《线性代数及其应用》(同济大学第2版) 第二章 2.1

a32
（3）
a11 a12 a13 1 0 0 a11 a13 a12
a21
a22
a23
0
0
1
a21
a23
a22
a31 a32 a33 0 1 0 a31 a33 a32
由此例可看出，初等矩阵左（右）乘一个矩阵的 结果是对这个矩阵作相应的初等行（列）变换。例
如在（2）式中，E(1,3(k))A 即为把 A 的第三行的
的 B 就变成了 A1B ，即为所求的 X 。
例 2.3 设
2 1 3 1 1
A
1
2
2
,
B
2
0
1 3 2 2 5
求矩阵 X ，使 AX B 。
解 由于 A 5 0 ，故 A 可逆， X A1B 。
2 1 3 1 1
1 2 2 2 0
A,
B
1
2 2
2
0
r 1r2
2
0 1 3 2
1 0 0 4 2
r1 r2 (2)r32
0
1
0
0
1
0 0 1 3 2
所以，
4
X
A1 B
0
3
2 1 。 2
例 2.4 已知矩阵 X 满足 2 X AX B ，求 X ，其中
1 1 0
1 1
A 1 2 1 , B 2
0
。
1 0 0
5 3
解 由 2 X AX B ，有 (2E A)X B
k 倍加到第一行上去。
二、初等矩阵的性质
性质 1. 由定理 2.1 给出。
定理 2.1 设 A 是一个 m n 矩阵，对 A 施行一次 初等行变换，相当于在 A 的左边乘一个相应的 m 阶
初等矩阵；对 A 施行一次初等列变换，相当于在 A
的右边乘一个相应的 n 阶初等矩阵。
证：只须具体验证即可，此处只举一种情形。把
0
k
0
a21
a22
0 0 1 a31 a32
（2）
a1n a11 a12
a2n
ka21
ka22
a3n a31 a32
a1n
ka2n
a3n
1 0 k a11 a12 a11 ka31 a12 ka32
0
1
0
a21
a22
a21
a22
0 0 1 a31 a32 a31
1 1 0 因 2E A 1 0 1 ，其行列式 det(2E A) 3 0，故 2E A
1 0 2
可逆。
用 (2E A)1左乘式 (2E A)X B 两边，有
X (2E A)1 B
用初等行变换求 (2E A)1 B 。
1 1 0 1 1
1 1 0 1 1
(2E A, B) 1
1 3
r2
(
1 2
)
1 0 0
0 1 0
0 0 1
6 4 9
3 2 4
4 3 6
6 3 4
所以
A1 4 2 3
9 4 6
用初等行变换的方法解某些矩阵方程的原理。
设有 n 阶可逆矩阵 A 及 n s 矩阵 B ，求矩阵 X 使 AX B 。
在等号两边左乘 A1 ，可知 X A1B 。
根 据 上 述 求 逆 矩 阵 的 方 法 ， 存 在 初 等 矩 阵 P1, P2 , , Ps ， 使 A1 P1P2 Ps ，
要条件是 A 必可表示成一些初等矩阵的乘积。
证明不作要求。
在第一章逆矩阵的求法中，曾经举过用初等行变 换的方法求逆矩阵例子，下面介绍用初等行变换的 方法求逆矩阵的原理。
当 A 可逆时， A1 也可逆，由上面定理知，存在 初等矩阵 P1, P2 , Ps ，使
A1 P1P2 Ps ，
又
A1 A (P1P2 Ps )A E
§1 初等矩阵 本节要点 一、 初等矩阵的定义 二、 初等矩阵的性质 三、初等行变换求逆矩阵和解矩阵方程的理
论基础
四、 初等行变换求逆矩阵和解矩阵方程举例
一、 初等矩阵的定义
定义 2.1 将单位矩阵作一次初等变换所得的 矩阵称为初等矩阵。对应于三类初等行（列）变
换，有如下三种类型的初等矩阵：
（1）对调第 i, j 两行或对调第 i, j 两列，得初等
三、初等行变换求逆矩阵和解矩阵方程的理论基础
理论基础 1----定理 2.2
定理 2.2 任一 m n 矩阵 A，必可经过有限次初等
变换化成如下形式的矩阵：
Er 0( mr )r
0r(nr)
0(
mr
)(nr
)
即存在初等矩阵 P1, P2 , Ps ,Q1,Q2 , ,Qt 使
Ps
P2 P1 AQ1Q2
1 3
1
1
1 3 2 2 5
1 3 2 2 5
1 2 2 2 0
1 2 2 2 0
r2 (2)r1 r3 r1
0
3
1
3
1
r3 r2
0
5
0
0
5
0 5 0 0 5
0 3 1 3 1
1 2 2 2 0
1 2 2 2 0
r2 15
0 0
1 3
0 1
0
1
