第49讲 课时1 解析几何中的最值、范围问题

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|m| = 1+14
25|m|,
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第八章 解析几何
高考总复习 一轮复习导学案 ·数学提高版
第八章 解析几何
方法一:所以 S△OMN=12|MN|·d=35|m| 10-m2≤35·m2+120-m2=3, 当且仅当 m2=10-m2,即 m=± 5时等号成立, 所以△OMN 面积的最大值为 3. 当 A 在第二象限时,由对称性知,△OMN 面积的最大值也为 3.
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第八章 解析几何
第八章 解析几何 第49讲 解析几何的综合问题
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第八章 解析几何
课时1 解析几何中的最值、范围问题
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研题型 ·技法通关
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第八章 解析几何
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【解答】(1) 设动点 P 的坐标为(x,y), 根据题意得 xx--43323+ y2=233, 化简得轨迹 C 的方程为x42+y2=1.
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第八章 解析几何
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第八章 解析几何
(2)已知点 A(2,0),若 P 不在 x 轴上,过点 O 作线段 AP 的垂线 l 交曲线 C 于点 D, E,求||DAPE||的取值范围.
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第八章 解析几何
(2) B为直线AF与C异于A的交点,C的弦MN,AB的中点分别为P,Q,若O, P,Q在同一直线上,求△OMN面积的最大值.
【解答】方法一:当 A 在第一象限时,直线 AF:y=-12x+ 5, 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则xx442212+ +yy991222= =11, , 两式相减得x1+x24x1-x2+y1+y29y1-y2=0, 因为 MN 不过原点,所以yx11++yx22·yx11--yx22=-94,
因为点 F2(1,0)到直线 l 的距离 d= 13+|k|k2,
所以△F2MN 的面积为 S=12|MN|·d=3
k22-4k2 1+2k22 .
令 1+2k2=t,则 t∈[1,2),
所以 S=3 t-1t22-t=3 -t2+t23t-2=
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第八章 解析几何
(2019·厦门一模)已知 O 为坐标原点,F 为椭圆 C:x42+y92=1 的上焦点,C 上一点 A 在 x 轴上方,且|OA|= 5.
(1)求直线 AF 的方程; 【解答】 (1)设 A(x0,y0)(y0>0),
因为|OA|= 5,所以 x20+y20= 5.① 又因为点 A 在椭圆上,所以x402+y902=1,②
又因为椭圆 E 过点1, 22,所以21b2+b22=1,解得 b2=1, 所以椭圆 E 的标准方程为x22+y2=1.
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第八章 解析几何
(2)设经过点(-2,0)的直线l与椭圆E交于M,N两点,求△F2MN面积的最大值. 【解答】因为点(-2,0)在椭圆E外,所以直线l的斜率存在,设直线l的斜率为 k,则直线l:y=k(x+2),设M(x1,y1),N(x2,y2).
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第八章 解析几何
x0=4 由①②解得
5
5, x0=-4 或
5Leabharlann 5,y0=3 5 5
y0=3 5 5,
所以 A 的坐标为45 5,3 5 5或-4 5 5,35 5. 又因为 F 的坐标为(0, 5),所以直线 AF 的方程为 y=-12x+ 5或 y=12x+ 5.
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第八章 解析几何
解决圆锥曲线中的取值范围问题:(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不 等关系,从而确定参数的取值范围; (2)利用已知(或隐含)不等关系建立不等式,从 而求出参数的取值范围;(2)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函 数,求其值域.
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第八章 解析几何
目标 2 范围问题
(2019·淮南二模)在平面直角坐标系 xOy 中,有一动点 P 到直线 x=433的
距离与到点(
3,0)的距离比值是2
3
3 .
(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程;
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y=kx+2, 由x22+y2=1, 消去 y,得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-2=0. 由 Δ>0 得 0≤k2<12,从而 x1+x2=1-+82kk22,x1x2=81k+2-2k22,
所以|MN|= 1+k2|x1-x2|=2 1+k2
2-4k2 1+2k22.
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又ac=12,所以 c2=1,a2=4,b2=a2-c2=3, 故所求椭圆方程为x42+y32=1.
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第八章 解析几何
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第八章 解析几何
(2)已知T(-4,0),过点T的直线与椭圆交于M,N两点,求△MNF1的面积的最 大值.
【解答】根据题意可知直线MN的斜率存在,且不为0. 设M(x1,y1),N(x2,y2),直线MN的方程为x=my-4, 代入椭圆方程,整理得(3m2+4)y2-24my+36=0, 则Δ=(24m)2-4×36×(3m2+4)>0,所以m2>4.
所以椭圆 C 的方程为x42+y2=1.
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第八章 解析几何
(2)过点M(4,0)的直线l交椭圆于A,B两个不同的点,且λ=|MA|·|MB|,求λ的取 值范围.
【解答】当直线l的斜率为0时,λ=|MA|·|MB|=12. 当直线l的斜率不为0时,设直线l:x=my+4,A(x1,y1),B(x2,y2), 联立方程组xx4= 2+myy2=+14,,得(m2+4)y2+8my+12=0, 由Δ=64m2-48(m2+4)>0,得m2>12,
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第八章 解析几何
(2019·郑州一模)已知椭圆 C:ax22+by22=1(a>b>0)的离心率 e= 23,直线 x+ 3y-1=0 被以椭圆 C 的短轴为直径的圆截得的弦长为 3.
