2024年山西省高考数学试卷(新高考Ⅱ)含答案解析

绝密★启用前
2024年山西省高考数学试卷（新高考Ⅱ）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知z=−1−i，则|z|=( )
A. 0
B. 1
C. √ 2
D. 2
2.已知命题p：∀x∈R，|x+1|>1，命题q：∃x>0，x3=x，则( )
A. p和q都是真命题
B. ￢p和q都是真命题
C. p和￢q都是真命题
D. ￢p和￢q都是真命题
3.已知向量a⃗，b⃗⃗满足：|a⃗|=1，|a⃗⃗+2b⃗⃗|=2，且(b⃗⃗−2a⃗⃗)⊥b⃗⃗，则|b⃗⃗|=( )
A. 1
2B. √ 2
2
C. √ 3
2
D. 1
4.某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并部分整理下表：
据表中数据，结论中正确的是( )
A. 100块稻田亩产量中位数小于1050kg
B. 100块稻田中的亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%
C. 100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间
D. 100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间
5.已知曲线C：x2+y2=16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为( )
A. x 2
16+y
2
4
=1(y>0) B. x
2
16
+y
2
8
=1(y>0)
C. y 2
16+x
2
4
=1(y>0) D. y
2
16
+x
2
8
=1(y>0)
6.设函数f(x)=a(x+1)2−1，g(x)=cosx+2ax(a为常数)，当x∈(−1,1)时，曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点，则a=( )
A. −1
B. 1
2
C. 1
D. 2
7.已知正三棱台ABC−A1B1C1的体积为52
3
，AB=6，A1B1=2，则A1A与平面ABC所成角的正切值为( )
A. 1
2
B. 1
C. 2
D. 3
8.设函数f(x)=(x+a)ln(x+b)，若f(x)≥0，则a2+b2的最小值为( )
A. 1
8B. 1
4
C. 1
2
D. 1
二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.对于函数f(x)=sin2x和g(x)=sin(2x−π
4
)，下列正确的有( )
A. f(x)与g(x)有相同零点
B. f(x)与g(x)有相同最大值
C. f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D. f(x)与g(x)的图像有相同的对称轴
10.抛物线C：y2=4x的准线为l，P为C上的动点，对P作⊙A：x2+(y−4)2=1的一条切线，Q为切点，对P作l的垂线，垂足为B，则( )
A. l与⊙A相切
B. 当P，A，B三点共线时，|PQ|=√ 15
C. 当|PB|=2时，PA⊥AB
D. 满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个
11.设函数f(x)=2x3−3ax2+1，则( )
A. 当a>1时，f(x)有三个零点
B. 当a<0时，x=0是f(x)的极大值点
C. 存在a，b，使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴
D. 存在a，使得点(1,f(1))为曲线y=f(x)的对称中心
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 3+a 4=7，3a 2+a 5=5，则S 10= ______．
13.已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα+tanβ=4，tanαtanβ=√ 2+1，则sin(α+β)= ______． 14.在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有
______种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格的4个数之和的最大值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)
记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinA +√ 3cosA =2．
(1)求A ；
(2)若a =2，√ 2bsinC =csin2B ，求△ABC 周长．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=e x −ax −a 3．
(1)当a =1时，求曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．
17.(本小题15分)
如图，平面四边形ABCD 中，AB =8，CD =3，AD =5√ 3，∠ADC =90°，∠BAD =30°，点E ，F 满足AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=25
AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12
AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，将△AEF 沿EF 对折至△PEF ，使得PC =4√ 3． (1)证明：EF ⊥PD ；
(2)求面PCD 与PBF 所成的二面角的正弦值．
18.(本小题17分)
某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛都由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分，若至少被投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．
某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与相互独立．
(1)若p=0.4，q=0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率；
(2)假设0<p<q，
(i)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，则该由谁参加第一阶段比赛？
(ii)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
19.(本小题17分)
已知双曲线C：x2−y2=m(m>0)，点P1(5,4)在C上，k为常数，0<k<1，按照如下方式依次构造点P n(n= 2,3,⋯)，过P n−1斜率为k的直线与C的左支交于点Q n−1，令P n为Q n−1关于y轴的对称点，记P n的坐标为(x n,y n).
