置换群论文

摘要：置换群的性质分析与应用是近世代数这门课程里的很重要的一个知识点！利用置换群的相关性质可以使得一些繁琐复杂的问题变得简单容易，对解题有很大的帮助。

本文就其置换群的性质和应用进行一个描述！应用主要是谈论置换群在求解正多边形的对称变换群、正多面体的对称变换群，多项式的对称变换群中的应用！
关键词：群; 置换; 置换群; 对称变换群
Abstract：Permutation group is the nature of the analysis and application of modern algebra in this course is very important to a knowledge point! Use of the relevant permutation group can make the cumbersome nature of the complex problems become simple and easy, very helpful for problem-solving. This permutation group of its nature and application of a description! Application are mainly talking about regular polygon Permutation in solving the symmetry transformation group, regular polyhedron symmetry transformation group, the polynomial transformation group of symmetry!
Key words：group; permutation; permutation group; symmetric transformation group
目录
1.前言 (1)
2.主要内容 (1)
2.1基本概念 (1)
2.2置换群的性质 (2)
2.2.1置换的性质 (2)
2.2.2置换的分解 (2)
2.2.3置换的奇偶性 (4)
2.3置换在求解对称变换群中的应用 (5)
2.3.1二维平面内求解正多边形的对称变换群 (6)
2.3.2 在求解正多面体的对称变换群中的应用 (6)
2.3.3 在求解多项式的对称变换群中的应用 (8)
3. 结束语 (9)
4. 参考文献 (9)
5. 致谢 (9)
置换群的性质分析及其应用
1、前言
置换群是群论中很重要的一类群，群论最早就是从研究置换群开始的，它还是一类重要的非交换群，每个有限的抽象群都与一个置换群同构，且现实生活中的许多对称现象总是以某种方式与置换及置换群有着密切的联系！所以研究置换群的性质及应用就显得格外的重要了！因此，我就置换群的一些性质进行了一个总结，并对置换群在对称变换群中的应用进行一个概括总结！
2、主要内容
2.1 基本概念：
2.1.1 群：设G是一个非空集合，若在G上定义一个二元运算·满足
S
1：结合律：对任何c
b
a,
,∈G有()()c
b
a
c
b
a⋅
⋅
=
⋅
⋅,则称G是一个半群，记作
（G，·）。

若（G，·）还满足
S
2：存在单位元e使对任何a属于G有a
e
a
a
e=
⋅
=
⋅。

S
3
：对任何a∈G有逆元1-a使1-a·a=a·1-a =e。

则称（G,·）是一个群见
[1]。

2.1.2 变换：A的一个变换，就是一个A到A自己的映射见[2]-[3]。

2.1.3 置换：一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换见[4]。

2.1.4 置换群：一个有限集合的若干个置换作成的一个群叫做一个置换群见[4]。

2.1.5 对称群:一个包含n个元的集合的全体置换作成的群叫做n次对称群。

这个群用S n
表示见[5]。

2.1.6 对称变换：使图形不变形地变到与自身重合的变换称为这个图形的对称变换见[5]。

2.1.7 对称变换群:一个图形的一切对称变换关于变换的乘法构成群，这个群称为这个图形的对称变换群见[5]-[6]。

2.1.8 轮换：设σ是一个n 阶置换，如果存在1到n 中的r 个不同的数r i i i ,,,21 ，使σ（1i ）=2i ，
σ（2i ）=3i ， ，σ（1-t i ）=t i ，σ（t i ）=1i ，并且σ保持其余的元素不变，则称σ是一个长度
为r 的轮换，记作σ=（1i ，2i ， ，t i ）。

长度为2的轮换称为对换见[6]-[7]。

2.2置换群的性质
2.2.1置换的性质
（1） n 次对称群n S 的阶是n !
证明：n S 的阶是A ={1，2， ，n }的所有置换的个数。

在置换下1的像有n 种可能的选法，当1的像一旦选定后，2的像有1-n 种选法。

1，2的像选定后，3的像有2-n 种选法。

以此类推，可得结论。

（2） 任何一个群同构于一个变换群，任何一个有限群同构于一个置换群。

证明：先证前半部分：任何一个群同构于一个变换群。

设G 是任意一个群。

首先要构造一个变换群G '，然后证明G ≅G '。

（1）构造一个变换群G '
任取a ∈G ,定义G 上的一个变换a f 如下：
()x f a =ax,G x ∈∀。

可证a f 是一个可逆变换：因为()()212121x x ax ax x f x f a a =⇒=⇒=，所以a f 是单射。

G b ∈∀，取b a x 10-=，则()b ax x f a ==00，所以a f 也是满射。

故a f 是可逆变换。

令
()},;|{G x ax x f G a f G a a ∈∀=∈='。

可直接证明G '对映射复合构成群：()()x f abx x f f G f f ab b a b a =='∈∀,,，所以G f f f ab b a '∈=，封闭性成立。

