2.3-2.4 剪切、挤压与扭转
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TB TC TA TD
B
C A
D
TB
TC
TA
TD
B
C 955N· m
A
D
477.5N· m Tn
计算外力偶矩
637N· m
NA TA 9550 1592N m n NB TB TC 9550 477.5 N m n ND TD 9550 637N m n
作扭矩图 Tnmax=955N· m
例1
解：（1）校核剪切强度 用截面法求剪力, 受力分析如图,用平衡方程 P 188 94KN 求得剪力 Q
2 2
剪切面面积为
d 2 9 2 A 63.6cm2 63.6 10 4 m 2 4 4
销轴的工作剪应力为
Q 94 1000 6 14 . 8 10 Pa 4 A 63.6 10 14.8MPa [ ] 90MPa
x
Mn m 0
wenku.baidu.com
m
Mn
M
X
0
Mn m
3、扭矩正负号的规定
确定扭矩方向的右手螺旋法则： 以右手4个手指弯曲的方向沿扭矩转动的方向，大拇 指伸直与截面垂直，则大拇指的指向即为扭矩的方向。
扭矩正负号： 离开截面为正，指向截面为负
指向截面
离开截面
例 传动轴如图所示，转速 n = 500转/分钟， 主动轮B输入功率NB= 10KW，A、C为从 动轮，输出功率分别为 NA= 4KW ， NC= 6KW，试计算该轴的扭矩。
工程上往往采用实用计算的方法
F A
上式称为剪切强度条件 其中，F 为剪切力——剪切面上内力的合力 A 为剪切面面积
可见，该实用计算方法认为剪切 剪应力在剪切面上是均匀分布的。 许用剪应力
单剪切与双剪切
单剪切
前面讨论的都是单剪切现象
P
P
双剪切
P/2 P/2
出现两个剪切面 P/2 P/2 剪切力为P 剪切面面 积2倍 剪切力为P/2 剪切面面 积单倍
0
mc
Mn1
M n1 mA 0
0
计算扭矩： AB段 BC段 Mn1设为正的 Mn2设为正的
M
X
M n1 mA 76.4 Nm
M n2 114.6 Nm
4、扭矩图
将扭转轴的扭矩沿截面的分布用图形表示
例2 已知A轮输入功率为65kW，B、C、D轮输出 功率分别为15、30、20kW，轴的转速为300r/min， 画出该轴扭矩图。
注意：如果横截面是空心圆，剪应力分布规律一 样适用，但是，空心部分没有应力存在。
2、抗扭截面系数
实心圆截面
Wt
d
3
16
空心圆截面 Wt
D
3
16
1
4
3、扭转轴内最大切应力
对于等截面轴，扭转 轴内最大剪应力发生 在扭矩最大的截面的 圆周上
d D
max
Tmax Wt
故挤压强度是足够的。
小结
1.剪切实用计算所作的主要假设是： （1）假设剪切面上的剪切应力均匀分布， 由此得出剪切强度条件为
Q A
（2）假设挤压面上的挤压应力均匀分布， 由此得出挤压强度条件为
j j
2.剪切构件的强度计算，与轴向拉压时相同，也 是按外力分析、内力分析、强度计算等几个步骤进行的。 在作外力和内力分析时，还须注意以下几点： （1）首先必须取出剪切构件，明确研究对象，绘出 其上的全部外力，确定外力大小。在此基础上才能正确 地辨明剪切面和挤压面。 （2）正确地确定剪切面的位置及其上的剪力。剪 切面在两相邻外力作用线之间，与外力平行。 （3）正确地确定挤压面的位置及其上的挤压力。 挤压面即为外力的作用面，与外力垂直；挤压面为半 圆弧面时，可将构件的直径截面视为挤压面。
§2-4
圆轴的扭转
工程中发生扭转变形的构件
