质心教育原创物理竞赛模拟题第五套答案及评分标准

动能减少为 E kQq R
设末态 m 速度为 vm ，末态 M 速度为 vM
由动量守恒， mvm MvM mv0
由能量守恒，
1 2
mv02

1 2
mvm2

1 2
MvM2

kQq R
解得： vm

mv0 mM

M mM
v02

2kQq(m RmM
M
)
（2）电荷全部到达外表面后：
（3）读出图中中间段的的斜率 k 8.25s2
8
https:///
v

当卫星飞过头顶时，经过 t 后，角度变化为 vt ， h 为高度 h
频率变化 f f v(sin ) f v2t
c
hc
解得： h fv2 4.1105 m kc
e
作 A'H AF2 于 H ，有 |AM|=|AH| （双曲线线上点到两焦点距离之差不变）
由双曲线性质 | AF1 | | F2A | 2a
MAA' 与 HA'A 中
| AA' | cosAA'M=|A'M|= 1 | AH | cosAA'H|AA'| 1
e
e
sin 1 sin i e
力公式计算，金属球壳外表面导电性能良好，不考虑电磁辐射）
（1）求出当金属球进入球壳后达到球心时，金属球的速度为多少？
（2）金属球与球壳发生完全非弹性碰撞后连为一体，求整个过程中的发热 。
（ 以 下 不 是 试 题 ： 求 出 能 够 让 金 属 球 打 入 球 壳 所 需 的 最 小 速 度 v0 。 仔 细 想 哦 。 答 案 得 到
2m m 3 相对速度为 v0 ，相对距离为 l ，两体问题角动量等于原体系质心系角动量
L v0l
由牛顿第二定律
v02 l

G2m m l2

G(m 2m) l2
解得
9
https:///
l

3L2 4Gm3
两体问题能量等于
E0
'

Ek

Ep
1
v02

2 hq 0m
e
v0
（10 分） 解毕
（以下不是考题：证明第二问的双曲线能将粒子汇聚到焦点）
（3）以下不是考题部分：
令曲线方程为 x2 a2

y2 b2
1
考虑两个相邻的入射轨迹 PA 和 PA' ，作 AM P'A' 于 M ； A'N AF1 于 N
由双曲线第二定义（准线定义）得： |A'M|= 1 | AN |
y
x
y
x
【解】： （1）变到以速度 v 的参照系中
R 对于线圈回路的总电动势 不随参照系变化而变化（虽然动生和感生电动势分别可能发生变化） 此系中 B B0 cos(kx) 左杆 x1 vt ，右杆 x2 vt l 左杆 1 B0 cos(vtk)lv 向上 右杆 2 B0 cos(vtk kl)lv 向上 逆时针为正，回路电动势 1 2 B0lv[cos(vtk) cos(vtk kl)] 其中 vk （7 分）
v0
2kqQ(m M ) 的同学回去面壁） RmM
【解】：
（1）初态电势能为 E1

kQ2 2R

kq2 2r
末态 Q 电势为 uQ

kQ R

kq R
，q
电势为 uq

kQ R

kq r
末态能量
E2

1 2
(uQQ

u1q)
1 kQ 1 kq2 kQq



2R 2 r R
6
https:///
（2） fmax 2.000552 107 Hz
fmin 2.000457 107 Hz
初态很远到末态很远处频率差为 f fmax fmin 4.75 105 f ( fmax fmin ) / 2
做小量近似有 v ( v) f ，则有 v 7.12103 m / s c cf
在原系中积分计算磁通量再对时间求导数方法也给全分。 （2） 设直线运动速为 v0 同第一问有： B0l(v v0 ){cos[(v v0 )tk] cos[(v v0 )tk kl]} 又电流 I
R
5
https:///
安培力
F

1
https:///
Fl

Pl

P 2
2l

P 22
3l

P 23
4l

...