单位元为1-a f 。

所以G '是一个变换群。

（2）证明G ≅G '
作映射()G G f a a '→ :ϕ。

由于()()b a bx ax f f b a b a =⇒=⇒=⇒=ϕϕ，所以ϕ是单射，显然也是满射。

故ϕ是双射。

()()()b a f f f ab G b a b a ab ϕϕϕ===∈∀,,。

所以ϕ是G 到G '的同构，G ≅G '。

当G 有限时，G '是一个置换群，从而得证。

2.2.2 置换的分解 2.2.2.1 置换的轮换分解。

设σ是任一个n 次置换，则
（1）、σ可分解为不相交的轮换之积：σ=k r r r 21.
若不计因子的次序，则分解式是唯一的。

此处的不相交指的是任何两个轮换中无相同元素。

（2）、ο（σ）=[]k l l l ,,,21 (k l l ,,1 的最小公倍数)，其中i l 是i r 的长度。

证明：先证对换分解式的存在性：从{1，2， ,n }中任选一个数作为1i ，依次求出σ（1i ）=2i ，
σ（2i ）=3i ， 直至这个序列中第一次出现重复，这个第一次重复的数必然是1i ，即存在1
l i 使
σ（1
l i ）=1i ，否则如果第一次重复出现在σ（1
l i ）=k i （11l k <<）,则同时有σ（1-k i ）=k i ，
且1-k i ≠1l i ，这与σ是双射矛盾。

于是得到轮换1r =（1i ，2i ， ，1l i ）。

然后再取1j ∉{1i ，2i ，
，1l i }，重复以上过程可得2r =（1j ，2j ， ，2l j ），且由射映定义知2r 与1r 无公共元素。

如此下去，直至每一个元素都在某一个轮换中，因而得到分解式。

再证分解式的惟一性：首先可把分解式中1-轮换（长度为k 的轮换称为k -轮换）去掉，它们对应σ的不动点，是由σ惟一确定，因而在分解式中的元素都是动点。

假如σ有两个分解式使某个i 在不同的轮换中，则存在k 使()k σ有两个不同的像，与σ是映射矛盾。

最后求σ的阶：设ο（σ）=d ,由于i r 之间不相交，d
σ=d r 1 d k r =1，必有d
r 1=1
（i=1,2, ,k ）.所以i l |d (i =1,2, ,k ),因而d 是k l l ,,1 的最小公倍数。

式子σ=k r r r 21称为置换的标准轮换分解式。

2.2.2.2 置换的对换分解
任何一个置换可分解为对换之积，且所有对换的个数的奇偶性惟一的 证明：设σ为任一n 阶置换，并设σ以表为s 个不相交轮换之积。

令N(σ)=(-1)
s
n -。

显然，N(σ)由σ惟一确定。

设()b a 为任一对换，考察乘积()b a σ。

如果b a ,处于σ的同一个轮换
1τ=（a 1c 2c k c b 1d 2d h d ）中则
()b a
σ=（a 1c 2c k c ）
（b 1d 2d h d ）2τ3τ s τ。

从而N （()b a
σ）=1)1(---s n =-N (σ)。

如果b a ,处于σ的两个不同轮换
1τ=（a 1c 2c k c ）， 2τ=（ b 1d 2d h d ）
中，则()b a σ=（a 1c 2c k c b 1d 2d h d ）3τ4τ s τ。

从而N （()b a σ）
=1
)
1(+--s n =-N (σ)。

设σ可分别表示为h 个对换和k 个对换的乘积
σ=（1a 1b ）（2a 2b ） （h a h b ）=（1c 1d ）（2c 2d ） （k c k d ）。

则
N (σ)=N （⋅σ（1））
=N （（1a 1b ）（2a 2b ） （h a h b ）⋅（1））
=h )1(-N （（1））=h
)1(-。

同理，N(σ)=k
)1(-。

因此，h
)1(-=k )1(-。

所以h 与k 有相同的奇偶性。

2.2.2.3 每一个n 元置换都可以写成若干个不相连的轮换的乘积。

证明：设π是S n 中任一个n 元置换，下面对π中改变的文字的个数用数学归纳法。

如果π使{1，2，3， ，n }中的文字都不发生改变，则π是恒等置换，即π=（i ）,结论成立。

假设π最多变动r (n r ≤)个文字时，结论成立，
首先被π变动的文字中，随意取一个文字1i ,从1i 出发找到1i 在π下的象2i ,再找2i 的象3i , ，直到
找到k i ,其中：k i −→−
π1i ，于是1i −→−π2i −→−π3i −→−π −→−πk i −→−π
1i 。

