2-3第2课时等差数列前n项和的性质

的通项公式 an 时，要分两步进行；先求当 n≥2 时，an＝Sn
－Sn－1，此时令 n＝1，求 a1.
若 a1＝S1，则 an 即为所求，若 a1≠S1，
则
an＝SS1n－Sn－1
n＝1， n≥2，
即表示为分段函数形式．
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第二章 数列
2．等差数列前 n 项和公式的性质 Sn＝na1＋nn－2 1d＝d2n2＋a1－d2n. 可以写成自变量 n∈N*的函数式，其图象是分布在抛物线上
的一系列点，d2 为二次项系数，a1－d2 为一次项系数，常数项 为 0 .所以当 d≠0 时，其 Sn 是关于 n 的无常数项的 二次 函数．
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第二章 数列
1 ． 数 列 {an} 的 前 n 项 和 Sn ＝ 2n2 ＋ n(n∈N*) ， 则 数 列 {an} 为 ()
A．首项为1，公差为2的等差数列 B．首项为3，公差为2的等差数列 C．首项为3，公差为4的等差数列 D．首项为5，公差为3的等差数列
由已知得11000a1a＋1＋101× 2009× 2d＝991d0＝010
②
①
①×10－②，整理得 d＝－5110. 代入①，得 a1＝1100909，
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第二章 数列
∴S110＝110a1＋110×2 109d
＝110×1100909＋110×2 109×－5110
＝110×1
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第二章 数列
(2)当 n＝1 时，a1＝S1＝1； 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2·3n－1. ∵a1＝1 不符合 an＝2·3n－1，
∴an＝12·3n－1
n＝1 n≥2 .
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第二章 数列
[题后感悟] 已知数列{an}的前 n 项和 Sn 或 Sn 与 an 的关
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第二章 数列
有两个等差数列{an}，{bn}，其前 n 项和分别为 Sn，Tn， 若TSnn＝7nn＋＋32，求ab55.
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第二章 数列
由题目可获取以下主要信息： ①{an}、{bn}分别为等差数列； ②TSnn＝7nn＋＋32. 解答本题可充分利用前 n 项和公式及等差中项的关系解 决．
系式，求通项 an 有如下关系 an＝SS1n－Sn－1
n＝1 n≥2 .特别当
n≥2 时，若求出 an 也符合 n＝1，可直接写成 an＝Sn－Sn－1，
否则分段表示． ,
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第二章 数列
1.(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－3n＋1，求通项公式an； (2)已知数列{an}的前n项和Sn＝(－1)n＋1·n，求通项公式an.
(2)等差数列{an}的公差 d＝12，且 S100＝145，
求 a1＋a3＋a5＋…＋a99. 解析： (1)∵a2＋a12＝a1＋a13＝2a7，
又 a2＋a7＋a12＝24，∴a7＝8.
∴S13＝13a12＋a13＝13×8＝104. (2)∵S100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)
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第二章 数列
[题后感悟] 等差数列{an}中，a1，a3，a5，…是首项为a1， 公差为2d的等差数列，a2，a4，a6，…是首项为a2，公差为2d的 等差数列．当项数为2n时，S偶－S奇＝nd，方法2中运用到了这些
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第二章 数列
3.等差数列{an}的奇数项的和为 51，偶数项的和为 4212，
第2课时 等差数列前n项和的性质
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第二章 数列
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第二章 数列
1.进一步了解等差数列的定义，通项公式以及前n项和公 式．
2.理解等差数列的性质，等差数列前n项和公式的性质应 用．
3.掌握等差数列前n项和之比问题，以及实际应用.
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第二章 数列
1.对等差数列的通项公式、前n项和公式的考查是本课时的 热点．
＝2(a1＋a3＋…＋a99)＋50d＝145，
又 d＝12，∴a1＋a3＋…＋a99＝60.
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第二章 数列
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第二章 数列
已知下列各数列{an}的前 n 项和 Sn，求{an}的通项公式． (1)Sn＝－32n2＋2025n； (2)Sn＝3n－2.