4Pl
（乘以 2 之后错位相减）
F 4P 对整理合外力等于零得到：
An 对墙水平压力位 4P ，竖直方向压力为
P

P 2

P 22
...
2P
注：用递推做则写出递推式得 6 分，三个结果分别 2，3,3 分
够大的时候，墙上两个端点与墙之间的相互作用力。
【解】： (1) 因为 B0B1 是轻杆，力必水平。 对 B0 和 A0 点做力矢量和为零得到 B1 对墙拉力为 P ， A1 点对象水平压力为 P ，竖直压力为 P （6 分） (2) 将右方所有支架加重物视为一个整体。 以 An 为支点，写力矩平衡方程，令 Bn 对墙的拉力为 F 有：
（2）若线框质量为 m ，摩擦系数为 ，线框是否可能相对于桌面沿着 x 方向做匀速直线运动？如果
4
https:///
可能求出参数之间应当满足的条件，如果不可以，写明理由。 （以下不是考题：找到三个这样的线框，沿着 x 轴发成一排，相邻两个之间用长度为 l ' 的绝缘木棒连 接，问这三个线框是否可能一起做匀速直线运动，如果可以求出各参数应当满足条件，如果不可以写 明理由。）
第二题（20 分）
空间中有两层很薄的电荷，电荷密度为 ，间距为 h ，h 很小，叫做电偶极层。一个电量为 q 0 ，
质量为 m 的点电荷，只能和电偶极层间发生静电相互作用（而不会碰撞）。 （1）粒子以速度 v0 ，角度 ，入射电偶极层，出射方向 i 。求出 sin i 和 sin 之间的关系。
电势能改变： E k(Q q)2 kQ2 kq2
2R
2R 2r
由能量守恒得到：
（8 分）（正根、负根舍去一个，或者不舍去均给分）

1 2
Mm mM
v02

k(Q q)2 2R

kQ2 2R

kq2 2r
（12
分）
第五题（20 分） 如图所示，一个信号源 S 以恒定的速度 u 向 x 正方向运动。信号在空中传播的速度为 u。信号源
本身的频率为 f0 。在地面上的静止的观察者 P 所接受到的信号频率为 f 。在信号源的飞行轨迹上，O 点位最靠近 P 的点。以 O 原点建立坐标系。（改编自台湾物理竞赛试题）
（1）证明在信号源距离观察者足够远的时候，有 f f0 1 v cos u
人类的第一颗人造卫星绕地飞行的时候，地面上的观察者测量卫星发出的光信号频率。纵轴为信号频 率，单位为赫兹；横轴为测量时间，单位为分钟。光速为 c 2.998108 m / s 。 （2）请由此图估算卫星相对于观察者的速度。 （3）请由此图估算卫星距离观察者的最近距离。
3
3k
第四题（20 分）
一个金属球壳，半径为 R ，质量为 M ，带电量为 Q ，初始时刻自由的静止在空间中。球壳的一 端有一个小洞。球心与小洞的连线方向视为轴线方向。在轴线上很远的地方有一个半径为 r 的金属球， 质量为 m ，带电量为 q ，以初速度 v0 向着球心飞去。（假设飞行速度很慢，电荷产生电场可以拿静电
线的距离之比为 e ，双曲线的渐近线为 x y 。 ab
2
https:///
y
F1
F2
x
（1）由高斯定理
电场 E ，电势差U Eh h
0
0
由能量守恒，末态初速度
v1
满足：
1 2
mv02
Uq

1 2
mv12
解得： v1
v02

7
https:///
v

S
P
【解】：
（1）
如图，初态距离为
l
，发出信号，
t1

l u
到达
P
点
过
t
后，距离为 l '

l
vcost
，信号到达时刻为 t2

t

l' u
接收时间间隔
t
'

t2

t1

t (1
v u
cos
)
所以频率为 f 1 f0 1 v cos u
2 hq 0m
由沿面的切线方向动量守恒： v0 sin v1 sin i
sin i sin
v0
v02