因为π只变动了r 个文字，故r k ≤,如果r k =,则π本身就是一个r ——轮换，从而π=（1i ，
2i ， ，k i )。

假如r k <,将π表示为
π=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛++++n r r k n r r k k i i i i i i i i i i i i i i 11132
1121
=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛++++n r r
k n r r k k i i i i i i i i i i i i i i 111
32
1121
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛++++n r r
k k
n r r k k i i i i i i i i i i i i 111111 =（1i 2i k i ）1π
由于π中只变动了r 个文字，所以1π中只能变动r k r <-个文字，由归纳假设，1π必可以写成若干个不相连的轮换之积，i π=1η2η m η。

下面证明，（1i 2i k i ）与i π不相连，即说明i π中的轮换1η2η m η中不可能再发现1i 2i k i ，否则如果（1i 2i k i ）与i π相连，则可设（1i 2i k i ）与i η相连，令i η=（ p i q i ），k p ≤,则1η2η m η互不相连，从而p i 只在i η中出现，因此1π将p i →q i 。

但
1π=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛++++n r r
k k n r r k k
i i i i i
i i i i i i i i i 112
11121，
从而1π将使p i 保持不动，这就找出了矛盾，所以π=（1i 2i k i ）1η2η m η是互不相连的轮换之积。

2.2.3 置换的奇偶性
由于一个置换σ分解为对换乘积时，对换个数s 的奇偶性是惟一确定的，因此可用s （或N （σ）=
∑=-k
i i
l
1
)1(）的奇偶性来规定σ的奇偶性；当对换个数s （或N （σ））是奇（偶）数时，
σ称为偶（奇）置换。

2.2.
3.1
(1)设n S ∈α。

若α是偶置换，则α是偶数个对换的积，若α是奇置换，则α是奇数个对换的积。

(2)若'
'==p q ττττα 11是一些对换的积，则q 和p 同奇偶性。

证明：（1）若q ττα 1=是一些对换的积，则由对所有()()()βααββαsgn sgn sgn ,,==∈n S 知，
()()()()q
q 1sgn sgn sgn 1-==ττα ，因此，若α是偶置换，即()1sgn =α，则q 是偶数；若α是奇
置换，即()1sgn -=α，则q 是奇数。

（2）假设α的分解有两个，一个是奇数个对换的积，另一个是偶数个对换的积，则()αsgn 会有两个不同的值。

所以假设不成立，即q 和p 同奇偶性。

2.2.
3.2 设n S ∈βα,，若α和β同奇偶性，则αβ是偶置换；若α和β奇偶性不同，则αβ是奇置换。

证明：若()()()()p
q
1sgn ,1sgn -=-=βα，则由对所有()()()βααββαsgn sgn sgn ,,=∈n S 知，
()()
p
q +-=1sgn αβ，由此得到结论。

2.3置换在求解对称变换群中的应用 2.
3.1二维平面内求解正多边形的对称变换群 例1、求正六边形的对称变换群
由图不难看出，正六边形的对称变换只有两种：
e
f
d
c
b a
342O 5
1
6
图1
1、分别绕中心点O 按逆时针方向旋转
360,300,240,180,120,60的旋转； 2、关于直线f e d c b a ,,,,,的镜面反射。

为了用置换来表示正六边形的对称变换，我们用数字1、2、3、4、5、6来表示正六边形的六个顶点，显然，正六边形的每一个对称变换都导致了这六个顶点的一个置换。

如果对称变换将顶点i
变为顶点k ，那么可以用置换
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛65
4
3
2
165432
1k k k k k k 来表示这个对称变换。