，求x2，y2；
(1)若k=1
2
的等比数列；
(2)证明：数列{x n−y n}是公比为1+k
1−k
(3)设S n为△P n P n+1P n+2的面积，证明：对任意的正整数n，S n=S n+1．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：z=−1−i，则|z|=√ (−1)2+(−1)2=√ 2．
故选：C．
利用复数的模的运算法则求解即可．
本题考查复数的模的求法，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：命题：p：∀x∈R，|x+1|>1，x=−1时，不成立，所以命题：p是假命题；则￢p是真命题．命题q：∃x>0，x3=x，x=1时成立，所以命题q是真命题，￢q是假命题；
所以￢p和q都是真命题．
故选：B．
判断命题的真假，命题的否定的真假，即可得到选项．
本题考查命题的真假的判断，命题的否定命题的真假的判断，是基础题．
3.【答案】B
【解析】解：向量a⃗，b⃗⃗满足|a⃗|=1，|a⃗⃗+2b⃗⃗|=2，且(b⃗⃗−2a⃗⃗)⊥b⃗⃗，
可得a⃗⃗2+4a⃗⃗⋅b⃗⃗+4b⃗⃗2=4，b⃗⃗2−2a⃗⃗⋅b⃗⃗=0，
可得6b⃗⃗2=3，
．
所以|b⃗⃗|=√ 2
2
故选：B．
利用向量的模，以及向量的垂直关系，转化求解即可．
本题考查平面向量的数量积的应用，向量的模的求法，是基础题．
4.【答案】C
【解析】解：对于A，根据频率分布表知，6+12+18=36<50，所以100块稻田亩产量中位数不小于1050kg，选项A错误；
对于B，亩产量不低于1100kg的稻田频数为24+10=34，所以亩产量低于1100kg的稻田所占比例为
100−34
=66%，选项B错误；
100
对于C，亩产量的极差最大值为1200−900=300，最小值为1150−950=200，所以极差介于200kg至
300kg之间，选项C正确；
对于D，由频率分布表知，亩产量在[1050,1100)的频数为100−(6+12+18+24+10)=30，
所以估计平均数为x−=1
100
(6×925+12×975+18×1025+30×1075+24×1125+10×1175)= 1067，选项D错误．
故选：C．
根据频率分布表，判断选项中的命题是否正确即可．
本题考查频率分布直方图、百分位数、分层抽样、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．5.【答案】A
【解析】解：设M(x,y)(y>0)，则P′(x,0)，
由中点坐标公式得P(x,2y)，
因为点P在曲线C：x2+y2=16(y>0)上，
所以x2+4y2=16(y>0)，
故线段PP′的中点M的轨迹方程为x 2
16+y
2
4
=1(y>0)．
故选：A．
设M(x,y)(y>0)，由题意及中点坐标公式可得点P的坐标，利用代入法，即可求得线段PP′的中点M的轨迹方程．
本题考查代入法求轨迹方程，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：因为函数f(x)=a(x+1)2−1，g(x)=cosx+2ax，
所以由f(x)=g(x)得，a=1+cosx
1+x2
，
设ℎ(x)=1+cosx
1+x2
，则ℎ(x)是偶函数，
x∈(−1,1)时，曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点等价于直线y=a与函数ℎ(x)在x=0处相切，
代入x=0得a=2．
故选：D．
由f(x)=g(x)得，a=1+cosx
1+x2
，等式右边是偶函数，所求问题等价于直线y=a与函数ℎ(x)在x=0处相切，代入x=0即可求解．
本题考查函数的性质，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】解：设棱台的高为ℎ，三条侧棱延长后交于一点O ，
则由AB =3A 1B 1得：O 到上底面A 1B 1C 1的距离为12ℎ，O 到下底面ABC 的距离为32ℎ，
又S △ABC =√ 34×62=9√ 3，S △A 1B 1C 1=√ 34
×22=√ 3， 所以V =13(9√ 3+√ 3+√ 9√ 3⋅√ 3)ℎ=52
3， 解得ℎ=√ 3， 因为上底中心到顶点A 的距离为23×√ 32×2=√ 3
， 所以A 1A 与平面ABC 所成角的正切值为12ℎ2
√ 3=√ 34ℎ=1．
故选：B ．
由正三棱台的体积公式计算出棱台的高ℎ，由台体的性质结合线面角的定义求解即可．
本题主要考查台体的体积公式，空间中直线与平面所成角的求解，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：当x <−a 时x +a <0，当x >−a 时x +a >0，
当x <1−b 时ln(x +b)<0，当x >1−b 时ln(x +b)>0，
所以要使f(x)≥0，必须−a =1−b ，即b −a =1，
所以a 2+b 2=(a−b)2+(a+b)22≥12，当且仅当a =−12，b =12时等号成立． 故选：C ．
由题意分析得b −a =1，所以a 2+b 2=(a−b)2+(a+b)