r 3 r23 0
1
3 1
0 0
0 1
四、 初等行变换求逆矩阵和解矩阵方程举例
例 2.2 设
求 A1 。
0 2 1
A
3
0 2
2 3 0
解
0 2 1 1 0 0
3 0 2 0 1 0
[ A,
E]
3
0
2
0
1
0
r1 r2
0
2
1
1 0 0
2 3 0 0 0 1
2 3 0 0 0 1
3 0 2 0 1 0
3 0 2 0 1 0
A 按行分块，对 A 施行第三种初等行变换，即将 A
的第 j 行乘 k 加到第 i 行上，即
A1
A1
A
Ai
ri
krj
Ai
kAj
，
Aj
Aj
Am
Am
而
1
A1 A1
E(i,
j(k
))
A
1
k
Ai
Ai
kAj
1
Aj
Aj
则有
(P1P2 Ps )A E
(1)
(P1P2 Ps )E A1
(2)
式(1)表示对 A 施行一系列初等行变换化为单位矩阵 E，式(2)表示对 E 施行一系列同样的初等行变换就
变成 A1 。
用分块矩阵形式把(1)(2)合并为
P1P2 Ps A, E E, A1 ，
即对 n 2n 矩阵[A, E] 施行仅限于行的初等变换， 当把 A 化为 E 时，原来的 E 就变成了 A1 。
Qt
=
0(
Er
mr
)r
0r(nr ) 0(mr )(nr )
.
证明不作要求。
理论基础 2----定理 2.3
定理 2.3 如果 A 是 n 阶方阵，则 A 是可逆矩阵的充
要条件是 A 经过有限次初等变换可化为单位矩阵。
证明不作要求。
理论基础 3----定理 2.4
定理 2.4 如果 A 是 n 阶方阵，则 A 是可逆矩阵的充
由于初等矩阵再作一次初等变换便可化为单位矩
阵，例如把 E(i, j) 再互换 i, j 两行便得到 E ，所以
初等矩阵都是可逆矩阵，并且其逆矩阵还是同类的 初等矩阵。
实际上
E(i, j)1 E(i, j) ； E(i(k))1 E(i( 1 )) ；
k E(i, j(k))1 E(i, j(k)) .
0
1 1
0
1 2
0
r2 r1 r3 r1
0
1
1 1
1
1 0 2 5 3
0 1 2 4 2
1 r3r2 0
1 10 11 1源自11r31 3
r2 r3
1 0
1 1
0 0
1 2
1
0
0 0 3 3 3
0 0 1 1 1
1 0 0 3 1
r1 r2
0
1
0
2
0
0 0 1 1 1
3 1
于是
(2E A)1 B 2
又
A1 A (P1P2 Ps )A E
A1B (P1P2 Ps )B
则有 (P1P2 Ps )A E
（3）
(P1P2 Ps )B A1B
（4）
用矩阵的分块形式把（3）（4）合并为
(P1P2 Ps ) A, B E, A1B
即对 n (n s) 矩阵 A, B 施行行的初等变换，把 A 化为 E 同时，原来
矩阵
1 E(i, j)
1 0 1
1
1
1
0
1
1
（2）以非零数 k 乘第 i 行，得初等矩阵
1
1
E(i(k
))
k
1
1
（3）把矩阵的第 j 行的 k 倍加到第 i 行上，得初
等矩阵
1
1
E
(i,
j(k
))
k
1
1
例 2.1 计算下列矩阵与初等矩阵的乘积
（1）
1 0 0 a11 a12
AE(i, j) ：表示 A 的第 i 列与第 j 列互换；
AE(i(k))：表示 A 的第 i 列乘 k ；
AE(i, j(k)) ：表示 A 的第 i 列的 k 倍加到第 j 列
上。
注：第三种初等矩阵在左乘、右乘时，不仅是行换
成列，指标 i 和 j 也要交换。
性质 2. 初等矩阵都是可逆矩阵
1 Am Am
说明施行上述初等行变换相当于在 A 的左边乘一
个相应的 m 阶初等矩阵 E(i, j(k)) 。
其他情形可类似证明。 注：定理 2.1 中“相应的”含义，具体来说，就 是
E(i, j) A ：表示 A 的第 i 行与第 j 行互换； E(i(k)) A ：表示 A 的第 i 行乘 k ； E(i, j(k)) A ：表示 A 的第 j 行的 k 倍加到第 i 行上；
r3 23r1
0
2
1 4
1
0 2
0
r3 32r2
0
2
1 1
1 0 0 32
0 3 0 1
0 0
1
3 3
6 23
3 0 2 0 1 0
3 0 0 18 9 12
r36 0 2
1
1
0
0
r2 (1)r3 r1 2r3
0
2
0
8
4
6
0 0 1 9 4 6
0 0 1 9 4 6
r1