高中数学第三章导数及其应用3.1.3导数的几何意义学案新人教A版选修1_1

3.1.3 导数的几何意义
内
容 标 准
学 科 素 养 1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义． 2.会求简单函数的导函数．
3.根据导数的几何意义，会求曲线上某一点处的切线方程.
利用数学抽象 发展逻辑推理 提高数学运算
授课提示：对应学生用书第53页
[基础认识]
知识点一 导数的几何意义
导数f ′(x 0)表示函数f (x )在x ＝x 0
处的瞬时变化率，反映了函数f (x )在x ＝x 0附近的变化情况．那么，导数f ′(x 0)的几何意义是什么呢？
如图，当点P n (x n ，f (x n ))(n ＝1,2,3,4)沿着曲线f (x )趋近于点P (x 0，f (x 0))时，割线PP n 的变化趋势是什么？
预习教材P 76－79，思考并完成以下问题
提示：当点P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为点P 处的切线．
割线PP n 的斜率是k n ＝f (x n )－f (x 0)
x n －x 0
.
当点P n 无限趋近于点P 时，k n 无限趋近于切线PT 的斜率．因此，函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线PT 的斜率k ，即k ＝lim
Δx →0
f (x 0＋Δx )－f (x 0)
Δx
＝f ′(x 0)．
知识梳理(1)导数的几何意义
函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝f′(x0)＝lim
Δx→0f(x0＋Δx)－f(x0)
Δx.
(2)切线方程：
曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
特别提醒：曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可能有多个，甚至可以无穷多．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．
知识点二导函数的概念
知识梳理从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数．这样，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．y
＝f(x)的导函数有时也记作y′.即f′(x)＝y′＝lim
Δx→0f(x＋Δx)－f(x)
Δx.
[自我检测]
1．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为()
A．4B．16
C．8 D．2
答案：C
2．曲线y＝2x2＋1在点P(－1,3)处的切线方程为________．
答案：4x＋y＋1＝0
授课提示：对应学生用书第54页
探究一导数几何意义的应用
[阅读教材P77例2]如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t ＋10的图象．根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t0，t1，t2附近的变化情况．
题型：导数几何意义的应用．
方法步骤：①分别观察得出h(t)在t0，t1，t2处的导数，即切线的斜率的大小．
②导数是刻画函数的变化快慢情况的量．
③得出t0处h(t)几乎没有升降．
又∵h′(t1)<h′(t2)<0，
∴h(t)在t1附近比在t2附近下降得缓慢．
[例1]如图表示物体运动的位移随时间变化的函数f(t)＝4t－2t2
的图象，试根据图象，描述、比较曲线f(t)在t0，t1，t2附近的变化情
况，并求出t＝2时的切线方程．
[解析]用曲线f(t)在t0，t1，t2处的切线，刻画曲线f(t)在t0，t1，
t2附近的变化情况．
(1)当t＝t0时，曲线f(t)在t0处的切线l0平行于x轴，所以，在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降；
(2)当t＝t1时，曲线f(t)在t1处的切线l1的斜率f′(t1)<0，所以，在t＝t1附近曲线下降，即函数f(t)在t＝t1附近单调递减；
(3)当t＝t2时，曲线f(t)在t2处的切线l2的斜率f′(t2)<0，所以，在t＝t2附近曲线下降，即函数f(t)在t＝t2附近也单调递减．
由图象可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，说明曲线f(t)在t1附近比在t2附近下降得缓慢；
(4)当t＝2时，f(2)＝0.在t＝2时的切线的斜率
k＝f′(2)＝lim
Δx→0f(2＋Δt)－f(2)
Δt＝lim
Δx→0
4(2＋Δt)－2(2＋Δt)2－8＋8
Δt＝lim
Δx→0
4Δt－2(Δt)2－8Δt
Δt＝
lim
Δx→0
(－2Δt－4)＝－4.所以切线的方程为y＝－4(x－2)，即4x＋y－8＝0.
方法技巧函数y＝f(x)在点P处的切线的斜率，即函数y＝f(x)在点P处的导数，反映了曲线在点P处的变化率．一般地，切线的斜率的绝对值越大，变化率就越大，曲线的变化就越快，弯曲程度越大；切线斜率的绝对值越小，变化率就越小，曲线的变化就越慢，弯曲程度越小，即曲线比较平缓；反之，由曲线在点P附近的平缓、弯曲程度，可以判断函数在P 处的切线的斜率的大小．
跟踪探究
1．已知函数f (x )的图象如图所示，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列结论正确的是( )
A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)
B ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)
C ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)
D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)
解析：从图象上可以看出f (x )在x ＝2处的切线的斜率比在x ＝3处的斜率大，且均为正数，所以有0<f ′(3)<f ′(2)，此两点处的斜率f (3)－f (2)3－2比f (x )在x ＝2处的切线的斜率小，比f (x )在
x ＝3处的切线的斜率大，所以0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)，故选B.
答案：B
探究二 求曲线在某点处的切线方程
[教材P 110复习参考题A 组1题]已知点P 和点Q 是曲线y ＝x 2－2x －3上的两点，且点P 的横坐标是1，点Q 的横坐标是4，求：
(1)割线PQ 的斜率； (2)点P 处的切线方程．
解析：(1)由题可知P (1，－4)，Q (4,5)， ∴k PQ ＝93
＝3.
∴割线PQ 的斜率为3.