扭转变形的概念和特点
Mn A'
A
g
Mn
B j
B'
x
概念：圆截面杆受到一对大小相等、方向相反的力偶 矩作用力偶矩方向沿圆杆的轴线 特点：横截面仍为平面，形状不变，只是绕轴线发生 相对转动
一. 外力偶矩的计算
直接计算：根据轴上零件所受的圆周力和力
中间段
左右两段
P P/2 P/2
P
结论：无论用中间段还是左右段分析，结果是一样的。
二、挤压
1、关于挤压现象
一般来讲，承受剪切的构件在发生剪 切变形的同时都伴随有挤压 挤压破坏的特点是：在构件相互接触 的表面，因承受了较大的压力，是接 触处的局部区域发生显著的塑性变形 或挤碎 作用于接触面的压力称为挤压力
的作用半径求得
按轴的转速和传递的功率求得
输入功率：N(kW)
m 转速：n (转/分)
1分钟输入功： 1分钟m 作功：
W W'
W 60N1000 60000N
W T T 2n 1 2nT
N T 9550 n
Nm
单位
二 . 扭矩的计算、扭矩图
1、扭矩的概念 扭转变形的杆往往称之为扭转轴，扭转轴扭转时，其 横截面上的内力，是一个在截面平面内的力偶，其力 偶矩称为扭矩。 2、扭矩利用截面法、并建立平衡方程得到 m m
挤压力
F bs bs Abs
许用挤压应力 挤压面面积
关于挤压面面积的确定
键连接 铆钉或螺栓连接
l h b d
挤压力 分布
Abs l h
2
h
Abs d h
剪切与挤压的主要区别
剪切面与外力平行 挤压面与外力垂直
剪切应力为剪应力
剪切面计算
1 铆钉与螺栓 A d 2 4
第 2章
机械零件工作能力计算 的理论基础
§2-3
剪切和挤压
一、 剪切
1、剪切变形的特点
两外力与连接件轴线垂直，距离很近
连接件横截面发生错位 我们将错位横截面称为剪切面
2.剪切的工程实例
铆钉连接
螺栓连接
销轴连接
3、受剪切构件的主要类型
1）铆钉类
铆钉连接 螺栓受力情况
受剪切面为两组力分界面 P
TB
TC TA
TD
B
C A 955N· m
D
477.5N· m Tn 637N· m
Tnmax=955N· m
由强度条件设计轴直径：
Tnmax 16Tnmax max [ ] Wp d 3
16Tnmax d 49.5mm [ ]
3
选：d = 50 mm
挤压应力为正应力
挤压面计算
Abs d h
Abs l h 2
键
A bl
高炉热风围管套环和 吊杆通过销轴连接， 每个吊杆上承重 P=188kN,销轴直径 d=90mm,吊杆端部厚 1=110mm,套环厚 2=75mm,材料皆为A3 钢， []=90MPa， [j]=200MPa，试校 核销轴连接强度。
螺栓连接
P
内力外力要平衡
2）键类
F M d
单键连接
花键连接
单键连接的受力分析
4、剪切强度的工程计算
以螺栓为例
剪切面
P
F
x
X 0
P
P
将螺栓从剪切面截开，由力的平衡，有：
F P 0
FP
F 为剪切内力，即剪应力在剪切面上的合力，我们称之为剪力
剪应力在剪切面上的分布情况是非常复杂的
故剪切强度是足够的。
（2） 校核 挤压强度 销轴的挤压面是圆柱面，用通过圆柱直径的平面面积作 为挤压面的计算面积。这时，挤压面上的挤压力为
P 188 KN
挤压面的计算面积为 Aj 1d 11 9 99cm2 99104 m2 所以工作挤压应力为
P 188 1000 6 j 19 10 Pa 4 Aj 99 10 19MPa [ j ] 200MPa
剪切胡克定律
圆轴受纯扭转时只有剪应变而无正 应变，故各横截面上只有剪应力而无 正应力。 当剪应力不超过材料的剪切比例极限时， 剪应力与剪应变之间成正比关系，这个关系 称为剪切虎克定律。
