计算机组成原理 [袁春风]chap3

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3.3 定点加减运算
② “求负数补码”电路
[-B] 补 =？增加取反电路，再 加适当控制。 设：bi*=bi ⊕C0 ，则 C0 =0，则bi*=bi ，且做加法； Cn C0 =1，则bi*=bi ，且做减法。 因此， C0有两个作用： 功能控制：用于求反操作的启 动信号。 求负数的补码时，进行加1操作。
一个简单数据通路实例
一个四位数据通路芯片-AM2901A
现代计算机所用数据通路(流水线/超标量/...)
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3.2 算术逻辑部件(ALU)
ALU（Arithmetic Logic Unit）:
用来执行各种算术 和逻辑运算。 １位ALU 行波进位ALU 先行进位ALU ALU的核心是 加法器，以下 围绕加法器介绍
局部先行进位加法器
所有和数产生的延迟为：5+2+2+5=14ty
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多级先行进位加法器
(3) 多级先行进位加法器
– 单级(局部)先行进位加法器的进位生成方式： “组内并行、组间串行” – 所以，单级先行进位加法器虽然比行波加法器延迟时间短， 但高位组进位依赖低位组进位，故仍有较长的时间延迟。 – 通过引入组进位生成/传递函数来实现“组内并行、组间也 并行”的进位生成方式。 设n=4,则：C1=G0+P0C0 C2=G1+P1C1=G1+P1G0+P1P0C0 C3=G2+P2C2=G2+P2G1+P2P1G0+P2P1P0C0 G3*=G3+P3C3=G3+P3G2+P3P2G1+P3P2P1G0 P3*=P3P2P1P0 所以C4 =G3*+P3*C0。把实现上述逻辑的电路称为4位BCLA部件。
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两级先行进位加法器
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先行进位ALU
(4) 快速先行进位ALU
–SN74181是国际流行的四位ALU芯片，是中规模集成电路。 它在原有先行进位加法器的基础上再附加部分线路，实 现了按位逻辑运算，因此具有基本的算术运算和逻辑运 算功能。 –SN74181的逻辑图和功能表 –SN74182是4位BCLA (成组先行进位)芯片。 用4个4位ALU芯片与1个4位BCLA芯片可构成16位ALU 用16个4位ALU芯片与4个4位BCLA芯片可构成64位ALU
8位全先行进位加法器
A7 A0 B7 B0 进位生成/传递部件 P7 P1 P0 G7 G1 G0
3ty
8位 CLA部件
C0
P1 C1 P0 C0
2ty
C8
P7 C7 求和部件 S7 S1 S0 和的总延迟：3+2+3=8ty；进位C8的延迟：3+2=5ty
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3ty
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3.3 定点加减运算
在补码系统内，n位补码加/减法的原则是： – 加法规则：两个n位数的补码相加，来自最高位的进位可 丢掉（取模）。所以可用一个无符号加法器生成各位的 和。 – 减法规则：一个数的补码与另一个负数的补码相加，其 和数就是这个数减去另一个数的绝对值的补码。即：求 两个数差的补码可用第一个数的补码加上另一数负数的 补码得到。 – 溢出规则：运算的结果必须考虑是否产生了溢出。若两 个同号数相加，其结果的符号与两个加数的符号不同， 则发生溢出。通常将“结果大于最大能表示的正数”称 为正溢出，而把“结果小于最小能表示的负数”称为负 溢出。
南京大学计算机系多媒体技术研究所袁春风33booth算法要点南京大学计算机系多媒体技术研究所袁春风34booth算法要点南京大学计算机系多媒体技术研究所袁春风35booth算法要点南京大学计算机系多媒体技术研究所袁春风36booth算法举例1南京大学计算机系多媒体技术研究所袁春风37booth算法举例2南京大学计算机系多媒体技术研究所袁春风3835定点除法运算计算机中的除法运算过程一般分为三个部分
N位补码加/减法器
和数S
C0
加法器
A
⊕ ⊕ ⊕
“求负数补码”的电 路20源自B南京大学计算机系 多媒体技术研究所 袁春风
3.3 定点加减运算
补码加/减法器判断溢出的方法：