(2)点P 处切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝lim
Δx →0 (1＋Δx )2－2(1＋Δx )－3－(12－2－3)
Δx
＝lim
Δx →0Δx ＝0， 当x ＝1时y ＝－4， ∴P 处切线方程为y ＝－4.
[例2] 求曲线y ＝1
x
在点⎝⎛⎭⎫2，12处的切线方程． [解析] 因为y ′|x ＝2＝lim
Δx →0
1
2＋Δx －1
2Δx ＝lim
Δx →0
－1
2(2＋Δx )
＝－1
4，所以这条曲线在点⎝⎛⎭⎫2，12处
的切线斜率为－14，由直线的点斜式方程可得切线方程为y －12＝－1
4
(x －2)，即x ＋4y －4＝0.
方法技巧 求曲线在某点处的切线方程的步骤 求斜率―→求出曲线在点(x 0，f (x 0))处切线的斜率
f ′(x 0)
→用点斜式y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)写出切线方程
变形式―→将点斜式变为一般式
跟踪探究 2.曲线y ＝x 2＋1在点P (2,5)处的切线与y 轴交点的纵坐标是________． 解析：k ＝lim
Δx →0 (2＋Δx )2＋1－22－1
Δx
＝lim
Δx →0
(Δx ＋4)＝4， ∴曲线在P 处的切线方程为y －5＝4(x －2)， 即y ＝4x －3， 令x ＝0得y ＝－3,
∴切线与y 轴交点的纵坐标是－3. 答案：－3
3．若曲线y ＝x 3＋3ax 在某点处的切线方程为y ＝3x ＋1，求a 的值． 解析：∵y ＝x 3＋3ax .
∴y ′＝lim
Δx →0 (x ＋Δx )3＋3a (x ＋Δx )－x 3－3ax Δx
＝lim
Δx →0 3x 2Δx ＋3x (Δx )2＋(Δx )3＋3aΔx Δx
＝lim
Δx →0
[3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2＋3a ]＝3x 2＋3a . 设曲线与直线相切的切点为P (x 0，y 0)，结合已知条件，得
⎩⎪⎨⎪⎧
3x 20＋3a ＝3，x 30＋3ax 0＝y 0＝3x 0＋1，
解得⎩⎨⎧
a ＝1－3
22，x 0
＝－3
4
2，
∴a ＝1－
3
2
2
. 探究三 求曲线过某点的切线
[例3] 已知曲线y ＝2x 2－7，求曲线过点P (3,9)的切线方程． [解析] y ′＝lim
Δx →0
Δy
Δx
＝lim
Δx →0 [2(x ＋Δx )2－7]－(2x 2－7)
Δx ＝lim
Δx →0 (4x ＋2Δx )＝4x . 由于点P (3,9)不在曲线上．
设所求切线的切点为A (x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝4x 0， 故所求的切线方程为y －y 0＝4x 0(x －x 0)， 将P (3,9)及y 0＝2x 20－7代入上式，
得9－(2x 20－7)＝4x 0(3－x 0
)． 解得x 0＝2或x 0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)． 从而所求切线方程为8x －y －15＝0或16x －y －39＝0. 方法技巧 求曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线方程的步骤
(1)设切点为A (x A ，f (x A ))，求切线的斜率k ＝f ′(x A )，写出切线方程．
(2)把P (x 0，y 0)的坐标代入切线方程，建立关于x A 的方程，解得x A 的值，进而求出切线方程．
跟踪探究 4.求过点A (2,0)且与曲线y ＝1
x
相切的直线方程．
解析：易知点(2,0)不在曲线上，故设切点为P (x 0，y 0)，由 y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0 1
x 0＋Δx －1x 0Δx ＝－1
x 20， 得所求直线方程为y －y 0＝－1
x 20
(x －x 0)．
由点(2,0)在直线上，得x 20y 0＝2－x 0，再由P (x 0，y 0)在曲线上，得x 0y 0＝1，联立可解得x 0
＝1，y 0＝1，
所求直线方程为x ＋y －2＝0.
授课提示：对应学生用书第55页
[课后小结]
(1)导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝lim
Δx →0
f (x 0＋Δx )－f (x 0)
Δx
＝f ′(x 0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．
(2)“函数f (x )在点x 0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f ′(x 0)是其导数y ＝f ′(x )在x ＝x 0处的一个函数值．
(3)利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x 0，f (x 0))，表示出切线方程，然后求出切点．
[素养培优]
切线问题中忽视切点的位置致误
求过曲线f (x )＝x 3－2x 上的点(1，－1)的切线方程．
易错分析 求过一点P 的曲线的切线方程，该点P 不一定是切点，易把P 点当作切点求解致误．考查数学抽象及逻辑推理的数学素养．
自我纠正 设P (x 0，y 0)为切点， f ′(x 0)＝lim
Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)
Δx
＝lim
Δx →0 (x 0＋Δx )3－2(x 0＋Δx )－x 30＋2x 0Δx
＝3x 20－2，
所以切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)，
即y －(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(x －x 0)．
又知切线过点(1，－1)，
所以－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)．
解得x 0＝1或x 0＝－12
.
故所求切线方程为y －(1－2)＝(3－2)(x －1)， 或y －⎝⎛⎭⎫－18＋1＝⎝⎛⎭⎫34－2⎝⎛⎭⎫x ＋12， 即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0.。