圆锥曲线面积问题试题精选说课材料
微考点6-2 圆锥曲线中的弦长面积类问题(解析版)
微考点6-2 圆锥曲线中的弦长面积类问题（三大题型）直线与圆锥曲线相交，弦和某个定点所构成的三角形的面积，处理方法：①一般方法：d AB S 21=（其中AB 为弦长，d 为顶点到直线AB 的距离），设直线为斜截式m kx y +=.进一步，d AB S 21==20011221214)(121k m y kx x x x x k ++--++②特殊方法：拆分法,可以将三角形沿着x 轴或者y 轴拆分成两个三角形，不过在拆分的时候给定的顶点一般在x 轴或者y 轴上，此时，便于找到两个三角形的底边长.12PAB PQA PQB A B S S S PQ y y ∆∆∆=+=-=12PAB PQA PQB A B S S S PQ x x ∆∆∆=+=-=③坐标法：设),(),,(2211y x B y x A ，则||211221y x y x S AOB -=∆④面积比的转化：三角形的面积比及其转化有一定的技巧性，一般的思路就是将面积比转化为可以利用设线法完成的线段之比或者设点法解决的坐标形式，通常有以下类型：1.两个三角形同底，则面积之比转化为高之比，进一步转化为点到直线距离之比2.两个三角形等高，则面积之比转化为底之比，进一步转化为长度（弦长之比）3.利用三角形面积计算的正弦形式，若等角转化为腰长之比4.面积的割补和转化⑤四边形的面积计算在高考中，四边形一般都比较特殊，常见的情况是四边形的两对角线相互垂直，此时我们借助棱形面积公式，四边形面积等于两对角线长度乘积的一半；当然也有一些其他的情况，此时可以拆分成两个三角形，借助三角形面积公式求解.⑥注意某条边过定点的三角形和四边形当三角形或者四边形某条边过定点时，我们就可以把三角形，四边形某个定顶点和该定点为边，这样就转化成定底边的情形，最终可以简化运算.当然，你需要把握住一些常见的定点结论，才能察觉出问题的关键.题型一：利用弦长公式距离公式解决弦长问题【精选例题】【例1】已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>，1F ，2F 分别为左右焦点，点(1P，2P -⎛⎝在椭圆E 上.(1)求椭圆E 的离心率；(2)过左焦点1F 且不垂直于坐标轴的直线l 交椭圆E 于A ，B 两点，若AB 的中点为M ，O 为原点，直线OM交直线3x =-于点N ，求1ABNF 取最大值时直线l 的方程.则2222(2)(2)2x y x -+=-【跟踪训练】1.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，圆O ：22320x y x y ++--=，若圆O 过椭圆C 的左顶点及右焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点()1,0作两条相互垂直的直线1l ，2l ，分别与椭圆相交于点A ，B ，D ，E ，试求AB DE +的取值范围．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.题型二：利用弦长公式距离公式解决三角形面积类问题【精选例题】圆心O 到直线CD 的距离为2||51m d k ==+联立22132y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()2223k x ++()()()2226423360km k m ∆=-+->，可得设()11,A x y 、()22,B x y ，则12623km x x k -+=+()2222121236141k m AB kx x x x k=++-=+()()()(2222261322612k km k ⋅++-+【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（首先建立目标函数，再求这个函数的最值，式长最值．P x y满足方程【例3】动点(,)【点睛】求解动点的轨迹方程，可通过定义法来进行求解型的轨迹的定义，由此来求得轨迹方程用不等式的性质、基本不等式等知识来进行求解【例4】已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为(1)求椭圆C的标准方程；【点睛】思路点睛：本题第二小问属于直线与圆锥曲线综合性问题，设出过点达定理可得12y y +，12y y ，可求出1142ABF S a r =⋅⋅△，由此可求得直线【跟踪训练】(1)求椭圆C的标准方程；(2)判定AOMV（O为坐标原点）与理由.【答案】(1)2212xy+=；(2)面积和为定值，定值为【分析】（1）根据题意求,a b）方程为22221x ya b+=，焦距为2c，则2221b a c=-=，的标准方程为221 2xy+=.()0,1A，()0,1B-，直线l：x(1)求椭圆C的方程；(2)过B作x轴的垂线交椭圆于点①试讨论直线AD是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．△面积的最大值．②求AOD②设直线AD 恒过定点记为M 由上()222481224t m ∆=-+=⨯所以1222423t y y t +=+，122y y =）题型三：利用弦长公式距离公式解决定四边形面积问题【精选例题】(1)求椭圆的标准方程；(2)求四边形ABCD面积的最大值；(3)试判断直线AD与BC的斜率之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由【答案】(1)2214xy+=；(2)4；(3)）当直线1l，2l中的一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为1AB CD=⨯⨯=.4122当直线1l，2l的斜率都存在且不为0时，【跟踪训练】2．