七年级数学下册11.6零指数幂与负整数指数幂幂的运算性质的逆向应用素材(新版)青岛版

幂的运算性质的逆向应用
数学公式一般具有双向性,但同学们在运用时往往只习惯从左到右进行,而不习惯逆向运用,现以幂的运算性质的逆用,举例说明,以飨读者.
一、同底数幂的乘法法则的逆用
运用同底数幂的乘法法则，可以把一个幂分解成两个（或两个以上）同底数幂的积.用式子表示为：),(都是正整数n m a a a n m n m ⋅=+.其中，分解的(两个或两个以上)同底数幂的底数与原来幂的底数相同，指数之和等于原来幂的指数.逆用法则可加深对同底数幂的乘法法则的理解，同时有助于突破思维定势，培养创新意识.
例1 (1)27×____=103.(2)已知:,,27393==b a 则13
++b a 的值为_________. 分析:(1)27可化为33,再逆用法则10分解成3与7的和,因此填73.
(2)将幂13++b a 分解为三个同底数幂333,,b a 的积,切不可受a+b+c 符号的影响而误将其分解为,333++b a 要对同底数幂的法则理解透彻.
因此13++b a ==⨯⨯=⋅⋅3279333b
a 729. 二、幂的乘方的逆用
幂的乘方性质反过来也是成立的.用式子表示为：),()()(都是正整数n m a a a m n n m m n ==,逆用幂的乘方的方法是:幂的底数不变,将幂的指数分解成两个因数的乘积,再转化成幂的乘方的形式.如23326)()(x x x ==,至于选择哪一个变形结果,要具体问题具体分析. 例2 已知:,,322==m n a a 求(1)n a 23)(的值；(2)n m a 42+的值.
解析:在(1)中,应用了m n n m a a )()(=这一性质. ,)()
(3223n n a a =当22=n a 时，原式=;823=:在(2)中,逆用了同底数幂的乘法及幂的乘方法则，要把握公式的特点准确变形，且由于已知m a 的值，在逆用幂的乘方时，将m a
2变形为,)(2m a 而不是,)(m a 2需引起注意..)()(364923222224242=⨯=⋅=⋅=⋅=+n m n m n m a a a a a
三、积的乘方的逆用
积的乘方性质反过来也是成立的，用式子表示为：()是正整数n ab b a n
n n )(=⋅.要准确把握式子的特点，具备能转化为相同指数的幂的积的式子能应用这一法则，如
112
1221212121212=-=⨯-=-⨯)()()(.灵活地正、反使用本法则可以简化计算. 例3 计算：()20052004313⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-
分析：按照本题的运算级别，应先乘方，但是我们看到，要计算出和()20043-和2005
31⎪⎭⎫ ⎝⎛的具体数值是相当困难的，也是不必要的，因此我们不妨仔细观察本题的特点，虽然两个乘方运算的指数都很大，但是它们两者却只相差1，而且它们的底数互为负倒数，而且互为负倒数的乘积是-1，因此考虑公式都是正整数）n b a ab n n n ()(=的逆用，即把指数大的乘方运算中的指数进行变化.
解: ()()12004200420052004313313+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-
=()()()3131131131313313132004200420042004=⨯=⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅-=⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅- 四、同底数幂的除法法则的逆用
运用同底数幂的乘法法则，可以把一个幂分解成两个（或两个以上）同底数幂的商.用式子表示为：),0,,(n m a n m a a a n m n m ≠÷=-都是正整数.其中，分解的(两个或两个以上)同底数幂的底数与原来幂的底数相同，指数之差等于原来幂的指数.逆同底数幂的除法法则: 例4 若.,,5
77512-===r q p m m m 求r q p m 243-+的值. 分析:灵活运用幂的运算性质是处理此类问题的关键.这里可以把r q p m
243-+逆用幂的有关性质进行变形,化成2223)()()(r q p m m m ÷⋅的形式,这样即可求解.
解: r q p m 243-+=2223)()()(r q p m m m ÷⋅=.)()(5
157
751
223=-÷⨯。