方法1：“若两个同号数相加，其结果的符号与两个加数的符号不同， 则发生溢出。” OVR= an-1bn-1Sn-1+ an-1bn-1Sn-1 方法2：采用“变形补码”进行补码运算和溢出检测。 其结论为：“当结果的两个符号位不同时，发生溢出”。 溢出判断逻辑：OVR=Sn-1 ⊕ Sn 举例：采用8位加法器（即：n=8）用变形补码计算。 例1：x=+010101 y=+001001 ，x+y=? 00 010101 解：[x]补=00 010101 [y]补=00 001001 + 00 001001 [x+y]补=00 011110 00 011110 所以 x+y=+011110 例2：x=-011001 y=+000110 ，x-y=? 11 100111 解：[x]补=11 100111 [-y]补=11 111010 +11 111010 [x-y]补=11 100001 111 100001 所以 x-y=-011111
3.4.1 无符号数乘法
+
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第一种乘法器如何工作
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用加法＋部分积右移实现乘法
假定： A=an-1an-2…… a1a0 B=bn-1bn-2…… b1b0 对乘数B作位移函数（B向右移n位），得： B.2n =bn-1. 2-1+ bn-2 . 2-2+ …… b1 . 2-(n-1)+ b0 . 2-n AB.2n=Abn-1. 2-1+A bn-2 . 2-2+ …… +A b1 . 2-(n-1)+A b0 . 2-n =2-1(Abn-1+ 2-1(A bn-2+ …… + 2-1(A b0+0)……) 即：Pi=2-1(Abi+ Pi-1) Pi被称为部分积 展开后，得： P-1=0 P0=2-1(Ab0+ P-1) …… Pn-1=2-1(Abn-1+ Pn-2)
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3.2.2 行波进位ALU
一个n位ALU可以由n个一位ALU串行构成。 这种ALU称为行波进位ALU（Ripple-Carry ALU）。
全加逻辑方程：(i=0,1,…n)
Si=ai⊕bi⊕Ci Ci+1=aibi+(ai+bi)Ci （延迟为2ty） 上述进位逻辑与下列逻辑等价。 Ci+1=aibi+(ai⊕bi)Ci （延迟为5ty） 下面是一个4位行波进位ALU。
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SN74181的引脚
输入端 输出端
P
输入端：Ai和Bi分别为第一和第二操作数，Cn为低位进位，M为 功能选择线，Si为操作选择线。 输出端：Fi为运算结果，Cn+4、P和G为进位，“A=B”为相等标 志 14 南京大学计算机系 多媒体技术研究所 袁春风
第三章 运算器组织与运算方法
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3.1 运算器的基本组成
数据通路（运算器）的概念
运算器的基本功能是进行数据运算。ALU是其核心部件，是数据 加工中心，但加工数据需由寄存器供给，加工后的数据要移位， 对于双操作数和乘除运算还要提供联合移位功能，数据传送还要 有传送线路(即内部总线)等等，因此，CPU 中的运算部件除ALU 外，还必须有其他一些部件。这些部件总称为数据通路。 数据通路是指计算机的数据信息从一个部件传输到另一个部件所 经过的路径，连同路径上的设备。如：寄存器、暂存器、多路选 择器、移位器、加工部件等。
说明：因为资料来源不同，以下的运算符号用了两种不同的 表示方式，请不要混淆。特此说明。
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ALU功能描述
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全加器逻辑图
Gi=aibi Pi=ai⊕bi Si=ai⊕bi⊕Ci （延迟为6ty） Ci+1=aibi+(ai⊕bi)Ci （延迟为5ty）
SN74181和SN74182组成16位先行进位加法器
4位ALU
4位ALU
4位ALU
4位ALU
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3.3 定点加、减运算
计算机内的加减运算一般用补码实现 1. 补码定点加减法规则