已知焦距为2的椭圆M ：于A ，B 两点，1ABF V 的周长为(1)求椭圆M 的方程；F l）斜率不存在时.1l 方程为1x =，2l 方程为1134622ABCD S AB CD =⋅=⋅⋅=四边形斜率为0时.1l 方程为0y =，此时无法构成斜率存在且不为0时.设1l 方程为y =12．已知圆O ：224x y +=，点点P 的轨迹为E .(1)求曲线E 的方程；(2)已知()1,0F ，过F 的直线m【点睛】方法点睛：设出直线的方程，与椭圆方程联立，根据韦达定理结合弦长公式得出弦长3．已知椭圆2222:1(x yEa b+=()2,1T，斜率为k的直线l与椭圆(1)求椭圆E的标准方程；（2）设直线AB的方程为6．已知椭圆(2222:1x y C a a b+=两点，且1ABF V 的周长最大值为(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点P 是椭圆C 上一动点（不与端点重合），则112AF AH AF AF +≤+=故当AB 过右焦点2F 时，ABF V 因为椭圆C 的离心率为c e a =22121,2A F a c A A a =-===则11214A PQ PA A S S =V V ，故PQ =设(,),(02)P P P P x y x <<，则又P 点在22143x y +=上，则又2(2,0)A ，所以直线2A P 的方程为）O 中，由OA l ⊥，2EOF EOA ∠=∠，则EOA V 中，cos 601OA OE =⋅=o ，则S 当直线l 的斜率不存在时，可得:1l x =±，代入方程可得：2114y +=，解得32y =±，可得MN 当直线l 的斜率存在时，可设:l y kx b =+，联立可得））得1(0,3)B ，2(1,0)F ，12B F k =所以直线MN 的斜率为33，所以直线()2231313x y =++=．消去y 并化简得13(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在实数λ，使椭圆若不存在，请说明理由；(3)椭圆E的内接四边形ABCD4t4t【点睛】方法点睛：本题（2圆联立求出弦长，然后再结合基本不等式求解出最值11．已知椭圆221:184x yC+=与椭圆(1)求椭圆2C的标准方程：不妨设P 在第一象限以及x 故000022AP AQ k y y k x x -+⋅=⋅=-由题意知直线AP 存在斜率，设其方程为若直线l ，m 中两条直线分别与两条坐标轴垂直，则其中有一条必与直线所以直线l 的斜率存在且不为零，设直线()()1122,,,A x y B x y ，()1y k x ⎧=+。
高考数学圆锥曲线习题精选精讲可编辑
学前教育理论与实务袁玉长春光华学院．第三章学前教育观第一节学前教育的价值第二节学前教育的发展第三节学前教育的目标第四节科学学前教育观的树立学前儿童的因材施教第五节第一节学前教育的价值一、学前教育在儿童发展中的作用学前教育对于儿童的成长至关重要。
无论是对胎儿，还是对婴儿，或是对幼儿，只要有适宜的教育和训练，就能得到很好的成长与发展。
（一）保证胎儿健康的出生胎儿在5个月，听觉系统的发育已基本完善，6－7个月时能分辨出母亲的情感。
孕妇的情绪会通过神经——体液的变化，去影响胎儿的血液供应、呼吸、胎动等。
（二）保证婴儿及时的成长婴儿期是学前儿童发展的第二个重要时期。
有研究者认为：儿童八个月-2岁这段时期是特别重要的，因为语言、好奇心、智能和社会化的发展等基础都是在此期间奠定的、脑科学研究的人员发现：每个人的学习能力的50%是在生命的头4年发展起来的，早期学习不但不会剥夺童年的换了，而且能够为儿童提供各种发展的良机。
1.母乳喂养有利于婴儿免疫能力的增强。
母乳喂养对婴儿的呼吸道有保护作用，能降低呼吸道的发病率，母乳中含有较多的疾病免疫的因子，有助于刺激婴儿免疫系统的成熟。
母乳最佳喂养方式：产后半小时开始喂奶；出生后4个月内坚持母乳喂养，4-6个月开始添加辅食，具体月龄依婴儿生长情况而定，6个月月龄的婴儿均应添加辅食。
2.母亲注意卫生保健有利于婴儿的生长发育。
在婴儿哺乳期间，母亲吸烟，分泌的乳汁会减少，并增加婴儿的支气管和肺炎发生率。
3.成人重视体育锻炼，有助于婴儿健康成长。
成人注意语言刺激有利于婴儿4.的智力发展。
成人注意激发阅读兴趣有益于5.婴儿良好品行的塑造。
．成人注意音乐刺激有助于婴儿6.的情感陶冶。
（三）保证幼儿迅速的发展1.重视体育锻炼，能促进幼儿身心健康成长。
重视音乐训练，能提高幼儿的智力水平。
2.3.幼儿期教育能为儿童做好入学准备。
研究表明：上过幼儿园的儿童与未上过幼儿园的儿童相比，适应小学生活的能力更强，语文、数学平均成绩更高，当班干部、三好学生的比例更大。
圆锥曲线之面积问题
圆锥曲线之面积问题例题1、已知椭圆C ：12222=+by a x （a ＞b ＞0）的离心率为,36短轴一个端点到右焦点的距离为3。
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为23，求△AOB 面积的最大值。
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意c aa ⎧=⎪⎨⎪⎩1b ∴=，∴所求椭圆方程为2213x y +=。
（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，。
（1）当AB x ⊥轴时，AB =。
（2）当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+223(1)4m k =+。