Gg
剪切弹性模量
碳钢的切变模量 G≈7.94×104MPa
• 横截面上某点的剪应力 的方向与扭矩方向相同， 并垂直于该点与圆心的 连线 • 剪应力的大小与其和圆 心的距离成正比
4、扭转强度条件
max
Tmax Wt
5、强度条件的应用
max
Tmax Wt
（1）校核强度
max
Tmax Wt
Tmax
（2）设计截面
Wt
（3）确定载荷
Tmax Wt
例5 已知A轮输入功率为65kW，B、C、D轮输 出功率分别为15、30、20kW，轴的转速为 300r/min，试设计该轴直径d。
A B
C x
先计算外力偶矩
m A 9550
A mA
B
C x x
NA 4 9550 76.4 Nm n 500
N 10 mB 9550 B 9550 191 Nm n 500
NC 6 mC 9550 9550 114 .6 Nm n 500
M
Mn2
X
挤压力的作用面称为挤压面 在挤压力作用下接触面的变形称为挤压变形
铆钉或螺栓连接
挤压面为上半个 挤压面为下半个圆周面 圆周面
键连接
上半部分挤压面
l
h
2
下半部分挤压面
2、挤压强度的工程计算
由挤压力引起的应力称为挤压应力
bs
与剪切应力的分布一样，挤压应力的分布 也非常复杂，工程上往往采取实用计算的 办法，一般假设挤压应力平均分布在挤压 面上
三、扭转切应力与强度条件
1、圆轴受扭转时横截面上的应力分布规律
一个假设
# 根据几何 关系，有切 应变：
Rj g l
Rj g l
上式中 g 是圆轴扭转时圆轴母线的角变形量， 称为剪应变(即相对角度位移)，单位为弧度。 上式说明剪应变 g 与点到圆轴中心的距离 R 成正比，在圆轴表面剪应变最大，越向中心 处越小，在轴心处为零。
B
C A
D
TB
TC
TA
TD
B
C 955N· m
A
D
477.5N· m Tn
计算外力偶矩
637N· m
NA TA 9550 1592N m n NB TB TC 9550 477.5 N m n ND TD 9550 637N m n
作扭矩图 Tnmax=955N· m
例1
解：（1）校核剪切强度 用截面法求剪力, 受力分析如图,用平衡方程 P 188 94KN 求得剪力 Q
2 2
剪切面面积为
d 2 9 2 A 63.6cm2 63.6 10 4 m 2 4 4
销轴的工作剪应力为
Q 94 1000 6 14 . 8 10 Pa 4 A 63.6 10 14.8MPa [ ] 90MPa
x
Mn m 0
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m
Mn
M
X
0
Mn m
3、扭矩正负号的规定
确定扭矩方向的右手螺旋法则： 以右手4个手指弯曲的方向沿扭矩转动的方向，大拇 指伸直与截面垂直，则大拇指的指向即为扭矩的方向。
扭矩正负号： 离开截面为正，指向截面为负
指向截面
离开截面
例 传动轴如图所示，转速 n = 500转/分钟， 主动轮B输入功率NB= 10KW，A、C为从 动轮，输出功率分别为 NA= 4KW ， NC= 6KW，试计算该轴的扭矩。
工程上往往采用实用计算的方法
F A
上式称为剪切强度条件 其中，F 为剪切力——剪切面上内力的合力 A 为剪切面面积
可见，该实用计算方法认为剪切 剪应力在剪切面上是均匀分布的。 许用剪应力
单剪切与双剪切
单剪切
前面讨论的都是单剪切现象
P
P
双剪切
P/2 P/2
