高考数学一轮复习课时分层训练19函数y=Asinωx+φ的图像及三角函数的简单应用文北师大版

【2019最新】精选高考数学一轮复习课时分层训练19函数y＝Asinωx ＋φ的图像及三角函数的简单应用文北师大版
(对应学生用书第204页)
A组基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．为了得到函数y＝sin 3x＋cos 3x的图像，可以将函数y＝cos 3x的图像
( ) A．向右平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向左平移个单位
A [由于y＝sin 3x＋cos 3x＝sin，y＝cos 3x＝sin，因此只需将y＝cos 3x
的图像向右平移个单位，即可得到y＝sin＝sin的图像．]
2．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图像如图3­4­4所示，则ω，φ的值分别是
图3­4­4
A．2，－π
3
B．2，－π
6
C．4，－π
6
D．4，π
3
A [∵＝π－π，∴T＝π.由T＝＝π，得ω＝2.∵×2＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
∴φ＝－＋2kπ.又∵φ∈，∴φ＝－.]
3．(2016·全国卷Ⅱ)若将函数y＝2sin 2x的图像向左平移个单位长度，则平移后图像的对称轴为( )
A．x＝－(k∈Z)B．x＝＋(k∈Z)
C．x＝－(k∈Z)D．x＝＋(k∈Z)
B [将函数y＝2sin 2x的图像向左平移个单位长度，得到函数y＝2sin2＝2sin
的图像．由2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，即平移后图像的对称轴为x ＝＋(k∈Z)．]
4．(2016·北京高考)将函数y＝sin图像上的点P向左平移s(s>0)个单位长度得到点P′.若P′位于函数y＝sin 2x的图像上，则( )
A．t＝，s的最小值为π
6
B．t＝，s的最小值为π
6
C．t＝，s的最小值为π
3
D．t＝，s的最小值为π
3
A [因为点P在函数y＝sin的图像上，所以t＝sin＝sin＝.所以P.将点P向左
平移s(s>0)个单位长度得P′.
因为P′在函数y＝sin 2x的图像上，所以sin 2＝，即cos 2s＝，所以2s＝2kπ＋或2s＝2kπ＋π，即s＝kπ＋或s＝kπ＋(k∈Z)，所以s的最小值为.] 5．(2017·天津高考)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π.
若f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则( )
A．ω＝，φ＝B．ω＝，φ＝－11π
12
C．ω＝，φ＝－D．ω＝，φ＝7π
24
A [∵f＝2，f＝0且f(x)的最小正周期大于2π，
∴f(x)的最小正周期为4＝3π，
∴ω＝＝，∴f(x)＝2sin.
∵f＝2，
∴2sin＝2，
得φ＝2kπ＋，k∈Z.
又|φ|<π，∴取k＝0，得φ＝.
故选A．]
二、填空题
6．若函数f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为，则f＝________.
0 [由f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为，得ω＝4，所以f＝sin＝0.] 7．(2018·重庆模拟)将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，－≤φ≤)图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度．得到y＝sin x的图像，则f＝________.
2
2[y＝sin xy
＝siny＝sin，
即f(x)＝sin，
∴f＝sin＝sin＝.]
8．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________ ℃. 【导学号：00090101】
20．5 [依题意知，a＝＝23，A＝＝5，
∴y＝23＋5cos，
当x＝10时，
y＝23＋5cos＝20.5.]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝sin＋1.
(1)求它的振幅、最小正周期、初相；
(2)画出函数y＝f(x)在上的图像．
[解] (1)振幅为，最小正周期T＝π，初相为－.
(2)图像如图所示．
10．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图像过点P，图像上与点P最近的一个最高点是Q.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数f(x)的递增区间．
[解] (1)依题意得A＝5，周期T＝4＝π，2分
∴ω＝＝2.故y＝5sin(2x＋φ)，又图像过点P，4分
∴5sin＝0，由已知可得＋φ＝0，∴φ＝－，
∴y＝5sin. 6分
(2)由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，10分
故函数f(x)的递增区间为(k∈Z).12分
B组能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2018·孝义模拟)水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图3­4­5是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ)(t≥0，ω＞0，|φ|＜)．则下列叙述错误的是
( ) 【导学号：00090102】
图3­4­5
A．R＝6，ω＝，φ＝－π
6
B．当t∈[35,55]时，点P到x轴的距离的最大值为6
C．当t∈[10,25]时，函数y＝f(t)单调递减
D．当t＝20时，|PA|＝6 3
C [由题意，R ＝＝6，T ＝60＝，∴ω＝，当t ＝0时，y ＝f(t)＝－3， 代入可得－3＝6sin φ，∵|φ|＜，∴φ＝－.故A 正确；
f(t)＝6sin ，当t∈[35,55]时，t －∈，∴点P 到x 轴的距离的最大值为6，正确；
当t∈[10,25]时，t －∈，函数y ＝f(t)不单调，不正确；
当t ＝20时，t －＝，P 的纵坐标为6，|PA|＝＝6，正确，故选C ．]
2．若函数y ＝cos 2x ＋sin 2x ＋a 在上有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为________．
(－2，－1] [由题意可知y ＝2sin ＋a ，该函数在上有两个不同的零点，即y ＝－a ，y ＝2sin 在上有两个不同的交点．
结合函数的图像可知1≤－a ＜2，所以－2＜a≤－1.] 3．函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)的部分图像如图3­4­6所示．
图3­4­6
(1)求f(x)的解析式； (2)设g(x)＝2，
求函数g(x)在x∈上的最大值，并确定此时x 的值． [解] (1)由题图知A ＝2，＝，则＝4×， 2分
∴ω＝.
又f ＝2sin ⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤3
2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π
6＋φ
＝2sin ＝0， ∴sin ＝0. 4分
∵0＜φ＜， ∴－＜φ－＜， ∴φ－＝0，即φ＝，
∴f(x)的解析式为f(x)＝2sin.
6分
(2)由(1)可得f ＝2sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤32⎝
⎛⎭⎪⎫x －π12＋π4 ＝2sin ，
8分
∴g(x)＝2＝4×1－cos ⎝
⎛⎭⎪⎫3x ＋π42
＝2－2cos.
10分
∵x ∈，∴－≤3x ＋≤，
∴当3x ＋＝π，即x ＝时，g(x)max ＝4.
12分。