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第二章 数列
[解题过程] (1)a1＝S1＝－32×12＋2025×1＝101， 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1 ＝－32n2＋2025n－－32n－12＋2025n－1 ＝－3n＋104. ∵n＝1 也适合上式， ∴数列通项公式为：an＝－3n＋(n∈N*)．
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第二章 数列
方法四：∵S100－S10＝a11＋a12＋…＋a100 ＝90a112＋a100＝90a1＋2 a110. 又 S100－S10＝10－100＝－90， ∴a1＋a110＝－2， ∴S110＝110a12＋a110＝－110.
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第二章 数列
方法五：设数列{an}的公差为 d. 由于 Sn＝na1＋nn－2 1d，则Snn＝a1＋d2(n－1)． ∴数列Snn是等差数列，公差为d2. ∴1S01000－S1100＝(100－10)d2，且1S11100－1S01000＝(110－100)d2， 将已知数值代入上式，消去 d，可得 S110＝－110.
A．13项
B．12项
C．11项
D．10项
解析： a1＋a2＋a3＋an－2＋an－1＋an＝34＋146＝180， 所以 3(a1＋an)＝180，即 a1＋an＝60. 由 Sn＝390，知na12＋an＝390， 所以n×260＝390，解得 n＝13.故选 A. 答案： A
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第二章 数列
解析： (1)当 n≥2 时，
an＝Sn－Sn－1＝n2－3n＋1－[(n－1)2－3(n－1)＋1] ＝2n－4，
当 n＝1 时，a1＝S1＝－1 不适合上式，
∴an＝－ 2n1－4
n＝1， n≥2.
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第二章 数列
(2)当 n＝1 时，a1＝S1＝1； 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(－1)n＋1n－(－1)n(n－1) ＝(－1)n(－2n＋1)， 由于 a1 也符合此等式， 因此 an＝(－1)n(－2n＋1)(n∈N*)．
∴S110＝－11010×1102＋11101×110＝－110.
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第二章 数列
方法三：数列 S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90， S110－S100 成等差数列．设其公差为 D，前 10 项的和
10S10＋10× 2 9·D＝S100＝10⇒D＝－22， ∴ S110 － S100 ＝ S10 ＋ (11 － 1)D ＝ 100 ＋ 10×( － 22) ＝ － 120， ∴S110＝－120＋S100＝－110.
099－109×11
100

＝－110，
故此数列的前 110 项之和为－110.
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第二章 数列
方法二：设 Sn＝an2＋bn，∵S10＝100，S100＝10，
∴110020a2＋a＋101b0＝0b1＝0010 ⇒ab＝ ＝－ 1110111010
，
∴Sn＝－11010n2＋11101n，
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第二章 数列
[题后感悟] 本题解法较为灵活，方法一、二建立方程(组) 计算属于通性通法．方法三、四、五直接应用性质简捷明快， 起到事半功倍的效果．
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第二章 数列
2.(1)等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2，S4＝10，则S6 等于( )
A．12
B．18
C．24
D．42
(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm＝1，S3m＝4，试 求S6m.
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第二章 数列
解析： 当n＝1时，a1＝S1＝2×12＋1＝3. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－1. 又a1＝4×1－1＝3，∴公差d＝a2－a1＝4×2－1－3＝4. ∴{an}是首项为3，公差为4的等差数列，故选C. 答案： C
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第二章 数列
2．若一个等差数列{an}的前3项和为34，最后3项的和为146， 且所有项的和为390，则这个数列有( )
∴an＝a1＋(n－1)d＝5n－3.12 分 方法二：设奇数项与偶数项的和分别为 S 奇，S 偶，
S偶＋S奇＝354，
∴SS偶 奇＝3227，
2分
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第二章 数列
∴SS偶 奇＝ ＝119622， ， 4 分 ∴d＝192－6 162＝5，6 分 又∵S 奇＝a1＋a211×6＝3(2a1＋10d)＝162， ∴a1＝2，8 分 ∴an＝a1＋(n－1)d＝5n－3.12 分
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S9＝72，则a2＋a4＋a9 ＝________.
