§42布洛赫(bloch)定理

其中势能函数V(r)具有晶格周期性，即
V(r)＝V（r＋Rn） ＝V（r+n1a1+n2理
晶体中的电子波函数是按照晶格周期 性进行的调幅平面波.
即（以一维为例）
（k ,x）＝u（k，x）eikx 其中 u（k，x）＝u（k ,x+na） 晶体中的电子波又称为Bloch波。
（k ,x＋na）≠ （k ,x） ∣（k ,x）∣2=∣（k ,x＋na）∣2
讨论：波函数的物理意义
二．Bloch 定理的证明
1． 由于势能函数V(x)具有晶格周期性，适 当选取势能零点，它可以作如下的付里叶级 数展开：
V ( x)＝ Vn e
n

2 i nx a
1 Vn＝ a
因此波函数
( k , x )＝ C ( k )e
' K'
‘ ik x
应当可写成 (k , x)＝ C (k Gn )ei ( k G )x
n
Gn
＝e
iK x
C(K G )e
n Gn
iGn x
与Bloch定理比较 （k ,x）＝u（k，x）eikx 需证明
Gn
u（K，x)＝ C( K Gn )e
' n ' n Gn
' i ( K Gn Gn ) x
令G‘n－Gn=Gn’’,则
＝ C ( K G )e
'' n G ''n
'' i ( K Gn ) x
(k , x )
因为求和也是遍取所有允许的倒格矢
即相差任意倒格矢的状态等价。
ˆ 由薛定谔方程 H
' n
(k,r)=E(k)(k,r)
讨论：
∣（k ,x）∣2＝∣u（k，x）∣2 ∣（k ,x＋na）∣2=∣u（k ,x+na）∣2 ∵ u（k，x）= u（k ,x+na） ∴∣（k
1 ．电子出现的几率具有正晶格的周期性。
,x）∣2=∣（k ,x＋na）∣2
2. 布洛赫定理的另一种表示 （k ,x+na）＝（k ,x）eikna
并利用平面波的正交归一性利用函数的性质得4式k态与其相差不是一个倒格矢的态之间无耦合方程4说明与k态系数ck的值有关的态是与k态相差任意倒格矢gn的态的系数ckgn
§4－2布洛赫（Bloch）定理
求晶体中的电子态，要解定态薛定谔方程
2 2m
2 (k,r)＋E －V(r) (k,r)＝0
iGn x
=u(K,x+na)
∵Gh· Rn＝2m， 一维情况Rn=na, Ghna=2m
e
iGn na
1
u（K，x)＝C( K Gn )e
Gn
iGn x
e
iGn na
＝C( K Gn )e
Gn
iGn ( x na )
u( K , x na)
于是布洛赫定理得证。
证明:
∵ （k ,x）＝u（k，x）eikx u（k，x）＝u（k ,x+na） 得：u（k，x）＝（k,x）e-ikx u（k ,x+na）=（k ,x+na）e-ik(x+na) = e-ikx [e-ikna （k ,x+na）] 比较（A）（B）二式，左右分别相等 ∴ （k ,x+na）＝（k ,x）eikna 以上证明各步均可逆，故 Bloch 定理的两种表示 等价。
' K
'
‘ ik x
(2)
求和是对所有满足波恩－卡曼边界条件的波 矢k’进行的。(讨论）
将（1）式和（2）式
V ( x)＝Vn eiGn x
n0
( k , x )＝ C ( k )e
' K'
‘ ik x
代入薛定谔方程
2 2m
2 (k,x)＋E －V(x) (k, x)＝0
得:
^
^
（2）E（k）＝E（－k） 即能带具有k=0的中心反演对称性。 （3）E（k）具有与正晶格相同的对 称性。
利用δ函数的性质，得（4）式
K E C（K ) 2m
2 2
V C ( K G )＝0
n0 n n
该方程实际上是
动量表象中的薛定谔方程，称作中 心方程。
K态与其相差不是一个倒格矢 的态之间无耦合
方程（4）说明，与K态系数C(K)的值有 关的态是与K态相差任意倒格矢Gn 的态 的系数C(K－Gn)…….与K相差不是一个 倒格矢的态不进入方程（4）。 该结论也应适用于波函数 (k,x)。
三． 布洛赫定理的一些重要推论
（1）K态和K＋Gh态是相同的状态，这就是说： （A）（K＋Gh,r）＝ （K，r） （B）E（K＋Gh）＝E(K) 下面分别证明之。
∵ （k ,x）＝C( K Gn )ei ( K G
求和遍取所有允许的倒格矢
Gn
n
) x
(k G , x )＝ C ( K G Gn )e
) x
dx＝L K K '
'

得到
L
e
i ( K’ Gn K ) x
dx＝L K ‘ G
n ,K
2 K '2 ' ' E C ( K ) L K k '＋VnC ( K ) L K ’G , K ＝0 , n ' ' 2 m n0 K K
' 2 ' ik ' x ' i ( K ' Gh ) x K C (k ) e ＋VnC (k )e n0 K ' K ' 2m
＝E C ( K ) e
' K' ik ' x
2
(3)
将此式两边乘e－ik.x,然后对整个晶体积 分。并利用平面波的正交归一性

l
e
‘ i(K K
(k G , x) 与 (k , x) 等价
H (k , r )＝H (k Gh , r )＝E (k Gh ) (k , r )
∴ E（k）=E(k+Gn) 可见，在波矢空间，布洛赫电子态具有倒格子 周期性，为了使波矢K和状态一一对应，通常限 制k在第一B.Z.内变化。 第一B.Z.内的波矢又叫简约波矢。
V ( x)e
0
a
i
2 nx a
dx
说明：
1 V0＝ a
V ( x)dx＝V ( x) cons 0
0
i 2 nx a n0
a
∴
V ( x)＝Vn e
V ( x)＝Vn eiGn x
n0
(1)
2.将待求的波函数ψ（r）向动量本征 态――平面波eik•x展开
( k , x )＝ C ( k )e
(A)
(B)
3 ．函数 （ k ,x ）本身并不具有 正晶格的周期性。
（k ,x＋na）＝u（k，x+na）eik(x+na) = u（k，x+na）eikx× eikna = u（k，x）eikx× eikna = （k ,x）eikna 而一般情况下 ∵ k不是倒格矢 eikna≠1
∴ （k ,x＋na）≠ （k ,x）