普通高等学校2018届高三招生全国统一考试模拟试题(三)数学(理)试题+Word版含答案

普通高等学校招生全国统一考试模拟试题
理科数学(三)
本试卷满分150分，考试时间。

120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题纸上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．
一、选择题：本题共12小题。

每小题5分。

共60分．在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的．
1．已知i 为虚数单位，则下列运算结果为纯虚数是
A ．()1i i i +-
B ．()1i i i --
C ．()11i i i i +++
D ．()11i i i i
+-+ 2．已知集合A=31x x x ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭
，B={}10x ax -=，若B A ⊆，则实数a 的取值集合为 A ．{}0,1 B ．{}1,0- C ．{}1,1- D ．{}1,0,1-
3．已知某科研小组的技术人员由7名男性和4名女性组成，其中3名年龄在50岁以上且均为男性．现从中选出两人完成一项工作，记事件A 为选出的两人均为男性，记事件B 为选出的两人的年龄都在50岁以上，则()P B A 的值为
A ．17
B ．37
C ．47
D ．57
4．运行如图所示的程序框图，当输入的m=1时，输出的m 的结果为16，则判断框中可以填入
A ．15?m <
B ．16?m <
C ．15?m >
D ．16?m >
5．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>，F 1，F 2是双曲线的左、右焦点，A(a ，0)，P 为双曲线上的任意一点，若122PF A PF A S S = ，则该双曲线的离心率为
A B ．2 C D ．3
6．若a >1>b >0，－1<c <0，则下列不等式成立的是
A ．22b a -<
B ．()log log a b b c <-
C ．22a b <
D ．2log b c a <
7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24a a +=10，若点P ()35,a S 在函数2y mx =的图像上。

则过点P ()35,a S 的切线方程为
A ．200x y -+=
B ．300x y +-=
C ．10250x y --=
D ．10750x y +-=
8．已知实数,x y 满足不等式组2220x t
x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩
，其中02sin t xdx π=⎰，则22x y +的最大值是
A ．5
B ．25
C ．20
D ．209
9．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，题中描绘的器具的三视图如图所示(单位：寸)．若在某天某地下雨天时利用该器具接的雨水的深度为6寸，则这天该地的降雨量约为(精确到0．01寸)(注：平地降雨量等于器具中积水体积除以器具口面积．参考公
式：台体的体积(13V S S =
++下上，其中S 上，S 下分别表示上、下底面的面积，h 为高)
A ．1．56寸
B ．1．66寸
C ．1．76寸
D ．1．86寸
10．如图，在所有棱长均为a 的直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BB 1，A 1C 1的中点，则异面直线AD ，CE 所成角的余弦值为
A ．12 B
C ．15
D ．45 11．如图，由抛物线28y x =与圆
E ：()2229x y -+=的实线部分构成图形Ω，过点P(2，
0)的直线始终与图形Ω中的抛物线部分及圆部分有交点，则AB 的取值范围为
A ．[2，3]
B ．[3，4]
C ．[4，5]
D ．[5，6]
12．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛
⎫=+>< ⎪⎝⎭
的图像与x 轴的两个相邻交点分别为
O 1，O 2(其中O 2在O 1的右边)，曲线()f x 上任意一点A ()00,x y 关于点O 1，O 2的对称点分
别为()()111222,,,A x y A x y ，且21x x π-=，且当0
6x π=时，有012y =．记函数()f x 的
导函数为()f x '()()21f
αα'-=时，cos 2α的值为 A ．14 B ．13 C ．
12 D ．1 二、填空题：本题共4小题．每小题5分．共20分．
13．在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，2BD DC = ，若(),AD AB AC R λμλμ=+∈ ，
则λμ+=______________．
14．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1531,4a a a ==，若对任意n N *∈，不等式()0n n S a k k Z +-≥∈恒成立，则实数k 的最大值为__________．
15．已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，对于任意的实数x ，都有
()()()24f x f f x -=-，
且当02x ≤<时，()()22f x x =-，则方程()2log 0f x x -=的解的个数为__________．
16．甲、乙、丙、丁四人进行选择题解题比赛，已知每个选择题选择正确得5分，否则得0分．其测试结果如下：甲解题正确的个数小于乙解题正确的个数，乙解题正确的个数小于丙解题正确的个数，丙解题正确的个数小于丁解题正确的个数；且丁解题正确的个数的2倍小于甲解题正确的个数的3倍，则这四人测试总得分的最少分数为________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题．每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：共60分．
17．(12分)
在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为()(,,,cos sin ,cos ,sin ,a b c m A A C n C =+=- )
cos sin ,A A m n -⋅=(1)求角B 的大小；
(2)若,23ABC C b S π
∆==，求．
18．(12分)
某科研单位在改进某种材料配方的过程中，为了解其稳定性，需监控配制生产过程中的数据变化，检验员每天从实验记录的数据中随机抽取10个数据，并认为数据在正常状态下服从
正态分布()
2N μσ，
(1)假设实验状态正常，记X 为一天内抽取的10个数据在()33μσμσ-+，外的实验次数，求()1P X ≥及X 的数学期望．
(2)一天内抽检的数据中，如果出现了数据在()33μσμσ-+，外的实验，就认为该实验存在问题，需对当天的实验配方进行调整．
(i)试说明上述监控实验过程方法的合理性．
(ii)下面是检验员在一天内抽取的10个实验的数据：
2.95
3.12 2.96 3.01 2.98
2.91
3.13 3.02 2.22 2.04 经计算得
1011 2.834,0.3610i i x x s =====∑，其中i x 为抽取的第i 次实验数据，1,2,,10i =⋅⋅⋅．
用样本平均数x 作为μ的估计值 μ
，用样本标准差s 作为σ的估计值 σ，利用估计值判断是否需对当天的实验配方进行调整(精确到0.01)．
附：若随机变量Z 服从正态分布()
()2,330.9973N P Z μσμσμσ-<<+≈，则， 100.99730.973≈．
19．(12分)
如图①，在四边形PBCD 中，PB ∥CD ，45PBC ∠= ，点A 在边PB 上，且满足2PA=3AB ，
AB=2CD ，，O 为AC 的中点．现将△PAD 沿AD 翻折，使平面PAD ⊥平面ABCD ，如图②所示．
(1)证明：BC ⊥PO ．
(2)点E 在线段BC 上，则是否存在点E ，使二面角G-PO-E
?若存在，求出点E 的位置；若不存在，请说明理由．
20．(12分)
已知椭圆()()()221234223310112,0,1,,1,22x y C a b P P P P a b ⎛⎫⎛⎫+=>>- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭：，四点，，中恰有三点在椭圆C 上．
(1)求椭圆C 的标准方程．
(2)已知动直线l 过椭圆C 的右焦点F ，且与椭圆C 交于A ，B 两点，则在x 轴上是否存在定
点Q ，使得13564
OA QB ⋅=- 恒成立?若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
21．(12分)
已知函数()()()1ln 102f x ax a x
=++>． (1)当1a =时，求函数()f x 的单调区间；
(2)设()[]()()00011,2g x x x e f x g x x
=+∃∈>，若，使得成立，求实数a 的取值范围．
(二)选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)
在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为,2x a y a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=．
(1)写出直线l 的普通方程和圆C 的参数方程；
(2)若直线l 与圆C 相切于点P ，求点P 的直角坐标．
23．[选修4-5：不等式选讲](10分) 已知函数()212f x x x =++-．
(1)当[]2,3x ∈-时，求函数()f x 的值域M.
(2)若0a >，证明：2
123x a x a ++-≥．。