(1)求椭圆 C 的方程; 【解答】(1)因为原点到直线 x+ 3y-1=0 的距离为12, 所以122+ 232=b2(b>0),解得 b=1. 又 e2=ac22=1-ba22=34,得 a=2,
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第八章 解析几何
课堂评价
1.(2019·保定一检)在平面直角坐标系中,圆 O 交 x 轴于点 F1,F2,交 y 轴于点 B1,B2.以 B1,B2 为顶点, F1,F2 分别为左、右焦点的椭圆 E,恰好经过点1, 22.
(1)求椭圆 E 的标准方程;
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第八章 解析几何
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由 Δ>0,得- 10<m< 10,
则有 x1+x2=25m,x1x2=2m25-18, 所以|MN|= 1+k2|x1-x2|
= 1+-122· x1+x22-4x1x2
=3
5
5 ·
10-m2.
又因为 O 到直线 MN 的距离 d=
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第八章 解析几何
【解答】(1)由已知可得,椭圆 E 的焦点在 x 轴上.
设椭圆 E 的标准方程为ax22+by22=1(a>b>0),焦距为 2c,则 b=c,所以 a2=b2+c2 =2b2,
所以椭圆 E 的标准方程为2xb22+by22=1. 1
=6×m2-14+136=6× m2-4
1 m2-4+
16 ≤ 32 m2-4
6
=3 16
4
3 .
3
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第八章 解析几何
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第八章 解析几何
16 当且仅当 m2-4= m32-4,即 m2=238时(此时适合 Δ>0 的条件)取得等号.
故△MNF1 面积的最大值为343.
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第八章 解析几何
所以 y1y2=m21+2 4, λ=|MA|·|MB|= m2+1|y1|· m2+1|y2|=12mm2+2+41=121-m23+4,由 m2>12,得 0<m23+4<136,所以349<λ<12. 综上可得 λ∈349,12.
y1+y2=3m242+m 4,y1y2=3m326+4,
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则△MNF1 的面积 S△MNF1=|S△NTF1-S△MTF1|
=12|TF1|·|y1-y2|=32 y1+y22-4y1y2
=32
3m242+m 42-3m124+4 4=18
m2-4 4+3m2
【解答】因为 P 不在 x 轴上,故直线 AP 的斜率不为 0,设直线 AP 的方程为 y =k(x-2),k≠0,
则直线 DE 的方程为 y=-1kx. y=kx-2,
由x42+y2=1, 得(1+4k2)x2-16k2x+16k2-4=0.
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设 P(x0,y0),所以 2+x0=4k126+k21,即 x0=84kk22- +21. 故|AP|= x0-22+y0-02= 1+k2x0-22, 得|AP|=44k12++1k2. 设 D(x1,y1),由椭圆对称性可知|DE|=2|OD|. 由xy4211+=y-21=1kx11,,解得 x21=44+k2k2,y21=4+4 k2,
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第八章 解析几何
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令 g(t)=4t2-t 15(t>2), 则 g′(t)=4t2+t2 15>0, 所以 g(t)是增函数,所以||DAPE||=4t2-t 15>4×42-15=12. 综上,||DAPE||的取值范围是12,+∞.
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第八章 解析几何
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第八章 解析几何
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|OD|= x21+y21=2 1k2++k42,所以|DE|=4
1+k2
4 所以||DAPE||= 4
1k+2+k24=
4k2+1 k2+4.
4k2+1
1k2++k42,
设 t= k2+4,则 k2=t2-4,t>2, ||DAPE||=4t2-t4+1=4t2-t 15(t>2).
分类解析
第八章 解析几何
目标 1 最值问题 已知椭圆ax22+by22=1(a>b>0),F1,F2 分别为它的左、右焦点,P 为椭圆上
一点,已知∠F1PF2=60°,S△F1PF2= 3,且椭圆的离心率为12. (1)求椭圆方程;
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【解答】(1)由已知,得|PF1|+|PF2|=2a,① |PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos60°=4c2, 即|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=4c2,② 12|PF1||PF2|sin60°= 3,即|PF1||PF2|=4,③ 联立①②③解得 a2-c2=3.
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即 kMNkOP=-94, 同理,kABkOQ=-94, 又因为 O,P,Q 在同一直线上,所以 kOP=kOQ,
所以 kMN=kAB=-12.
设直线 MN:y=-12x+m,
由x42+y92=1, 得 y=-12x+m,
5x2-2mx+2m2-18=0,
综上,△OMN 面积的最大值为 3.
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第八章 解析几何
方法二:所以 S△OMN=12|MN|·d=35|m| 10-m2=35 m210-m2=35 -m2-52+25, 当 m2=5,即 m=± 5时,△OMN 面积的最大值为 3. 所以△OMN面积的最大值为3. 当A在第二象限时,由对称性知,△OMN面积的最大值为3. 综上,△OMN面积的最大值为3.
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第八章 解析几何
处理最值问题的方法:一是几何法,即通过利用圆锥曲线的定义、几何性质以 及平面几何中的定理、性质等进行求解;二是代数法,即把要求最值的几何量或代 数表达式表示为某个(些)变量的函数(解析式),然后利用函数方法、不等式方法等进 行求解.
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