二维拉普拉斯方程的边值问题

1
a1 0 ,
an 0, n 1,
因此解为 u , cos
0
例 一半径为 a 的半圆形平板,其圆周边界上的温度
保持 u(a, ) T ( - ), 而直径边界上的温度保持
为0度,板的侧面绝缘,试求稳恒状态下的温度分布
规律 u( , ). P54 (13)
提示: 定解问题
2u 1 u 1 2u

2 u(a, )
T

(
2 ),
2

0, 0
0 ,

a,
0




u( ,0) u(, ) 0, 0 a,
| u(0, ) | , 0 .

An

Bn

2 a
a 0
f
sin n
a
d


An
n
ea
b

Bn

e
n a
b

2 a
a 0
g

sin n d .
a
n 1, 2
由上式解出 An 和 Bn , 即得原方程的解。
练习：在矩形 (0 x a, 0 y b)中求解拉普拉斯 方程的定解问题 :
设u( x, y) X ( x)Y ( y), 且 u( x, y) 0, 代入方程
(2.3.1), 分离变量得
X '' X 0, Y '' Y 0
由边界条件可以知道：X(0)=X(a)=0，也就是说
X '' x X x 0

X
0

X

2u x2

2u y2

0,
0 x a,
0 yb

u x,0 f x; u x,b g x,


u
0,
y


0;
ua, y 0.
(2.3.1) (2.3.2) (2.3.3)
思路：应用分离变量法 ，将 y想象为时间，将 (2.3.3)看作(齐次) 边界条件。
n2 (n 1,2,).
为了保证 | R(0) | , 必须有 dn 0, n 0, 1, 2,...,即
Rn cn n , n 0, 1, 2,...,
利用叠加原理，方程(2.3.4)满足条件(2.3.5)—(2.3.7) 的解可表示为:
u
,



a

0
Leabharlann Baidu
这个常微分方程的特征值和特征函数分别为：

n


X
n


n2
a2
x
2
Cn
sin
n
a
x
n 1, 2,
代入到关于 y 的方程
得到 Y(y) 的
一组解：
n y
n y
Yn y An e a Bn e a
从而得到方程(2.3.1)满足条件(2.3.3)的一组特解：
a0 2

n1

n
an
cos
n

bn
sin
n

其中 a0 2a0' c0 , an an' cn , bn bn' cn.
应用条件 u |0 f ,
f
( )

a0 2

n1
0n
an cos n bn sin n
因此，a0 , 0nan , 0nbn 就是 f ( ) 展为Fourier 级数
1

u


1
2
2u
2

0
0 0, 0 2

u
|

0

cos
(0 2 )
解: 直接利用公式，
cos

a0 2


0n
n1
an cos n bn sin n
注意到三角函数的正交性质, 可得 bn 0, n 1,2,...
n



an
cos
n
bn sin n ,
n 1,2,...
下面解方程
Euler 方程
2R R R 0,

R0

.
(2.3.9)
通解为
R0 c0 d0 ln , 0，
Rn

cn n

dn n,
提示：将第三式看作边界条件。
圆域上的拉普拉斯方程
考察一个半径为 0 的圆形薄板，板的上下两面绝热， 圆周边缘的温度为已知函数 f ( ) (0 2且 ), 求稳f (恒0)状态f (下2的).温度分布规律。
解：稳恒状态下的温度分布满足拉普拉斯方程。
由于是圆形区域，为了应用分离变量法，采取极 坐标变换：
(1

cos n
),
u ,

4T

n1
n
ann3
[1

(1)n
]sin
n
.
x cos

y


sin
1


x

cos



x

sin
0


x

sin



x
cos
cos , sin
x
un
x, y
n y
( An e a

Bn
e

n a
y
)
sin
n
a
x
方程(2.3.1)和边界条件(2.3.3)都是线性齐次的，由 叠加原理
u
x, y


n y
( An e a
n1

Bn
e

n a
y
)
sin
n
a
x
仍满足方程(2.3.1)和条件(2.3.3)。
考虑到 (2.3.2)：u(x,0) = f (x), u(x,b) = g (x), 得
2R R R 0 0
由自然边界条件和周期性条件知：
R0 , 2
于是得到两个常微分方程的定解问题：
0
2
2R R R 0,

u , dn n sin n , n1
将 u(a, ) T ( ) 代入上式,

dnan sin n T ( )
n1
dnan
sin2 n d
0

T ( )sin n d
0
dn

4T
ann3
2u
2

0


u
|

0

f


(2.3.4) (2.3.5)
u0, u , 2 u ,
(2.3.6) 自然边界条件 (2.3.7) 周期性条件
设方程(2.3.4)满足条件 (2.3.5)—(2.3.7)的解为:
n m 时,有
2
2
0 cos n sin m d 0 sin n sin m d
2
0 cos n cos m d 0
即1, cos n , sin n : n 1, 2 在区间 [0, 2 ]
是正交的。
注1: 经过化简, 方程的解可以表示为
x
同理 sin , cos
y
y
u u u u cos u sin
x x x

2u x 2


2u
2


x

2u



x

cos


u
u,

1
2
2 0
f
t
02

2
02 2
20 cos
td t
其中 0 2， 0.
上式称为圆域内的泊松公式.
注2: 半圆域、扇形域、圆环域等区域上的 拉普拉斯方程的边值问题可用类似方法求解。
例：解定解问题
2u


2

时的系数, 即
a0

1

2 f d ,
0
an

1
0n
2 f cos n d
0
1
bn 0n
2 f sin n d ,
0
n 1,2,...
2
2
0 1 cos n d 0 1 sin n d 0, n 1,2,...

1

u


1
2
2u
2

0
课后作业
P54 习题二 14. 18.

R0

.
由于条件 2 满足可加性, 所以先考虑
特征值问题
0
2
(2.3.8)
结合周期条件，可得
特征值 n n2, n 0,1,2,...
特征 0( ) a0 ,
函数
2u
2

1

u


1
2
2u
2

0
u(, ) R( )( ),
代入到原方程得:
R

1

R

1
2
R

0
分离变量,令其比值为常数 ,
2R R
R

由此得到两个常微分方程: u(, ) R( )( ),
x cos

y


sin
用 u( , ) 表示圆形板内 ( , ) 点的温度，则问题
可以转换（如何转化？）为解定解问题：
2u 1 u 1 2u


2




2
2

0
0 0

或者

1



(
u )

1
2

( sin )

x


2u



x

2u
2


x

sin

u


1

cos


x

sin 2


x

同理
2u y2 .......,
代入
2u 2u x2 y2 0
2u
2
0, 0 ,
0 0,
2R R R 0,

R0

.
特征值 n n2, n 1,2,...
特征函数 n bn sin n , n 1,2,...
R( ) cn n, n 1,2,...