切线的判定与性质

B，两切线相交于点P,若∠P=420，求
Байду номын сангаас
∠ACB的度数。
•A
•A
•‘
•m •O •C
•C
•m
•P •O •C
•P
•B
•B
•巩固：
1、如图, ⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则 ⊙O的半径多少？
• 注：已知切线、切点 ，则连接半径，应用切 线的性质定理得到垂直 关系，从而应用勾股定 理计算。
•2、如图，AB、AC分别切⊙O于B、C，
(3)过半径的端点与半径垂直的直线是圆的
切线（•×）
•O •l
•r
•A
•O •r
•l
•A
•O •l
•r
•A
•归纳：
判定直线与圆相切有哪些方法？
切线的判定方法有三种： •①直线与圆有唯一公共点； •②直线到圆心的距离等于该圆的半径； •③切线的判定定理．即
经过半径的外端并且垂直这条半径的直 线是圆的切线.
•(2)直线l垂直于半径0A．
• 则:直线l与⊙O相切
•O •l
•A
• 这样我们就得到了从“位置”的角度圆 的切线的判定方法——切线的判定定理．
•讨论交流：
• 利用上面的定理，过圆上任 意一点，你会用三角尺画⊙O 的切线吗？
•P
•O
•巩固：
1、判断：
•两个条件缺一不可
(1)过半径的外端的直线是圆的切线（ •×） (2)与半径垂直的的直线是圆的切线（ •×）
切线的判定与性质
•回顾：
直线与圆的 位置关系
相交
图形
公共点个数
公共点名称
直线名称 圆心到直线距
离d与半径r的
关系
•2个 •交点 •割线
•d <
相切
•1个 •切 点•切 线
•d =
相离 •没有
•d >
•探究：
• 图中直线l满足什么条件时是⊙O的切 线？ •方法1：直线与圆有唯一公共点 •O
•方法2：直线到圆心的距离等于半径
•(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,
则过圆心作直线的垂线段,再证垂线段长等于半
径长.简记为：无交点,作垂直,证半径.
•巩固：
• 1、如图，AB是⊙O的直径,⊙O过BC的中点D， DE⊥AC. 求证：DE是⊙O的切线．
•证明：连接OD．
•∵BD＝CD，OA=OB, •∴OD是△ABC的中位线. •∴OD//AC.
•无交点，作垂直，证半径
3、如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长 线上,BD=OB,点C在⊙O上, ∠CAB=30°.
求证:DC是⊙O的切线.
•C •A •O •B •D
•有交点，连半径，证垂直
•4、 如图，AB是⊙O的直径, C为⊙O上一点 ，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D. 求 证：AC平分∠DAB．
•A•M •L
•归纳：
• 切线的性质定理：圆的 切线垂直于过切点的半径。
•∵ l是⊙O的切线， •切点为A •∴ l ⊥OA
•O
•l •A
•比较：
•切线判定定理：
•①过半径外端; •②垂直于这条半径.
•切线性质定理：
•①圆的切线; •②过切点的半径.
•O
•切线
•l
•A
•切线垂直于半径
•例• 题例：3、如图，PA、PB分别切⊙O于A、
径作
• ⊙O。 • 求证：⊙O与AC相切。 •A
•D •B •O
•无交点，作垂直，证半径•E •C
•归纳：
•例1与例2的证法有何不同?
•D •B
•O
•A
•O
•A •C •B
•E •C
•(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆
心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直.简
记为：有交点，连半径,证垂直.
若∠A=600，点P是圆上异于B、C的一动点
，则∠BPC的度数是（ ）
A、600
B、1200
•B
C、600或1200
•O
D、1400或600 •P
•A
•C
•练习与巩固：
•1、如图，A、B是⊙O上的两点，AC是⊙O的切线，∠B=70°， 则∠BAC等于（ ） •A. 70° B. 35° C. 20° D. 10°
半径的圆与边BC相切 ，则BC的长为
。
•变式二：如图，点A是圆O外一点，OA=4，AB与圆相切于 点B，且AB=2 ，弦BC∥OA，则BC的长为 。
•A
•B
•D •C •B
•A •C
•O •A
•C
•B
•7、如图,AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切 线互相垂直，垂足为D，求证：AC平分∠DAB。
•C
•E
•D
•B
•又∵ ∠DEC＝90°, •∴ ∠ODE＝90°.
•A
•O
•又∵ D在圆周上, •∴ DE是⊙O的切线.