22≥1
2，即可得结论． 本题考查不等式性质的应用，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：对于A ，f(0)=0，g(0)=−√ 22，故A 错误；
对于B ，f(x)∈[−1,1]，g(x)∈[−1,1]，两函数值域相同，故B 正确；
对于C ，显然两函数最小正周期都为π，故C 正确；
对于D ，由2x =kπ+π2，k ∈Z 得，函数f(x)的对称轴是x =
kπ2+π4，k ∈Z ， 由2x −π4=kπ+π2，k ∈Z 得，函数g(x)的对称轴是x =3π8+kπ2，k ∈Z ，故D 错误．
故选：BC ．
根据特殊角的三角函数值，三角函数的单调性、周期性、对称性逐项判断即可．
本题主要考查三角函数的周期性、对称性、单调性，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：对于A ，抛物线y 2=4x 的准线为x =−1，是x 2+(y −4)2=1的一条切线，选项A 正确； 对于B ，⊙A 的圆心为A(0,4)，当P 、A 、B 三点共线时，P(4,4)，所以PQ =√ PA 2−r 2=√ 42−12=√ 15，选项B 正确；
对于C ，当PB =2时，P(1,2)，B(−1,2)，PA 与AB 并不垂直，选项C 错误；
对于D ，焦点F(1,0)，PB =PF ，则PA =PB 等价于P 在AF 的中垂线上，该直线的方程为y =14x +158，它与抛物线有两交点，选项D 正确．
故选：ABD ．
选项A 中，抛物线的准线为x =−1，判断是圆A 的一条切线；
选项B 中，当P 、A 、B 三点共线时，求出点P ，计算PQ 即可；
选项C 中，当PB =2时，PA 与AB 并不垂直；
选项D 中，由PB =PF 得出P 在AF 的中垂线上，判断该直线与抛物线有两交点．
本题考查了直线与抛物线方程应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题． 11.【答案】AD
【解析】解：由f(x)=2x 3−3ax 2+1，得f′(x)=6x(x −a)，
对于A ，当a >1时，f(x)在(0,a)上单调递减，在(−∞,0)和(a,+∞)上单调递增；
f(x)的极大值f(0)=1>0，f(x)的极小值f(a)=1−a 3<0，所以f(x)有三个零点，故A 正确；
对于B ，当a <0时，f(x)在(a,0)上单调递减，在(−∞,a)和(0,+∞)上单调递增，x =0是极小值点，故B 错误；
对于C ，任何三次函数不存在对称轴，故C 错误；
对于D，当a=2时，f(x)=2x3−6x2+1=2(x−1)3−6(x−1)−3，关于点(1,−3)中心对称，故D正确．故选：AD．
先对f(x)求导，根据a的范围可判断f(x)的单调性，进而确定极值或极值点，可判断A、B；
三次函数不存在对称轴，可判断C；
a=2时，f(x)=2(x−1)3−6(x−1)−3，关于点(1,−3)中心对称，可判断D．
本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查函数的性质，属于中档题．
12.【答案】95
【解析】解：等差数列{a n}中，a3+a4=2a1+5d=7，3a2+a5=4a1+7d=5，
解得，d=3，a1=−4，
则S10=10×(−4)+10×9
2
×3=95．
故答案为：95．
由已知结合等差数的通项公式及求和公式即可求解．
本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题．
13.【答案】−2√ 2
3
【解析】解：因为α为第一象限角，β为第三象限角，
所以π+2kπ<α+β<2π+2kπ，k∈Z，
因为tanα+tanβ=4，tanαtanβ=√ 2+1，
所以tan(α+β)=tanα+tanβ
1−tanαtanβ=
1−1−√ 2
=−2√ 2<0，
所以3
2
π+2kπ<α+β<2π+2kπ，k∈Z，
所以cos(α+β)=√1
1+tan2(α+β)=1
3
则sin(α+β)=−√ 1−cos2(α+β)=−2√ 2
3
．
故答案为：−2√ 2
3
．
由已知结合两角和的正切公式可求tan(α+β)，然后结合同角基本关系即可求解．本题主要考查了两角和的正切公式及同角基本关系的应用，属于中档题．
14.【答案】24112
【解析】解：在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，
则共有A 44=24种选法，
在所有符合上述要求的选法中，选中方格的4个数之和的最大值是：
15+21+33+43=112．
故答案为：24；112．
利用排列数公式能求出选法总数，在所有符合上述要求的选法中，分析各选项的数据，能求出选中方格的4个数之和的最大值．
本题考查排列数公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15.【答案】解：(1)因为sinA +√ 3cosA =2，
所以2sin(A +π3)=2，即sin(A +π3)=1，
由A 为三角形内角得A +π3=π2，