把y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(31)6330k x kmx m +++-=，122631km x x k -∴+=+，21223(1)31m x x k -=+。
22221(1)()AB k x x ∴=+-22222223612(1)(1)(31)31k m m k k k ⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++2422212121233(0)34196123696k k k k k k=+=+≠+=++⨯+++≤。
当且仅当2219k k=，即k =时等号成立。
当0k =时，AB =，综上所述max 2AB =。
∴当AB 最大时，AOB △面积取最大值max 12S AB =⨯=。
2、已知椭圆C:2222b y a x +=1(a ＞b ＞0)的离心率为36,短轴一个端点到右焦点的距离为3.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为23，求△AOB 面积的最大值. 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c ，依题意3c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩1b ∴=，∴所求椭圆方程为2213x y +=．（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，．（1）当AB x ⊥轴时，AB =．（2）当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+2=，得223(1)4m k =+．把y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(31)6330k x kmx m +++-=，122631kmx x k -∴+=+，21223(1)31m x x k -=+．22221(1)()AB k x x ∴=+-22222223612(1)(1)(31)31k m m k k k ⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦ 22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++2422212121233(0)34196123696k k k k k k=+=+≠+=++⨯+++≤．当且仅当2219k k=，即3k =±时等号成立．当0k =时，AB =max 2AB =．∴当AB 最大时，AOB △面积取最大值max 12S AB =⨯=． 3、已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：2200132x y +<； （Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值． 解：（Ⅰ）椭圆的半焦距1c ==，由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22001x y +=，所以，222200021132222y x y x ++=<≤．（Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=．设11()B x y ，，22()D x y ，，则2122632k x x k +=-+，21223632k x x k -=+22212221(1)()4BD xx k x x x x⎡=-=++-=⎣； 因为AC 与BC 相交于点P ，且AC 的斜率为1k-，所以，2222111)12332k k AC k k⎫+⎪+⎝⎭==+⨯+． 四边形ABCD 的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦≥．当21k =时，上式取等号．（ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积4S ．综上，四边形ABCD的面积的最小值为96 25．。
高考数学一轮复习专题03 圆锥曲线面积问题(解析版)
F 2F 1OyxBA解析几何专题三：圆锥曲线面积问题一、知识储备 1、三角形面积问题直线AB 方程：y kx m =+ 0021kx y md PH k-+==+00002211122'2'1ABP kx y m kx y mS AB d k A A k ∆-+∆-+∆=⋅=+⋅=+2、焦点三角形的面积直线AB 过焦点21,F ABF ∆的面积为 112121212'ABF c S F F y y c y y A ∆∆=⋅-=-= 2222222222222224()11||S =||d 22AOB a b a A b B C C AB A B a A b B A B∆+-=+++2222222222()C ab a A b B C a A b B+-=+注意：'A 为联立消去x 后关于y 的一元二次方程的二次项系数3、平行四边形的面积直线AB 为1y kx m =+，直线CD 为2y kx m =+ 1221m m d CH k-==+222222121212''11()41()41'''B C AB k x x k x x x x k k A A A ∆=+-=++-=+--⋅=+1212221''1ABCDm m m m SAB d k A A k -∆-∆=⋅=+⋅=+注意：'A 为直线与椭圆联立后消去y 后的一元二次方程的系数. 