易知，由正六边形的每一个对称变换，都可惟一确定一个6阶置换，且不同的对称变换对应了不同的置换。

所以，正六边形的每一个对称变换，都可用惟一的一个六阶置换来表示。

下表中列出了正六边形的对称变换及其相应的置换表示
对称变换
置换表示 c 表示绕中心旋转 60
（123456） 2c 表示绕中心旋转 120 （135）（246） 3c 表示绕中心旋转 180 （14）（25）（36） 4c 表示绕中心旋转 240 （153）（264） 5c 表示绕中心旋转 300 (165432) 6c 表示绕中心旋转 360
(1) 1v 表示关于a 的反射
(26)(35) v 2表示关于b 的反射 (13)(46) v 3表示关于c 的反射 (15)(24) v 4表示关于d 的反射
(12)(36)(45) 5v 表示关于e 的反射 (14)(23)(56) 6v 表示关于f 的反射
(16)(25)(34)
由表可知，两个对称变换的乘积对应于相应的置换的乘积。

所以正六边形的对称变换群是
6S 的一个子群，记作6D 。

由表可知6D =12
一般地，正n 边形（n ≥3）的对称变换群是S n 的一个子群，记作D n ，称为二面体群。

易知，正n 边形由n 个旋转（包括恒等变换）和n 个反射组成，所以二面体群的阶数是n 2。

2.3.2 在求解正多面体的对称变换群中的应用。

例2、求解正四面体的对称变换群。

O
4
1
3
2
图2
把正四面体的四个顶点分别记为1、2、3、4，中心为点O ，如图1所示。

由图不难看出，正四面体的对称变换只有两种：
1、以过正四面体的一个顶点的高线为轴，将正四面体旋转240︒（这里的旋转指，以正四面体的中心到顶点的方向为正方向，按右手系做旋转）
2、以相对棱的中点的连线为轴，将四面体旋转180︒
例如，以过顶点4的高线为轴，将正四面体旋转240︒。

如图2所示，把正四面体的顶点1、2、3、4分别变到了原始状态的2、3、1、4的位置，用顶点的置换来表示，即为⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛41324321。

O
O
4
1
3
2
1
2
3
4
图3
例如以相对的棱1—4和棱2—3的中点的连线为轴，将四面体旋转180︒，如图3所示，用顶
点的置换来表示，即为⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛12344321。

4
1
3
2
3
2
4
1
图4
总共有如下置换表示：
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛43214321,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛41324321,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛42134321,⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛13424321，
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛23144321,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛14234321,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛31244321,⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛24314321， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32414321,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛34124321,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21434321,⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛12344321。

2.3.3 在求解多项式的对称变换群中的应用 （1）、验证多项式是不是对称多项式
多项式的对称性就是多项式的某些置换下保持不变的性质。

例：验证21x x +32x x 13x x +是三元对称多项式。

事实上，记3S 的元素为：
1a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321,2a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛132321,3a =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛213321，
4a =⎪⎪⎭⎫
⎝⎛231321,5a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛312321,6a =⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛123321。

把f （1x ，2x ，3x ）= 21x x +32x x 13x x +记为f ，有
()()f x x x x x x f a f f a =++==21133221;
()()f x x x x x x f a f x x x x x x f a =++==++=12233143221133; ()()f x x x x x x f a f x x x x x x f a =++==++=31122362331125;
所以f （1x ，2x ，3x ）= 21x x +32x x 13x x +是三元对称多项式 （2）、求解多项式的对称变换群
例：求4321y y y y -+-的对称变换群。

解：可用置换⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛43214321i i i i 表示将k y 变到k i y 的变换。

可知，多项式4321y y y y -+-的任一置换最多只能将1y 与3y 或2y 与4y 互换。

所以多项式4321y y y y -+-的对称变换群G 是由（1 3）与（2 4）生成的群，即G =)34(),12(〈〉。

从而，4321y y y y -+-的对称变换群为
G =｛（1），（1 3），（2 4），（1 3）（2 4）｝
3、结束语
置换群不仅在伽罗瓦的理论中扮演着重要的角色，而且也是研究几何体的对称，晶体的结构所不可缺少的工具。

今天，置换群已不仅在数学上，而且在物理、化学、计算机科学上都有着广泛的应用，甚至在美学和艺术领域，也日益发挥着它巨大的作用！
参考文献:
[1]许胤龙、孙淑玲.组合数学引论（第二版）[M].中国科学技术大学出版社，2010
[2]（美）伊利诺伊大学著，抽象代数基础教程（原书第三版）[M](李样明冯明军). 机械工业出版社 2008
[3]韩世安林磊编 .近世代数[M].科学出版社，2004,44-60
[4]张禾瑞 .近世代数基础（修订本）[M].高等教育出版社，2007
[5]熊廷煌.对称群浅论荆州师专学报 2006
[6]长青.从“正四面体的对称群”谈起福清师专学报 1982
[7]谭正俭对称多项式阜阳师范学院学报（自然科学版）2007。