出现两个剪切面 P/2 P/2 剪切力为P 剪切面面 积2倍 剪切力为P/2 剪切面面 积单倍
0
mc
Mn1
M n1 mA 0
0
计算扭矩： AB段 BC段 Mn1设为正的 Mn2设为正的
M
X
M n1 mA 76.4 Nm
M n2 114.6 Nm
4、扭矩图
将扭转轴的扭矩沿截面的分布用图形表示
例2 已知A轮输入功率为65kW，B、C、D轮输出 功率分别为15、30、20kW，轴的转速为300r/min， 画出该轴扭矩图。
注意：如果横截面是空心圆，剪应力分布规律一 样适用，但是，空心部分没有应力存在。
2、抗扭截面系数
实心圆截面
Wt
d
3
16
空心圆截面 Wt
D
3
16
1
4
3、扭转轴内最大切应力
对于等截面轴，扭转 轴内最大剪应力发生 在扭矩最大的截面的 圆周上
d D
max
Tmax Wt
故挤压强度是足够的。
小结
1.剪切实用计算所作的主要假设是： （1）假设剪切面上的剪切应力均匀分布， 由此得出剪切强度条件为
Q A
（2）假设挤压面上的挤压应力均匀分布， 由此得出挤压强度条件为
j j
2.剪切构件的强度计算，与轴向拉压时相同，也 是按外力分析、内力分析、强度计算等几个步骤进行的。 在作外力和内力分析时，还须注意以下几点： （1）首先必须取出剪切构件，明确研究对象，绘出 其上的全部外力，确定外力大小。在此基础上才能正确 地辨明剪切面和挤压面。 （2）正确地确定剪切面的位置及其上的剪力。剪 切面在两相邻外力作用线之间，与外力平行。 （3）正确地确定挤压面的位置及其上的挤压力。 挤压面即为外力的作用面，与外力垂直；挤压面为半 圆弧面时，可将构件的直径截面视为挤压面。
§2-4
圆轴的扭转
工程中发生扭转变形的构件
扭转变形的概念和特点
Mn A'
A
g
Mn
B j
B'
x
概念：圆截面杆受到一对大小相等、方向相反的力偶 矩作用力偶矩方向沿圆杆的轴线 特点：横截面仍为平面，形状不变，只是绕轴线发生 相对转动
一. 外力偶矩的计算
直接计算：根据轴上零件所受的圆周力和力
中间段
左右两段
P P/2 P/2
P
结论：无论用中间段还是左右段分析，结果是一样的。
二、挤压
1、关于挤压现象
一般来讲，承受剪切的构件在发生剪 切变形的同时都伴随有挤压 挤压破坏的特点是：在构件相互接触 的表面，因承受了较大的压力，是接 触处的局部区域发生显著的塑性变形 或挤碎 作用于接触面的压力称为挤压力
的作用半径求得
按轴的转速和传递的功率求得
输入功率：N(kW)
m 转速：n (转/分)
1分钟输入功： 1分钟m 作功：
W W'
W 60N1000 60000N
W T T 2n 1 2nT
N T 9550 n
Nm
单位
二 . 扭矩的计算、扭矩图
1、扭矩的概念 扭转变形的杆往往称之为扭转轴，扭转轴扭转时，其 横截面上的内力，是一个在截面平面内的力偶，其力 偶矩称为扭矩。 2、扭矩利用截面法、并建立平衡方程得到 m m
挤压力
F bs bs Abs
许用挤压应力 挤压面面积
关于挤压面面积的确定
键连接 铆钉或螺栓连接
l h b d
挤压力 分布
Abs l h
2
h
Abs d h
剪切与挤压的主要区别
剪切面与外力平行 挤压面与外力垂直
剪切应力为剪应力
剪切面计算
1 铆钉与螺栓 A d 2 4
第 2章
机械零件工作能力计算 的理论基础
§2-3
剪切和挤压
一、 剪切
1、剪切变形的特点
两外力与连接件轴线垂直，距离很近
连接件横截面发生错位 我们将错位横截面称为剪切面
2.剪切的工程实例
铆钉连接
螺栓连接
销轴连接