4、范围问题首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数CDHOyxBA均值不等式 222(,)a b ab a b R +≥∈变式：2,);()(,)2a b a b a b R ab a b R ++++≥∈≤∈ 作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值； 当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值 注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等” 圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举： （1）2226464t S t t t==++（注意分0,0,0t t t =><三种情况讨论）（2）224222121212333196123696k AB t k k k=+=+≤+++⨯+++ 当且仅当2219k k =时，等号成立 （3）222002200259342593464925y x PQ x y =+⋅+⋅≥+= 当且仅当22002200259259925y x x y ⋅=⋅时等号成立. （4）2282m m S -+===当且仅当228m m =-+时，等号成立(5)2221121k m m S -++==≤=当且仅当221212k m +=时等号成立. 二、例题讲解1．（2022·广东高三月考）已知椭圆G ：()222210x y a b a b +=>>，且过点()3,1．（1）求椭圆G 的方程；（2）斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为()3,2P -，求PAB ∆的面积．【答案】（1）221124x y +=；（2）92.【分析】（1）根据椭圆离心率、及所过的点，结合椭圆参数关系求参数，写出椭圆方程.（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，AB ：y x b =+，其线段AB 中垂线为1y x =--，联立椭圆方程并应用韦达定理求12x x +、12x x ，进而可得12y y +，由AB 中点在中垂线上代入求参数b ，进而求||AB 、P 到AB 的距离，即可求△PAB 的面积． 【详解】（1）由题意，22222911a b a b c c e a ⎧==⎪⎪⎪+⎨==+⎪⎪⎪⎩，解得22124a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故椭圆G 的方程221124x y+=.（2）令AB 为y x b =+，则AB 中垂线方程为(3)21y x x =-++=--， 联立AB 与椭圆方程得：223()12x x b ++=，整理得22463120x bx b ++-=， 若1122(,),(,)A x y B x y ，则1232b x x +=-，2123124b x x -=， △121222by y x x b +=++=，又1212(,)22x x y y ++在AB 中垂线上，△3144b b-=，可得2b =，即123x x +=-，120x x =，△||AB == 又()3,2P -到AB的距离d △19||PABSAB d =⋅=. 2．（2022·全国高三模拟预测）已知双曲线C ：22221x ya b -=()0,0a b >>的左､右焦点分别为1F ，2F ，虚轴上､下两个端点分别为2B ，1B ，右顶点为A ，且双曲线过点，22213B F B A ac a ⋅=-.（1）求双曲线1C 的标准方程；（2）设以点1F 为圆心，半径为2的圆为2C ，已知过2F 的两条相互垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与双曲线交于P ，Q 两点，直线2l 与圆2C 相交于M ，N 两点，记PMN ∆，QMN ∆的面积分别为1S ，2S ，求12S S +的取值范围.【答案】（1）2213y x -=；（2）[)12,+∞.【分析】（1）由22213B F B A ac a ⋅=-得223a b =，由双曲线过点得22231a b -=，两个方程联立求出a 和b ，可得双曲线1C 的标准方程；（2）设直线1l ：2x my =+，根据垂直关系得直线2l ：()2y m x =--，求出弦长||MN 和||PQ ，求出121||||2S S MN PQ +=，再根据参数的范围可求出结果. 【详解】（1）由双曲线的方程可知(),0A a ，()10,B b -，()20,B b ，()2,0F c ， 则()22,B F c b =-，()1,B A a b =.因为22213B F B A ac a ⋅=-，所以223ac b ac a -=-，即223a b =.①又双曲线过点，所以22231a b -=.② 由①②解得1a =，b = 所以双曲线1C 的标准方程为2213y x -=. （2）设直线1l ：2x my =+，()11,P x y ，()22,Q x y ， 则由21l l ⊥，得直线2l ：()2y m x =--，即20mx y m +-=. 因为圆心()12,0F -到直线MN的距离d ==所以MN =2d <，故2103m ≤<. 联立221,32,y x x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩消去x 得()22311290m y my -++=， ()222144363136(1)0m m m ∆=--=+>，则1221231m y y m +=--，122931y y m =-，所以()22126113m PQ y m +=-=-，则1212S S PQ MN +=⋅=， 又2103m ≤<，所以[)1212,S S +∈+∞. 