•有交点，连半径，证垂直
•巩固：
2、如图,△ABC中,AB=AC,AO⊥BC于O，
OE⊥AC于E,以O为圆心,OE为半径作
⊙O.
•A
求证：AB是⊙O的切线.
•F
•E
•B
•O •C
•l
• 注意：实际证明过程中，通常不采用第一种 方法;方法2从“量化”的角度说明圆的切线的判定 方法。
•操作与观察：
请在⊙O上任意取一点A，连接OA，过 点A作直线l⊥OA。思考：
（1） 圆心O到直线l的距离和
圆的半径有什么数量关系?
（2） 二者位置有什么关系？
为什么？
•l
（3） 由此你发现了什么？
•O •O
•B
•B
•A
•C
•A
•（1
•（2
•（3
•2、如）图,在△ABC中,AB=A）C,∠BAC=120°,⊙A与）BC相切于
点D,与AB相交于点E,则∠ADE等于___ _度.
•3、如图,在△OAB中,OB：AB=3：2 , 0B=6，⊙O与AB相切
于点A, 则⊙O的直径为
。
•4、如图,PA、PB是⊙O的切线,切点分别为A、B,且 ∠APB=50°,点C是优弧上的一点,则∠ACB=___.
•O •A
切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直这条半径
的直线是圆的切线。
•O
•对定理的理解：
•l •A
• 切线必须同时满足两条：①经过半径
外端；②垂直于这条半径．
•定理的数学语言表达：
•∵ OA是半径， l ⊥OA于A
•∴ l是⊙O的切线
•
•O
•r •l
•A
•发现：
•(1)直线l经过半径OA的外端点A；
•例题：
例1 如图，已知：直线AB经过⊙O上的点C，
并且OA=OB，CA=CB。
求证：直线AB是⊙O的切线。
•O
•A •C •B • 分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC ，只要证明AB⊥OC即可。
•有交点，连半径，证垂直
• 例2 如图，已知：O为∠BAC平分线上
一
• 点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半
•（4
•（5
）
）
•5、如图，⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°，过C点的切
线PC与AB的延长线交于P，PC=5，则⊙O的半径为（ ）
•A.
B.
C. 10
D. 5
•辅助线的作法：作过切点的半径
•6、在△ABC中，AB=2，以A为圆心，1为半径的圆与边BC
相切于点D ，则BD的长为
。
•变式一：在△ABC中，AB=2，AC= ，以A为圆心，1为
•H
•7．如图(3)，△ABC内接于⊙O，P、B 、C在一直线上，且PA2＝PB·PC， 求 证：PA是⊙O的切线.
•分析：∵PA过⊙O上 一点A，要证PA为切 线，只要证PA⊥AO ，为此，作直径AD， 并连结CD，只要证 PA⊥AD即可.
•探究：
• 如图，如果直线l是⊙O的切线，切点为A ，那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？
•O
•l •A
•如果直线L是圆O的切线，切点为A，那么半径OA与
直线L是不是垂直呢？
•分析：假设OA与L不垂直，过
点作OM⊥L，垂足为M。
•O
根据垂线段最短的性质，有
OM﹤OA，这说明圆心O到直线 L的距离小于半径OA，于是直
•A
•L
线L就要与圆相交，而这与直线
•O
L是圆O的切线相矛盾。
因此，OA与直线L垂直。
•D •C •A •O •B
•D
•C
•A •O
•B
•（7 ）
•（8 ）
•8、如图,AB为⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC 平行于弦AD，求证：CD是⊙O的切线。
•求证：DE是⊙O的切线.
•分析：因为DE经 过⊙O上的点D， 所以要证明DE为 切线，可连结OD ， 再证明 DE⊥OD.
•6．如图，已知在△ABC中，AD⊥BC于 D，AD＝BC/2，E和F分别为AB和 AC的 中点，EF与AD交于G，以EF为直径作 ⊙O，求证：⊙O与BC相切.
•分析：要证明以 EF为直径的⊙O 与BC相切，只要 过O作OH⊥BC于 H，证 明OH等于 直径EF的一半.
•证明：连接OC．
•∵CD 是⊙O的切线， •∴OC⊥CD.
•D •C
•又∵AD⊥CD , ∴OC//AD. •A
•∴∠ACO＝ ∠CAD .
•O
•B
•又∵OC=OD, •∴∠CAO＝ ∠ACO
•∴∠CAD＝ ∠CAO , •故AC平分∠DAB．
•5．已知：在△ABC中，AB＝AC ，以AB为直径作⊙O交BC于D， DE⊥AC于E，