3、受剪切构件的主要类型
1）铆钉类
铆钉连接 螺栓受力情况
受剪切面为两组力分界面 P
TB
TC TA
TD
B
C A 955N· m
D
477.5N· m Tn 637N· m
Tnmax=955N· m
由强度条件设计轴直径：
Tnmax 16Tnmax max [ ] Wp d 3
16Tnmax d 49.5mm [ ]
3
选：d = 50 mm
挤压应力为正应力
挤压面计算
Abs d h
Abs l h 2
键
A bl
高炉热风围管套环和 吊杆通过销轴连接， 每个吊杆上承重 P=188kN,销轴直径 d=90mm,吊杆端部厚 1=110mm,套环厚 2=75mm,材料皆为A3 钢， []=90MPa， [j]=200MPa，试校 核销轴连接强度。
螺栓连接
P
内力外力要平衡
2）键类
F M d
单键连接
花键连接
单键连接的受力分析
4、剪切强度的工程计算
以螺栓为例
剪切面
P
F
x
X 0
P
P
将螺栓从剪切面截开，由力的平衡，有：
F P 0
FP
F 为剪切内力，即剪应力在剪切面上的合力，我们称之为剪力
剪应力在剪切面上的分布情况是非常复杂的
故剪切强度是足够的。
（2） 校核 挤压强度 销轴的挤压面是圆柱面，用通过圆柱直径的平面面积作 为挤压面的计算面积。这时，挤压面上的挤压力为
P 188 KN
挤压面的计算面积为 Aj 1d 11 9 99cm2 99104 m2 所以工作挤压应力为
P 188 1000 6 j 19 10 Pa 4 Aj 99 10 19MPa [ j ] 200MPa
剪切胡克定律
圆轴受纯扭转时只有剪应变而无正 应变，故各横截面上只有剪应力而无 正应力。 当剪应力不超过材料的剪切比例极限时， 剪应力与剪应变之间成正比关系，这个关系 称为剪切虎克定律。
Gg
剪切弹性模量
碳钢的切变模量 G≈7.94×104MPa
• 横截面上某点的剪应力 的方向与扭矩方向相同， 并垂直于该点与圆心的 连线 • 剪应力的大小与其和圆 心的距离成正比
4、扭转强度条件
max
Tmax Wt
5、强度条件的应用
max
Tmax Wt
（1）校核强度
max
Tmax Wt
Tmax
（2）设计截面
Wt
（3）确定载荷
Tmax Wt
例5 已知A轮输入功率为65kW，B、C、D轮输 出功率分别为15、30、20kW，轴的转速为 300r/min，试设计该轴直径d。
A B
C x
先计算外力偶矩
m A 9550
A mA
B
C x x
NA 4 9550 76.4 Nm n 500
N 10 mB 9550 B 9550 191 Nm n 500
NC 6 mC 9550 9550 114 .6 Nm n 500
M
Mn2
X
挤压力的作用面称为挤压面 在挤压力作用下接触面的变形称为挤压变形
铆钉或螺栓连接
挤压面为上半个 挤压面为下半个圆周面 圆周面
键连接
上半部分挤压面
l
h
2
下半部分挤压面
2、挤压强度的工程计算
由挤压力引起的应力称为挤压应力
bs
与剪切应力的分布一样，挤压应力的分布 也非常复杂，工程上往往采取实用计算的 办法，一般假设挤压应力平均分布在挤压 面上
三、扭转切应力与强度条件
1、圆轴受扭转时横截面上的应力分布规律
一个假设
# 根据几何 关系，有切 应变：
Rj g l
Rj g l
上式中 g 是圆轴扭转时圆轴母线的角变形量， 称为剪应变(即相对角度位移)，单位为弧度。 上式说明剪应变 g 与点到圆轴中心的距离 R 成正比，在圆轴表面剪应变最大，越向中心 处越小，在轴心处为零。