即12S S +的取值范围为[)12,+∞. 【点睛】关键点点睛：设直线1l ：2x my =+，用m 表示||MN 和||PQ 是本题的解题关键.3．（2022·浙江高三开学考试）如图，已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为()1,0F ，D 为x 轴上位于F 右侧的点，点A 为抛物线C在第一象限上的一点，且AF DF =，分别延长线段AF 、AD 交抛物线C 于M 、N .（1）若AM MN ⊥，求直线AF 的斜率； （2）求三角形AMN 面积的最小值. 【答案】（1（2）16.【分析】（1）由抛物线的焦点坐标求出p 的值，可得出抛物线C 的方程，设点()2,2A t t ，可知0t >，求出M 、N 的纵坐标，利用斜率公式结合已知条件得出1AM MN k k ⋅=-，可得出关于t 的方程，解出正数t 的值，进而可求得直线AF 的斜率；（2）求出点M 、N 的坐标，求得AM 以及点N 到直线AM 的距离d ，可求得AMN 的面积关于t 的表达式，利用基本不等式可求得AMN 面积的最小值. 【详解】（1）()1,0F ，则12p=，得2p =，所以，抛物线C 的方程为24y x =， 设()2,2A t t ，点A 为抛物线C 在第一象限上的一点，故0t >，设点(),0D d ，由AF DF =得211t d +=-，则22d t =+，得()22,0D t +，所以，221AMt k t =-，直线AM 的方程为2112t x y t-=+， 联立224112y xt x y t ⎧=⎪⎨-=+⎪⎩，得222240t y y t ---=，所以，42M A y y t -==-， 进一步得()2222AN AD tk k t t t ===--+，直线AN 的方程为212x y t t=-++， 联立22124x y t t y x⎧=-++⎪⎨⎪=⎩，得()224420y y t t +-+=，4N A y y t ∴+=-，则42N y t t=--，又AM MN ⊥，22224414444A M M N A M M N AM MN A M M N A M M N A M M Ny y y y y y y y k k y y y y x x x x y y y y ----∴⋅=⋅=⋅=⋅=---++--， 代入得44122422t tt t t⋅=-----，化简得：42230t t --=， 又0t >，t ∴=(3,A，AF k ∴==（2）由（1）知224,2N t t t t ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，212,M t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ()222221122A M t AM x x t tt+=++=++=，直线AM 的方程2112t x y t-=+即为()22120tx t y t ---= 所以点N 到直线AM 的距离为()()()222221211t t d tt t++==+，()332331122216AMN t S t t t +⎛⎛⎫==+≥= ⎪ ⎝⎭⎝△， 当且仅当1t =时，S 取到最小值16. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．1．（2022·江苏南京·高三月考）已知抛物线1G ：24y x =与椭圆2G ：22221x y a b+=（0a b >>）有公共的焦点，2G 的左、右焦点分别为1F ，2F ，该椭圆的离心率为12． （1）求椭圆2G 的方程；（2）如图，若直线l 与x 轴，椭圆2G 顺次交于P ，Q ，R （P 点在椭圆左顶点的左侧），且1PFQ ∠与1PF R ∠互补，求1F QR ∆面积S 的最大值．【答案】（1）22143x y +=．（2【分析】（1）由已知条件推导出1c =，结合12e =和隐含条件222a b c =+，即可求出椭圆标准方程； （2）设1(Q x ，1)y ，2(R x ，2)y ，(1,0)F -，1PFQ ∠与1PF R ∠互补，可得110QF RF k k +=，根据已知条件，结合韦达定理、点到距离公式和均值不等式，即可求解． 【详解】解：（1）由题意可得，抛物线的焦点为(1,0)，∴椭圆的半焦距1c =，又椭圆的离心率为12，∴12c e a ==，即2a =， 222a b c =+，222413b a c ∴=-=-=，即b =∴椭圆2C 的方程为22143x y +=． （2）设1(Q x ，1)y ，2(R x ，2)y ，(1,0)F -，1PFQ ∠与1PF R ∠互补，∴110QF RF k k +=， ∴1212011y yx x +=++，化简整理，可得1222110x y y x y y +++=①， 设直线PQ 为(0)x my n m =+≠，联立直线与椭圆方程22143x my n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简整理，可得222(34)63120m y mny n +++-=，∆222224364(34)(312)0b ac m n m n =-=-+->，可得2234n m <+②，由韦达定理，可得21212226312,3434mn n y y y y m m -+=-=++③， 将11x my n =+，22x my n =+代入①，可得12122(1)()0my y n y y +++=④， 再将③代入④，可得2226(4)6(1)3434m n mn n m m -+=++，解得4n =-，PQ ∴的方程为4x my =-，由点(1,0)F -到直线PQ的距离d =，11||2F QRSQR d =⋅= 由②可得，23416m +>，即24m >，设()f m =24m t -=，0t >，()f t ∴= 由均值不等式可知，25625692996t t t t+⋅=， 当且仅当2569t t =时，即163t =，等号成立，当2569t t+取最小值时，()f t 取最大值，即1FQR 面积S 最大，∴()18max f t =， ∴△1FQR 面积S2．