解简单的不等式和简单的线性规划等；与其他知识结合的大题主要考查不等式的解法，不等式的证明和不等式应用为主。

这类题目对于测试考生的能力有独特的作用，可预见未来的高考试题，将更加突出不等式的灵活性、综合性、应用性和隐蔽性，但试题难度不大，基础性较强。

下面通过几个典型例题对不等式部分作简单的例析 一、不等关系与不等式的性质的考查：
1、（06年山东模拟试题）若,,a b c 为实数，则下列命题正确的是 A 、若a b >，则2
2
ac bc > B 、若0a b <<，则2
2
a a
b b >> C 、若0a b <<，则
11a b < D 、若0a b <<，则b a a b
> 解析：对于A ，因为2
0c ≥，所以只有0c ≠时才正确，0c =时，2
2
ac bc =，所以A 是
假命题；
对于B ，2
,0a b a a ab <<⇒>，2
,0a b b ab b <<⇒>，故B 是真命题；
对于C ，由性质定理11
0a b a b <<⇒
>，故C 是假命题； 对于D ，例如320-<-<时，则23
32
<，故D 是假命题。

知识点评：本题主要涉及不等式的性质在具体问题中的应用，在应用过程中尤其要注意各性
质成立的前提条件是否真正具备，一定要注意全面地考虑问题，否则就会得到错误的结论。

二、基本不等式的考查： 例2、求函数2
y =
的最小值 。

错解：∵2
2
14
24
y x =
=≥
=+
∴min 2y =。

解析：2
y =
= 令：2t =
≥ 则1y t t
=+，则[)2,t ∈+∞是增函数，∴min 15222
y =+=
=
2
3x =-，所以等号是不成立
的，不满足基本不等式求最值的第三个条件，此时可利用函数的单调性，求得最值。

利用基本不等式求最值时，要特别注意使用的条件。

三、线性规划问题的考查：
例3、（06年全国）设2z y x =-，式中变量,x y 满足下列条件：2132231x y x y y -≥-⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，求z 的
最大值为 。

解析：作出可形域，如图所示，
可知当z 最大时过点()3,7A ， 此时27311z =⨯-=。

点评：本题主要考查线性规划的知识，解决线性规划问题时，要把握好线性规划处理的基本方法。

四、简单不等式的证明的考查：
例4、等比数列{}n a 同时满足下列三个条件： ①1633a a +=；②2532a a =；③三个数
2344,2,a a a 依次成等差数列。

⑴试求数列{}n a 的通项公式n a ，并求其前n 项和n S 。

⑵证明：
2
21
1n n n S S S ++≤。

解析：⑴略解：可得：12,21n n
n n a S -==-
⑵12
1221,21n n n n S S ++++=-=-，要证：
2
2
1
1n n n S S S ++≤ 只需证：221n n n S S S ++≤，即证：2
120n n n S S S ++-≥
∵(
)()()2
1
2212212
12121222222220n n n n n n n n ++++++----=+-≥-=
∴2
120n n n S S S ++-≥恒成立，所以
2
2
1
1n n n S S S ++≤ 点评：比较法证不等式有作差、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述。

五、含参数的不等式的考查：
例5、解关于x 的不等式
()1,02
ax
a x >-
分析：本题是典型的含参数a 的的分式不等式，所以注意分类讨论的思想，首先移项在通分，然后对参数a 进行分类讨论。

解析：由不等式
1
2
ax
x -可得：
()1210022
a x ax
x x -+-⇒--
①当1a 时，
221a
- 所以原不等式的解集为2|21x x
x
a ⎧
⎫⎨⎬-⎩
⎭
或； ②当01a 时，
221a
-，原不等式的解集为2|2
1x x
a ⎧
⎫⎨⎬-⎩
⎭
； ③当1a =时，
2
21a
=-，原不等式的解集为{}|2x x 。

综上所述，原不等式的解集为： 当0
1a 时，原不等式的解集为2|2
1x x
a ⎧
⎫⎨⎬-⎩
⎭
； 当1a =时，原不等式的解集为{}|2x x 。

当1a
时，原不等式的解集为2|21x x
x
a ⎧
⎫⎨⎬-⎩
⎭
或； 点评：解含参数的分式不等式的关键在于把分式不等式整理变形，然后对参数进行合理的分类讨论，做到分类讨论的不重、不漏的基本原则，切忌不要盲目地在两边乘以一个式子的方法去掉分母。

六、不等式与函数、三角、数列等知识的综合考查：
例6、（06年重庆试题）设0,1a a >≠，函数()()
2log 23a f x x x =-+有最小值，则不等式()log 10a x ->的解集为 。

解析：若()f x 有最小值，则1a >，()log 1log 1a a x ->，所以11
210x x x ->⎧⇒>⎨->⎩
所以解集为()2,+∞。

点评：本题考查对数不等式的解法及最值问题，立意新颖，体现了不等式与函数结合。

例7、（06年山东模拟）设全集U R = ⑴解关于x 的不等式()110,x a a R -+-∈
⑵记A 为⑴中不等式的解集，
集合|sin 033B x x x ππππ⎧⎫⎛⎫
⎛
⎫=-
-=⎨⎬ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎩⎭
，
若()U C A B ⋂恰好有3个元素，求a 的取值范围。

解：⑴由()110,x a a R -+-∈ 得：11x a --
当1a
时，不等式的解集为x R ∈；
当1a ≤时，则原不等式11x a --，等价于11x a --或11x a --
所以不等式的解集为：{}|2x x a x
a -或。

⑵ 当1a
时，U C A φ=；
当1a ≤时，{}|2U C A x a x x =≤≤-
又因为：sin 2sin 33x x x πππππ⎛⎫
⎛
⎫-
-== ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭ 由sin 0x π=，得(),x k k Z ππ=∈ 即 ,x k Z B Z =∈=
当()U C A B ⋂恰好有3个元素时， a 应满足：1
22310a a a ⎧⎪
≤-⎨⎪-≤⎩
解得：1
0a -≤
点评：本题主要考查集合的有关概念、含绝对值的不等式、简单三角函数的化简和已知三角函数值求角等基础知识，考查简单的分类讨论方法，以及分析问题和推理计算能力。