微分几何第四版习题答案梅向明

§1曲面的概念

1.求正螺面r ={u v cos ,u v sin ,bv}的坐标曲线.

解u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0}=｛0,0，bv 0｝＋u{0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv}为圆柱螺线．

２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）,b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。 证u-曲线为r ={a （u+0v ）,b （u-0v ）,2u 0v }={a 0v ,b 0v ,0}+u{a,b,20v }表示过点{a 0v ,b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;

v-曲线为r =｛a （0u +v ）,b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u ,b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u ,b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。

3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。

解ϑr

=}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a --，ϕr =}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -

任意点的切平面方程为00

cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕ

ϑϕ

ϑϑϕϑϕ

ϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x

即xcos ϑcos ϕ+ycos ϑsin ϕ+zsin ϑ-a=0； 法线方程为

ϑ

ϑ

ϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=-。

4．求椭圆柱面22

221x y a b

+=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个

切平面。

解

椭

圆

柱

面

22

221x y a b

+=的参数方程为

x=cos ϑ,y=asin ϑ,z=t,}0,cos ,sin {ϑϑθb a r -= ,}1,0,0{=t r

。所以切平面方程为：

01

0cos sin sin cos =----ϑϑϑϑb a t

z b y a x ，即xbcos ϑ+yasin ϑ－ab=0

此方程与t 无关，对于ϑ的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而ϑ的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。

5．证明曲面},,{3

uv a v u r = 的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常数。

证 },0,1{23v u a r u -= ，},1,0{23uv

a r v -= 。切平面方程为：33=++z a uv

v y u x 。

与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,uv a 2

3)。于是，四面体的体积为：

3

32

9||3||3||361a uv a v u V ==是常数。

§２曲面的第一基本形式

1. 求双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）,b （u-v ）,2uv ｝的第一基本形式.

解,4},2,,{},2,,{2222v b a r E u b a r v b a r u v u ++==-==

2222224,4u b a r G uv b a r r F v v u ++==+-=⋅=

,

∴I=+++2222)4(du v b a 2222222)4()4(dv u b a dudv uv b a ++++-。

２．求正螺面r ={u v cos ,u v sin ,bv}的第一基本形式，并证明坐标曲线互相垂直。

解 },cos ,sin {},0,sin ,{cos b v u v u r v v r v u -== ，12==u r E ，0=⋅=v u r r F ，222b u r G v +==

，

∴ I=2222)(dv b u du ++，∵Ｆ＝０，∴坐标曲线互相垂直。

３．在第一基本形式为I=222sinh udv du +的曲面上，求方程为u=v 的曲线的弧长。

解由条件=2ds 222s i n

h u d v du +,沿曲线u=v 有du=dv ，将其代入2ds 得=2ds 222sinh udv du +=22cosh vdv ，ds=coshvdv,在曲线u=v 上，从1v 到2v 的弧长为

|sinh sinh ||cosh |122

1

v v vdv v v -=⎰。

4．设曲面的第一基本形式为I=2222)(dv a u du ++，求它上面两条曲线u+v=0,u –v=0的交角。 分析由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量，即等距不变量，而求等距不变量只须知道曲面

的第一基本形式，不需知道曲线的方程。

解由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量1=E ，0=v F ，22a u G +=，曲线u+v=0与

u –v=0的交点为u=0,v=0,交点处的第一类基本量为1=E ，0=v F ，2a G =。曲线u+v=0的方向为du=-dv,u –v=0的方向为δu=δv,设两曲线的夹角为ϕ，则有

cos ϕ=

22

222211a a v

G u E Gdv Edu u Gdv u Edu +-=+++δδδδ。 5．求曲面z=axy 上坐标曲线x=x 0,y=0y 的交角.

解曲面的向量表示为r ={x,y,axy},坐标曲线x=x 0的向量表示为r ={x 0,y,ax 0y}，其切向量

y r

={0，1，ax 0}；坐标曲线y=0y 的向量表示为r ={x,0y ,ax 0y }，其切向量x r ={1，0，a 0y }，设

两曲线x=x 0与y=0y 的夹角为ϕ，则有cos ϕ=20

22020

0211||||y a x a y x a r r r r y x y x ++=⋅

6.求u-曲线和v-曲线的正交轨线的方程.

解对于u-曲线dv=0,设其正交轨线的方向为δu:δv,则有

Edu δu+F(du δv+dv δu)+Gdv δv=0,将dv=0代入并消去du 得u-曲线的正交轨线的微分方程为E δ

u+F δv=0.

同理可得v-曲线的正交轨线的微分方程为F δu+G δv=0.

7.在曲面上一点,含du,dv 的二次方程P 2du +2Qdudv+R 2dv ＝０，确定两个切方向（du ：dv ）和（δu ：δv ），证明这两个方向垂直的充要条件是ER-2FQ+GP=0.

证明 因为du,dv 不同时为零，假定dv ≠0，则所给二次方程可写成为P 2)(dv du +2Q dv

du

+R=0,设其二根

dv du ,v u δδ,则dv du v u δδ=P R ，dv du +v u

δδ=P

Q 2-……①又根据二方向垂直的条件知E dv du v u δδ+F(dv du +v

u δδ)+G=0……② 将①代入②则得ER-2FQ+GP=0.

8. 证明曲面的坐标曲线的二等分角线的微分方程为E 2du =G 2dv .

证 用分别用δ、*δ、d 表示沿u －曲线，v －曲线及其二等分角线的微分符号，即沿u －曲线δu ≠０，δv ＝０，沿v －曲线*δu ＝０，*δv ≠０．沿二等分角轨线方向为du:dv,根据题设条件,又交角公式得

2

22222)()(ds v G v Gdv v Fdu ds u E u Fdv v Edu ***+=+δδδδδδ，即G Gdv Fdu E Fdv Edu 2

2)()(+=+。