（2022·重庆市第十一中学校高三月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为点与右焦点的连线构成正三角形． （△）求椭圆C 的标准方程；（△）设过点(0,2)P -的动直线l 与椭圆C 相交于M ,N 两点，当OMN ∆的面积最大时，求l 的方程． 【答案】（△）2214x y +=；（△）2y -或2y =-． 【分析】（△）由题意知，c =c a =222b a c =-，即可求得椭圆的方程； （△）设直线:2l y kx =-，()11,M x y ，()22,N x y ，联立22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()221416120k x kx +-+=，利用韦达定理，弦长公式结合OMN的面积公式得到OMNS =，利用换元结合基本不等式求解. 【详解】（△）由题意知，c =cos 6c a π==， 2a ∴=，2221b a c =-=所以椭圆的方程为2214x y +=．（△）当l x ⊥轴时不合题意，由题意设直线:2l y kx =-，()11,M x y ，()22,N x y ． 联立22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()221416120k x kx +-+=． 当()216430k ∆=->，即234k >，且1221614k x x k +=-+，1221214x x k =+．从而12||MN x-=．又点O 到直线MN的距离d =所以OMN 的面积1||2OMNSd MN =⋅=t ，则0t >，24444OMNt St t t==++．因为44t t +≥，当且仅当2t =，即2k =±时等号成立，且满足0∆>． 所以，当OMN 的面积最大时，直线l的方程为2y x =-或2y x =-． 【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．3．（2022·全国高三月考）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左､右焦点分别是()1F和)2F ，点Р在椭圆E 上，且12PF F △的周长是4+ （1）求椭圆E 的标准方程；（2）已知、、A B C 为椭圆E 上三点，若有0OA OB OC ++=，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）2214x y +=；（2【分析】（1）根据题设条件和椭圆的定义得到12124PF PF F F ++=+124PF PF +=，得到2a =，进而求得21b =，即可求得椭圆的方程；()2当直线AB 斜率存在时，设AB 方程为：y kx m =+，联立方程组求得1212,x x x x +，根据0OA OB OC ++=，求得2282(,)1414km m C k k -++，结合点到直线的距离公式和面积公式，求得3332ABCOABS S=⋅=；当直线AB 斜率不存在时，得到直线AB 方程为1x =±，求得332ABCABOS S==. 【详解】（1）由题意，双曲线2222:1xy E a b+=的焦点()1F 和)2F ，可得12F F =因为12PF F △的周长是4+12124PF PF F F ++=+所以124PF PF +=，即24a =，可得2a =，又由222431b a c =-=-=， 所以椭圆E 的方程是2214x y +=.()2当直线AB 斜率存在时，设AB 方程为：y kx m =+，()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，联立方程组2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得2221484()40k x kmx m +++-=，则22212122284416(41)0,,1414km m k m x x x x k k -∆=-+>+=-=++ 由0OA OB OC ++=，可得12312300x x x y y y ++=⎧⎨++=⎩，又由122814kmx x k +=-+，可得()12121222214m y y kx m kx m k x x m k +=+++=++=+ 所以332282,1414km m x y k k ==-++， 将()33,x y 代入椭圆方程可得222282441414km m k k ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，整理得22414m k =+， 又O 到直线AB的距离为d =则()2112OABSk =⋅+= 又由0OA OB OC ++=，可得点O 为ABC 的重心，所以3332ABCOABS S=⋅=； 当直线AB 斜率不存在时，根据坐标关系可得，直线AB 方程为1x =±，可得AB112ABOS ==所以13312ABC ABOSS==⨯综上可得：ABC S △. 