即A =π6；
(2)因为√ 2bsinc =csin2B ，
√ 2bsinC =2csinBcosB ，由正弦定理可得：√ 2bc =2bccosB ，
可得cosB =√ 22，
又因为B ∈(0,π)，所以B =π4，C =π−A −B =712π，
在△ABC 中，由正弦定理得a sinA =b sinB =c sinC =
212=4， 所以b =4sinB =2√ 2，c =4sinC =4sin 7π12=4sin(π4+π3)=√ 6+√ 2，
所以△ABC 的周长为a +b +c =2+3√ 2+√ 6．
综上，△ABC 的周长为2+3√ 2+√ 6．
【解析】(1)由辅助角公式及角A 的范围，可得角A 的大小；
(2)由正弦定理可得cosB 的值，再由角B 的范围，可得角B 的大小，进而可得角C 的大小，再由正弦定理可得
b，c的值，进而求出△ABC的周长．
本题考查正弦定理的应用，辅助角公式的应用，属于中档题．
16.【答案】解：(1)∵函数f(x)=e x−ax−a3，
∴当a=1时，f(x)=e x−x−1，f′(x)=e x−1，
∴f(1)=e−2，∴切点坐标为(1,e−2)，
切线的斜率为k=f′(1)=e−1，
∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为：
y−(e−2)=(e−1)(x−1)，整理得：y=(e−1)x−1．
(2)∵函数f(x)=e x−ax−a3，∴f′(x)=e x−a，
当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在R上单调递增，此时函数f(x)无极值，
∴a>0，
令f′(x)=e x−a=0，得x=lna，
当x<lna时，f′(x)<0，当x>lna时，f′(x)>0，
∴函数f(x)的增区间为(lna,+∞)，减区间为(−∞,lna)，
=f(lna)=a−alna−a3<0，
∴f(x)
极小值
∴1−lna−a2<0，
令g(a)=−a2−lna+1，g′(a)=−2a−1
<0，
a
g(a)在(0,+∞)上单调递减，
∵g(1)=0，∴g(a)<0等价于a>1，
∴a的取值范围是(1,+∞)．
【解析】(1)当a=1时，f(x)=e x−x−1，f′(x)=e x−1，利用导数的几何意义能求出曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程．
(2)f′(x)=e x−a，当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在R上单调递增，此时函数f(x)无极值，从而a>0，令f′(x)=e x−a=0，得x=lna，求出函数f(x)的增区间为(lna,+∞)，减区间为(−∞,lna)，从而f(x)
=
极小值
<0，利用f(lna)=a−alna−a3<0，进而1−lna−a2<0，令g(a)=−a2−lna+1，g′(a)=−2a⋅1
a
导数性质能求出a的取值范围．
本题考查导数的几何意义、函数的单调性、切线方程、极值等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
17.【答案】解：(1)证明：在△AEF中，AE=2
5AD=2√ 3，AF=1
2
AB=4，∠EAF=30°，
所以cos∠AEF=AE2+AF2−EF2
2AE⋅AF =
2
2⋅2√ 3⋅4
=√ 3
2
，
所以EF=2，
所以EF2+AE2=AF2，
所以AE⊥EF，
所以DE⊥EF，
由折叠的性质可知PE⊥EF，
又PE∩DE=E，PE，DE⊂面PDE，
所以EF⊥面PDE，
又PD⊂面PDE，
所以EF⊥PD．
(2)DE=5√ 3−2√ 3=3√ 3，CD=3，∠CDE=90°，
所以CE2=36，CE=6，
PE=AE=2√ 3，
所以PE2+CE2=PC2，
所以PE⊥CE，
又因为PE⊥EF，EF∩CE=E，EF，CE⊂面DEF，
所以PE⊥面DEF，
又DE⊂面DEF，
所以PE⊥ED，
所以EF，ED，EP所在直线两两垂直，
以EF，ED，EP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系E−xyz：
P(0,0,2√ 3)，D(0,3√ 3,0)，F(2,0,0)，A(0,−2√ 3,0)，则B(4,2√ 3,0)，C(3,3√ 3,0)，
所以PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,3√ 3,−2√ 3)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−3,0,0)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(4,2√ 3,−2√ 3)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−2,−2√ 3,0)，
设平面PCD 的法向量n 1⃗⃗⃗⃗⃗=(x 1,y 1,z 1)，
