等比数列前n项和优秀教案

等比数列的前n 项和
一、教学目标
1.知识目标：理解并掌握等比数列前n 项和公式的推导过程、公式的特点，在
此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题。

2.能力目标：通过启发、引导、分析、类比、归纳，并通过严谨科学的解题思
想和解题方法的训练，提高学生的数学素养。

3.情感目标：通过解决生产实际和社会生活中的实际问题了解社会、认识社会，
形成科学的世界观和价值观。

二、教学重点与难点
重点：掌握等比数列的前n 项和公式，能用等比数列的前n 项和公式解决相关问题。

难点：错位相减法以及分类讨论的思想方法的掌握。

三、教学过程
（一）复习：
首先回忆一下前两节课所学主要内容：
1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个
常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比。

公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：
｛n a ｝成等比数列 ⇔n
n a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0） “n a ≠0”是数列｛n a ｝成等比数列的必要非充分条件（前提条件）。

2. 等比数列的通项公式:
)0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n ， )0(11≠⋅⋅=-q a q a a m m n
3．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．
4．等比中项：G 为a 与b 的等比中项. 即G =±ab （a ,b 同号）.
5．性质：若m+n=p+q ，q p n m a a a a ⋅=⋅
6．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法
如： 有一个数列满足135-⋅=n n a ，与公式)0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n 比较我
们可以判断出这个数列为等比数列且3,51==q a 。

（二）讲解新课
创设问题情景
课首给出引例：“一个穷人到富人那里去借钱,原以为富人不愿意，哪知富人一
口答应了下来,但提出了如下条件：在30天中，富人第一天借给穷人1万元,第二天
借给穷人2万元,以后每天所借的钱数都比上一天多1万;但借钱第一天,穷人还1分
钱,第二天还2分钱,以后每天所还的钱数都是上一天的两倍,30天后互不相欠.穷人
听后觉得挺划算,本想定下来,但又想到此富人是吝啬出了名的,怕上当受骗,所以很
为难。

”请在座的同学思考讨论一下,穷人能否向富人借钱?
[设计一个学生比较感爱好的实际问题，吸引学生注重力，使其马上进入到研究者的
角色中来！]
学生直觉认为穷人可以向富人借钱，教师引导学生自主探求，得出：
穷人30天借到的钱：4652
30)301(3021'30=⨯+=+++= S （万元） 穷人需要还的钱：=++++=292302221 S ?
[直觉先行,思辨引路,在矛盾冲突中引发学生积极的思维!]
教师紧接着把如何求=++++=292302221 S ？的问题让学生探究，
292302221++++= S ①若用公比2乘以上面等式的两边，得到
302923022222++++= S ②
若②式减去①式，可以消去相同的项，得到：
1073741823123030=-=S (分) ≈1073(万元) ＞ 465（万元）
答案:穷人不能向富人借钱
引导学生用“特例到一般”的研究方法，猜想数学规律。

提出问题:如何推导等比数列前n 项和公式？（学生很自然地模仿以上方法推
导）
)1(11212111--+++++=n n n q a q a q a q a a S
)2(111211n n n q a q a q a q a qS ++++=-
（1）-（2）有n n q a a S q 11)1(-=-
推导等比数列前n 项和n S 的公式，教师引导讲完课本上的推导方法后，
教师：还有没有其他推导方法？（经过几分钟的思考，有学生举手发言）
学生A ： q a a a a a a n n ====-1
2312 q a a a a a a n n =++++++∴-12132
即 q a s a s n n n =--1)1(11≠--=∴q q q a a s n n 。

学生B ：
1
12111--++++=n n n q a q a q a a s
()()q
a qs a a s q a qs a q a q a a q a n n n n n n -+=-+=+=++++=--111
121111 q a a qs s n n n -=-∴1)1(11≠--=∴q q
q a a s n n [“特例→类比→猜想”是一种常用的科学的研究思路！
教师让学生进行各种尝试，探寻公式的推导的方法，同时抓住机会或创设问题情景
调动了学生参与问题讨论的积极性，培养学生的探究能力，发挥了组织者、推进者
和指导者的作用，而学生却是实实在在的主体活动者、成为发现者、创造者！让学
生享受成功的喜悦！ ]
【基础知识形成性练习】
1、 求下列等比数列的各项和：
(1)1，3，9，…，2187 （2）5121,,81,41,21,1---
2、根据下列条件求等比数列{}n a 的前n 项和n S
①8,2,21===n q a ②2
1,2,81=
==n a q a (四)数学应用
例1 求等比数列1/2，1/4，1/8……的 ⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==1,11)1(1,111q q
q a a q q a q na S n n n
(1) 前8项的和;
(2) 第四项到第八项的和
解 ：（1） 8,2
1,211===n q a 2562552
11)211(2
18=--=∴n S （2）5,16
1314===n q a a 256312
11)211(16
15'=--=∴S 例2：在等比数列{}n a 中，
（1）已知 ,2,41=-=q a 求n S
（2）已知 2,243,11===q a a k 求k S
[例1教师板演示范，强调解题的规范。

例2、例3学生分析解法，学生不会时要分析出不会做的症结所在，然后再由学生板演出解题过程。

]
【演练反馈巩固性练习】
1、在等比数列{}n a 中，
①已知96,5.171-=-=a a ，求q 和n S
②已知,12,433==S a 求q 和1a
2、求数列)0(1132≠+++++-a a a a a n 的前n 项和。

[允许学生对不会做的题目可以不做，只要分析出不会做的症结所在，就算完成了作业。

然后老师给出评价]
[由学生对照等差数列求和总结出本节课所学内容]
（六）布置作业
1、 根据下列条件，求等比数列{}n
a 的前n 项和n S ①: 6,2,31===n q a ②: 21,21,81
===n a q a ③：4,00096.0,12.052===n a a ④:
,45,106431=
+=+a a a a 2、 在等比数列{}n a 中，
①:已知26,231==S a ，求q 和n S
②:已知115,3032==S S ，求n S
3、在等比数列{}n a 中，已知60,482==n n S S ，求n S 3
[作业要求：允许学生对不会做的题目可以不做，只要分析出不会做的症结所在，就算完成了作业。

]
五、板书设计
六、教学后记
本节课授课对象为实验班的学生，学习基础较好。

同时，考虑到这是一节探究课，授课前并没有告诉学生授课内容。

教学设计从学生的角度出发，采用“教师设计问题与活动引导”与“学生积极主动探究”相结合的方法分成五个步骤层次分明（1）创设问题情景、布疑激趣（2）启发引导学生数学地观察问题，构建数学模型（3）探寻特例、提出猜想（4）数学应用（5）知识评估。

学生在未经预习不知等比数列求和公式和证明方法的前提下，在教师预设的思路中，一步步发现了公式并推导了公式，感受到了创造的快乐，激发了学习数学的爱好，教学的知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实。