【点睛】直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略：对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力．4．（2022·榆林市第十中学高三月考（理））已知1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x yE a b a b+=>>的左，右焦点，126F F =，当P 在E 上且1PF 垂直x 轴时，217PF PF =.（1）求E 的标准方程；（2）A 为E 的左顶点，B 为E 的上顶点，M 是E 上第四象限内一点，AM 与y 轴交于点C ，BM 与x 轴交于点D .（i ）证明：四边形ABDC 的面积是定值. （ii ）求CDM 的面积的最大值.【答案】（1）221123x y +=；（2）（i ）证明见解析；（ii ）())max 31CDM S =△.【分析】（1）由通径长公式得21b PF a=，结合椭圆定义可得,a b 关系，再由3c =求得,a b ，得椭圆方程；（2）（i ）由题意知()A -，(B ，设(),M m n ，()0,C t ，(),0D s ，由三点共线把,s t 用,m n 表示，然后计算四边形面积可得结论；（ii ）由（i ）只要ABM 面积最大即可，求出椭圆的与AB 平行的切线方程，切点即为M （注意有两个切点，需要确定其中一个），从而得面积最大值． 【详解】解：（1）由题意知21b PF a=，212PF PF a +=，217PF PF =，则182PF a =，得2a b =，又3c =，222a b c =+，解得2a b == 所以E 的标准方程是221123x y +=.（2）（i ）由题意知()A -，(B ，设(),M m n ，()0,C t ，(),0D s ，因为A ，C ，M 三点共线，则AC AM λ=，解得t =B ，D ，M 三点共线，则BD BM μ=，解得s =，AD s =+BC t =，221123m n +=，66AD BC st ⋅--+==6612m n +==. 162ABDC S AD BC =⋅=. （ii ）因为CDM ABM ABDC S S S =-四边形△△， 所以当ABM S △最大时，CDMS 最大.1:2AB l y x =AB 平行的直线()1:02l y x p p =+<， 与221123x y +=联立，消y 得222260x px p ++-=，()2244260pp ∆=--=，解得p =p =（舍去），两平行线AB l ，l间的距离25d =，())max1312ABM S AB d =⋅=△，则())max 31CDM S =△.5．（2022·山西祁县中学高三月考（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知(1,0)F ，动点P 到直线6x =的距离等于2||2PF +.动点P 的轨迹记为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）已知(2,0)A ，过点F 的动直线l 与曲线C 交于B ，D 两点，记AOB ∆和AOD ∆的面积分别为1S 和2S ，求12S S +的最大值．【答案】（1）221123x y +=；（2）3.【分析】（1）设点P (x ，y )，再根据动点P 到直线x ＝6的距离等于2|PF |＋2列出方程化简即可；（2）设直线l 的方程为x ＝my ＋1，联立直线与（1）中所得的椭圆方程，得出韦达定理，再得出S 1＋S 2＝12|OA ||y 1－y 2|关于m 的表达式，换元求解最值即可 【详解】(1)设点P (x ，y )，当6x ≥时，P 到直线x ＝6的距离显然小于PF ，故不满足题意； 故()62,6x x -=<，即4x -=整理得3x 2＋4y 2＝12，即24x ＋23y ＝1.故曲线C 的方程为24x ＋23y ＝1.(2)由题意可知直线l 的斜率不为0，则可设直线l 的方程为x ＝my ＋1，B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 整理得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，Δ>0显然成立， 所以y 1＋y 2＝－2634m m +，y 1y 2＝－2934m +， 所以|y 1－y 2|故S 1＋S 2＝12|OA ||y 1|＋12|OA ||y 2|＝12|OA ||y 1－y2|.设t t ≥1，则m 2＝t 2－1，则S 1＋S 2＝21231tt +＝1213t t+. 因为t ≥1，所以3t ＋1t≥4(当且仅当t ＝1时，等号成立)．故S 1＋S 2＝1213t t+≤3， 即S 1＋S 2的最大值为3.6．（2022·西藏拉萨中学高三月考（理））（1）一动圆过定点(1,0)A ，且与定圆22:(1)16C x y ++=相切，求动圆圆心的轨迹E 的方程．（2）直线l 经过点A 且不与x 轴重合，l 与轨迹E 相交于P 、Q 两点，求CPQ ∆的面积的最大值．【答案】（1）22143x y +=；（2）3. 【分析】（1）设动圆圆心为(),M x y ，半径为R ．由与定圆22:(1)16C x y ++=相切，且点A 的圆C 内，由||44||MC R MA =-=-，即||||4MC MA +=，利用椭圆的定义求解；（2）设l 的方程为：1x my -=，代入22143x y +=，由121||2CPQSCA y y =⋅-，结合韦达定理求解. 