所以{n 1⃗⃗⃗⃗⃗⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3√ 3y 1−2√ 3z 1=0n 1⃗⃗⃗⃗⃗⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−3x 1=0
， 设y 1=2，则z 1=3，x 1=0，
所以n 1⃗⃗⃗⃗⃗=(0,2,3)，
设平面PBF 的法向量n 2⃗⃗⃗⃗⃗=(x 2,y 2,z 2)，
所以{n 2⃗⃗⃗⃗⃗⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=4x 2+2√ 3y 2−2√ 3z 2=0n 2⃗⃗⃗⃗⃗⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−2x 2−2√ 3y 2=0
， 设x 2=√ 3，则y 2=−1，z 2=1，
所以n 2⃗⃗⃗⃗⃗=(√ 3,−1,1)，
设平面PCD 与平面PBF 所成的二面角为α，
cos <n 1⃗⃗⃗⃗⃗，n 2⃗⃗⃗⃗⃗>=n 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗|n 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗||n 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√ 3,−1,1)√ 2+3⋅√ (√ 3)+(−1)+1=√ 13⋅√ 5=√ 65
65， 所以sinα=8√ 6565
． 【解析】(1)在△AEF 中，AE =25AD ，AF =12AB ，∠EAF =30°，由余弦定理可得EF ，由勾股定理的逆定理可得AE ⊥EF ，由折叠的性质可知PE ⊥EF ，由线面垂直的判定定理可得EF ⊥面PDE ，即可得出答案．
(2)由线面垂直的判定定理可得PE ⊥面DEF ，进而可得EF ，ED ，EP 所在直线两两垂直，以EF ，ED ，EP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系E −xyz ，求出平面PCD 的法向量n 1⃗⃗⃗⃗⃗=(x 1,y 1,z 1)，平面PBF 的
法向量n 2⃗⃗⃗⃗⃗=(x 2,y 2,z 2)，设平面PCD 与平面PBF 所成的二面角为α，计算cos <n 1⃗⃗⃗⃗⃗，n 2⃗⃗⃗⃗⃗>=n
1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗|n 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗||n 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗|，进而可得答案．
本题考查线面的位置关系，二面角，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)∵甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，
∴甲第一阶段至少投中一次，乙第二阶段至少投中一次，
∴甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率为：
P =(1−0.63)(1−0.53)=0.686．
(2)(i)若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在人的比赛成绩为15分的概率为：
P 甲=[1−(1−p)3]q 3，
若乙参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为：
P 乙=[1−(1−q)3]⋅p 3，
∴P
甲−P
乙
=q3−(q−pq)3−p3+(p−pq)3
=(q−p)(q2+pq+p2)+(p−q)[(p−pq)2+(q−pq)2+(p−pq)(q−pq)] =(p−q)(q2+pq+p2)+(p−q)⋅[(p−pq)2+(q−pq)2+(p−pq)(q−pq)] =(p−q)(3p2q2−3p2q−3pq2)
=3pq(p−q)(pq−p−q)
=3pq(p−q)(pq−p−q)
=3pq(p−q)[(1−p)(1−q)−1]>0，
∴P
甲>P
乙
，
∴为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，该由甲参加第一阶段的比赛．
(ii)若甲先参加第一阶段的比赛，数学成绩X的所有可能取值为0，5，10，15，
P(X=0)=(1−p)3+[1−(1−p)3]⋅(1−q)3，
P(X=5)=[1−(1−p)32]C31q(1−q)2，
P(X=10)=[1−(1−p)3]C32q(1−q)2，
P(X=15)=[1−(1−p)3]⋅q3，
∴E(X)=15[1−(1−p)3]q=15(p3−3p2+3p)q，
记乙参加第一阶段比赛，数学成绩Y的所有可难取值为0，5，10，15，
同理E(Y)=15(q3−3q2+3q)p，
∴E(X)−E(Y)=15[pq(p+q)(p−q)−3pq(p−q)
=15(p−q)pq(p+q−3)>0，