2 hq 0m
（2）经过定性分析，只能是经过减速度后汇交于另一支的焦点。
（10 分）
3
https:///
由于本题已知双曲线能将粒子汇聚于焦点，则只需要通过特殊值验算参数间关系即可。 最简单的验算位置在距离 x 轴很远的地方，即在渐近线上。 此时入射角为 sin i 1 ，出射角为 sin 1（很远，所以到焦点和原点几乎是一条线） e 带入第一问方程得到（注意为减速）：
https:///
原创物理竞赛模拟题第五套
答案及评分标准
第一题（20 分）
满分 160 分 命题人 蔡子星
（1）如图 4 根轻杆之间铰接，左端铰接在墙上， A0 端挂有重物 P 。求出 A1, B1 端和墙之间的作
用力。
B1
B0
A0
A1
P
（2）如图将上述结构复制 n 份，铰接起来，分别挂有重物 P ， P / 2 ，…， P / 2n1。求出当 n 足
正负 20% 均视为正确，用曲线回归或者取多个点求平均的方法均视为正确。
第六题（18 分） 一个质量为 2m 的星体 A 和质量为 m 的星体 B ，绕着它们的质心分别做圆周运动。在质心系中观
察发现体系总角动量为 L
（1）求体系的总能量 E0
（2） A 发生爆炸成为两个质量为 m 的星体 A1 ， A 2 ，爆炸瞬间体系总机械能增加了 E ，之后经历复
B左Il

B右Il

B02l2 (v v0 )2 R
{cos[(v
v0 )tk] cos[(v
v0 )tk

kl]}2
显然 F 与 t 无关只有 v v0 ，然后这会导致 F 0
不可能
（13 分）
（不是考题部分） l l ' (n 1) (n 1) 2 ，类似三相交流电。
v0
h
（2）将电偶极层弯成离心率为 e 的双曲面形状，左边为正电荷，两个焦点沿着 x 轴方向，要求所有平 行于与 x 轴方向入射的粒子都能汇交与焦点，则粒子速度，电偶极层厚度，电荷密度之间应当满足什
么关系？ 【解】：
数学附录：双曲线方程，
x2 a2

y2 b2
1，e

c a

a2 b2 ，双曲线上一点到焦点的距离与到准 a
注意应当带入的是质心角动量，而不是 A1 相对 B 角动量，差两倍！
l'
(L0 / 2)2 'Gm2
，能量 Emin
Gmm 2l '


G2m5 L02
其他方法均给分（4 分）
由此可得
E

E
'
E0


G 2 m5 L02

4G2m5 3L2
（2 分）
第七题（20 分） 如图是两冲程柴油机的工作原理图。为了计算方便我们把工作流程化简如下：
1
v02

2 hq 0meΒιβλιοθήκη v0第三题（20 分）
空间中有沿着 z 方向的磁场，磁场大小随着时间和空间变化，满足 B B0 cos(t kx) 。一个桌 面在 z 0 平面上，平面上有一个沿着 x-y 方向正放的线框，线框边长为 l ，总电阻为 R 。
（1）假设线框相对于桌面静止，线圈的左端位于 x 0 的位置，求出线框中电动势随着时间的变化关 系。


G2m m 2l


4G2m5 3L02
由于两体问题动能等于原题体系质心动能，两体问题势能等于原体系势能
所以
E0

E0
'


4G2m5 3L02
（10 分）
（2） 对于 A1 和 B 构成体系，当相对质心动能为 Ek ' ，相对质心角动量为 L ' ，这也等于两体问题的
动能和角动量。 可以证明当角动量一定时，圆轨道能量最低。（4 分） 利用第一问结论
杂的三体运动（以下省略刘慈欣写的《三体》）最后 A1 和 B 相互环绕着飞行， A 2 与二者远离。已知
这时候以 A1 为参照系 B 的角动量为 L0
以 A1 和 B 的质心为参照系，A1 和 B 构成的系统的能量最小值 Emin 为多少？这会对 E 有什么限制？ 【解】： （1） 考虑两体问题折合质量做法， 2m 与 m 的折合质量为 2m m 2m