假设A、B是带符号的n位二进制定点整数，其补码形式为： [A]补=an-1 an-2…… a0，[B] 补=bn-1 bn-2…… b0， 则，[A+B]补和[A-B]补的运算表达式为： 对于整数： [A+B]补= ([A]补+[B] 补) MOD 2n [A-B]补= ([A]补+[-B] 补) MOD 2n 对于小数： [A+B]补= ([A]补+[B] 补) MOD 2 [A-B]补= ([A]补+[-B] 补) MOD 2
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3.3 定点加减运算
举例：采用8位加法器（即：n=8）用变形补码计算。 例3：x=+101100(+44) y=+100101(+37) ，x+y=? 解：[x]补=00 101100 [y]补=00 100101 00 101100 [x+y]补=01 010001 （溢出） + 00 100101 第一符号是真符。说明和为正数。 01 010001 “01”表示正溢出。 两符相异，结果溢出 （+81> +63 (00 1111112) ） 例4：x=-101100 (-44) y=-100101 (-37) ，x+y=? 解：[x]补=11 010100 [-y]补=11 011011 [x+y]补= 10 101111 （溢出） 11 010100 第一符号是真符。说明和为负数。 +11 011011 110 101111 “10”表示负溢出。 （-81< -64 (11 0000002) ） 两符相异，结果溢出
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3.4 定点乘法运算
乘除运算的三种实现方案： – 采用软件实现乘、除运算 – 在原有数据通路的基础上增加一些硬件逻辑来 实现(加法器+移位器) – 设置专门的乘除法器，可加快运算速度。
这里主要讨论计算机实现乘除法运算的基本算 法及基本硬件配置。
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4位行波进位ALU
和的所有位 全部产生的 延迟为：
(2n+1)ty
当n=4时， 为9ty ； 当n=8时， 为17ty。
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3.2.3 先行进位ALU
(1)为什么用先行进位方式？ 行波进位是串行逐级传递的，整个和的生成受到行波进位的影响。 因此，现代计算机采用一种先行进位(Carry look ahead)方式。 (2)如何产生先行进位？ 定义两个辅助函数：Gi=aibi…进位生成 Pi=ai⊕bi…进位传递 通常把实现上述逻辑的电路称为进位生成/传递部件 全加逻辑方程：Si=Pi⊕Ci Ci+1=Gi+PiCi (i=0,1,…n) 设n=4,则：C1=G0+P0C0 C2=G1+P1C1=G1+P1G0+P1P0C0 C3=G2+P2C2=G2+P2G1+P2P1G0+P2P1P0C0 C4=G3+P3C3=G3+P3G2+P3P2G1+P3P2P1G0+P3P2P1P0C0 由上式可知:各进位之间无等待，相互独立并同时产生。 通常把实现上述逻辑的电路称为4位CLA部件 由此，根据Si=Pi⊕Ci ，可并行求出各位和。 通常把实现Si=Pi⊕Ci的电路称为求和部件 CLA加法器由“进位生成/传递部件”、“CLA部件”和“求和部件” 构成。 8 南京大学计算机系 多媒体技术研究所 袁春风
（书上提的上溢和下溢的概念用于浮点数溢出，特此说明）
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3.3 定点加减运算
2 补码加/减法器 由上述规则可知，补码加减法器只要在原无符 号加法器的基础上增加 “求负数补码”的电路和“溢出检查”电路。 ① 无符号加法器（可实现补码加法） 实现无符号数A和B相加， 和数S 考虑低位进位C0，生成和 Cn C0 数S和向高位的进位Cn。 加法器
前面介绍的行波加法器、先行进 位加法器等都是无符号加法器。
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无符号加法器实现补码加法举例
设：A=11011,B=01001 则：A和B的值分别为-0101，+1001 A加B的值为：+0100 和数S 若用6位无符号加法器实现，则 A: 11011 Cn C0 加法器 B: 01001 A+B: 100100 A 即: 和数S=00100,进位C6=1 B 和数S的值为+0100（同A加B的值）