解析： 由等差数列的性质S9＝9a5＝72，a5＝8，a2＋a4＋ a9＝a1＋a5＋a9＝3a5＝24，故填24.
答案： 24
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第二章 数列
4．(1)等差数列{an}中，a2＋a7＋a12＝24，求 S13.
2.常与函数、不等式结合命题． 3.多以选择题和解答题的形式考查.
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第二章 数列
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第二章 数列
1．数列的通项与前 n 项和的关系
数列{an}的前 n 项和 Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an 与 an 有如
下关系：an＝SS1n－Sn－1
n＝1， n≥2，
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第二章 数列
【特别提醒】 若已知数列{an}的前 n 项和 Sn，求数列
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第二章 数列
已知数列{an}为等差数列，其前12项和354，在前12项中， 偶数项之和与奇数项之和的比为32∶27，求这个数列的通项公 式．
利用等差数列前n项和公式列方程组求解或根据等差数列的 奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等差数列求解．
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第二章 数列
[规范作答] 方法一：由等差数列的性质可知奇数项 a1， a3，a5，…，a11 与偶数项 a2，a4，a6，…，a12 仍然成等差数 列，2 分
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第二章 数列
一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10， 求前110项之和．
由题目可获取以下主要信息： ①S10＝100，S100＝10；②此数列为等差数列． 解答本题可充分利用等差数列前n项和的有关性质解答．
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第二章 数列
[解题过程] 方法一：设等差数列{an}的公差为 d，前 n 项和为 Sn，则 Sn＝na1＋nn－2 1d.
设{an}的首项为 a1，公差为 d，则 S 偶＝a2×6＋6×2 5×2d＝6a1＋36d，4 分 S 奇＝a1×6＋6×2 5×2d＝6a1＋30d，6 分
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第二章 数列
12a1＋66d＝354， ∴66aa11＋＋3360dd＝3227，
解得ad1＝＝52.， 10 分
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第二章 数列
∴数列共有 11 项． 将 k＝5 代入①，得 a6＝561＝127. 又 a1＋a11＝2a6，∴a11＝2a6－a1＝2×127－1＝16， (或 a1＋5d＝127，1＋5d＝127，d＝32.因此末项 a11＝16) 通项公式 an＝1＋(n－1)d＝3n－ 2 1(n∈N*，n≥1)．
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第二章 数列
[解题过程] 方法一：ab55＝22ab55＝ab11＋＋ab99 9a1＋a9
＝9b12＋b9＝TS99＝7×9＋9＋3 2＝6152. 2
方法二：因为TSnn＝7nn＋＋32，
所以设 Sn＝(7n＋2)kn，Tn＝(n＋3)·kn. ∴a5＝S5－S4＝65k，b5＝T5－T4＝12k，
解析： (1)S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，即2,8，S6－10 成等差数列，S6＝24.
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第二章 数列
(2)∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m…成公差为d的等差数列 ∴设S2m－Sm＝x，则S3m－S2m＝2x－1 ∴1＋x＋(2x－1)＝4，解得 x＝43， ∴所以该数列的公差 d＝43－1＝13. S6m 相当于以 Sm＝1 为首项，d＝13的数列的前 6 项的和． S6m＝6×1＋6×2 5×13＝11. 答案： (1)C
首项为 1，项数为奇数，求此数列的末项及通项公式．
解析： 设等差数列{an}的项数为 2k＋1，则数列的中 间项为 ak＋1，偶数项有 k 项，奇数项有 k＋1 项，于是
S 奇＝12(k＋1)(a1＋a2k＋1)＝(k＋1)ak＋1＝51，①
S 偶＝12k(a2＋a2k)＝kak＋1＝4212，②
①÷②，得k＋k 1＝ 511，解得 k＝5， 422