∴为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数与期望最大，应该由甲参加第一阶段比赛．
【解析】(1)由题意得甲第一阶段至少投中一次，乙第二阶段至少投中一次，利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．
(2)(i)若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在人的比赛成绩为15分的概率为：P
甲
=[1−(1−p)3]q3，若
乙参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为：P
乙
=[1−(1−q)3]⋅p3，作差法求出
P 甲>P
乙
，从而得到为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，该由甲参加第一阶段的比赛．
(ii)若甲先参加第一阶段的比赛，数学成绩X的所有可能取值为0，5，10，15，分别求出相应的概率．进而求出E(X)，记乙参加第一阶段比赛，数学成绩Y的所有可难取值为0，5，10，15，求出E(Y)=15(q3−3q2+ 3q)p，坐差法求出E(X)−E(Y)>0，从而得到为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数与期望最大，应该由
甲参加第一阶段比赛．
本题考查相互独立事件概率乘法公式、离散型随机变量的数学期望等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19.【答案】解：(1)∵P 1(5,4)在C 上，
∴25−16=m ，解得m =9，
过P(5,4)且斜率为k =12的直线方程为y −4=12(x −5)，即x −2y +3=0，
联立{x 2−y 2=9x −2y +3=0
，解得{x =5y =4或{x =3y =0， 故Q 1(−3,0)，P 2(3,0)，
过P n−1斜率为k 的直线与C 的左支交于点Q n−1，令P n 为Q n−1关于y 轴的对称点，
所以x 2=3，y 2=0；
(2)证明：∵P n (x n ,y n )关于y 轴的对称点是Q n−1(−x n ,y n )，
P n−1(x n−1,y n−1)，P n−1，Q n−1都在同一条斜率为k 的直线上，x n−1≠−x n ；
则y n −y
n−1−x n −x n−1=k ， ∵P n−1，Q n−1都在双曲线上，
∴{x n 2−y n 2=9x n−12−y n−12=9
，两式相减可得，(x n −x n−1)(x n +x n−1)=(y n −y n−1)(y n +y n−1)， 而y n −y n−1=−k(x n +x n−1)①，x n −x n−1=−k(y n +y n−1)②，
则②−①可得，x n −y n −(x n−1−y n−1)=k(x n −y n )+k(x n−1−y n−1)，
则(1−k)(x n −y n )=(1+k)(x n−1−y n−1)，
∴x n −y n
x n−1−y n−1=1+k 1−k ，
故数列{x n −y n }是公比为
1+k 1−k 的等比数列； (3)证明：要证：S n =S n+1，只需先尝试P n+1P n+2//P n P n+3，
即先证k P n+1P n+2=k P n P n+3，
记t =1+k 1−k ，
0<k <1，
则t >1，
x n −y n =(x 1−y 1)(1+k 1−k )n−1=t n−1，
而x n 2−y n 2=9，
∴x n+y n=9t1−n，
∴y n=1
2
(−t n−1+9t1−n)，
∴k P
n+1P n+2=x n+2−x n+1
y n+2−y n+1
=y n+2+t
n+1−y
n+1
−t n
y n+2−y n+1
=1+2t
n(t−1)
(−t n+19t−1−n)−(−t n+9t−n)
=1+2t
n(t−1)
(−9t−1−n−t n)(t−1)
=1−
2t n
9t−1−n+t n
，
k P
n P n+3=y n+3+t
n+2−y
n
−t n−1
y n+3−y n
=1+2t
n−1(t3−1)
(−t n+2+9t−2−n)−(−t n−1+9t1−n)
=1+2t
n−1(t3−1)
(−9t−2−n−t n−1)(t3−1)
=1−
2t n−1
9t−2−n+t n−1=1−2t
n
9t−1−n+t n
，
∴k P
n+1P n+2=k P
n P n+3
，
∴P n+1P n+2//P n P n+3，
∴S n=S n+1．
【解析】(1)根据已知条件，先求出直线方程，再与曲线方程联立，即可求解；
(2)根据已知条件，推得y n−y n−1
−x n−x n−1
=k，再结合P n−1，Q n−1都在双曲线上，以及等比数列的定义，即可求证；
(3)要证：S n=S n+1，只需先尝试P n+1P n+2//P n P n+3，即先证k P
n+1P n+2=k P
n P n+3
，再结合换元法，以及直线
的斜率公式，即可求解．
本题主要考查数列的应用，考查转化能力，属于难题．。