【详解】（1）设动圆圆心为(),M x y ，半径为R ．定圆C 的圆心(1,0)C -，半径为4. 点A 的圆C 内．||44||||||4MC R MA MC MA ∴=-=-∴+=，且4AC > ，∴轨迹E 是以C 、A 为焦点，长轴长为4的椭圆，所以椭圆方程为：22143x y +=. （2）设l 的方程为：1x my -=，代入22143x y +=， 得()2234690m y my ++-=，设()()1122,,P x y Q x y ⋅， 则122634m y y m -+=+，122934y y m -=+，121||2CPQSCA y y =⋅-，=令21(1)t m t =+，则1212CPQS=1()9f t t t=+在[1,)+∞为增函数1t ∴=，即0m =时，CPQ S △取最大值3.7．（2022·山东高三模拟预测）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点F 与抛物线28y x =的焦点重合，一条渐近线的倾斜角为30o ． （1）求双曲线C 的方程；（2）经过点F 的直线与双曲线的右支交与,A B 两点，与y 轴交与P 点，点P 关于原点的对称点为点Q ，求证：QABS>【答案】（1）2213x y -=；（2）证明见解析．【分析】（1）由题意可得2c =，o tan 30b a ==222c a b =+可求出22,a b ，从而可求出双曲线C 的方程； （2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为：()2y k x =-，可得()02P k -，，()02Q k ，，将直线方程与双曲线方程联立方程组，消去y ，利用根与系数的关系，从而可表示出()()2222248131QABk k Sk +=-，再由直线与双曲线的右支交与,A B 两点，可得231k >，则2310t k =->，代入上式化简可求得结果 【详解】解：（1）由题意得2c =，o tan 30b a ==222c a b =+ 解得2231a b ==，所以双曲线C 的方程为：2213x y -=（2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为：()2y k x =-，得()02P k -，，()02Q k ，， 设()11A x y ，，()22B x y ，，联立()22132x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，整理可得()222231121230k x k x k --++=21221231k x x k +=-，212212331k x x k +⋅=- 所以1212QABQPB QPASSSPQ x x =-=-122k x x =- 所以()()2222221212224123124443131QABk k Sk x x x x k k k ⎡⎤+⎛⎫⎡⎤⎢⎥=+-=- ⎪⎣⎦--⎢⎥⎝⎭⎣⎦2()()222248131k k k+=-直线与双曲线右支有两个交点，所以22121222121230,03131k k x x x x k k ++=>⋅=>-- 所以231k >，设2310t k =->，()2221111645334813QABt t St t t ++⎛⎫⋅+⎪⎛⎫⎝⎭==++ ⎪⎝⎭2641564251633383643t ⎛⎫=+->⨯-=⎪⎝⎭所以QAB S >【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是将直线方程与双曲线方程联立后，利用根与系数的有关系，从而可表示出()()2222248131QABk k S k+=-，再结合231k >，换元后求其最小值即可，考查计算能力，属于中档题 8．（2022·全国高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两个焦点分别为()12,0F -，()22,0F，点(P 在双曲线C 上．（1）求双曲线C 的方程；（2）记O 为坐标原点，过点()0,2Q 的直线l 与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，若OAB ∆的面积为求直线l 的方程．【答案】（1）22122x y -=；（2）2y =+和2y =+． 【分析】（1）根据焦点坐标，可得2c =，所以224a b +=，代入双曲线方程，可得()222221044x y a a a-=<<-，将P 点坐标代入，即可求得a 值，即可得答案；（2）设直线l 的方程为2y kx =+，与双曲线C 联立，可得关于x 的一元二次方程，利用韦达定理，可得1212,x x x x +的表达式，代入弦长公式，即可求得AB ，根据点到直线的距离公式，可求得原点到直线l 的距离d ，代入面积公式，结合题意，即可求得k 的值，即可得答案. 【详解】（1）依题意，2c =，所以224a b +=，则双曲线C 的方程为()222221044x y a a a-=<<-，将点P 代入上式，得22252314a a -=-， 解得250a =(舍去)或22a =， 故所求双曲线的方程为22122x y -=．（2）依题意，可设直线l 的方程为2y kx =+，代入双曲线C 的方程并整理，得()221460k x kx ---=．因为直线l 与双曲线C 交于不同的两点,A B ，所以()22210(4)2410k k k ⎧-≠⎪⎨-+->⎪⎩，解得1k k ≠±⎧⎪⎨<⎪⎩(*) 设()()1122,,,A x y B x y ，则12122246,11k x x x x k k +==---，所以||AB =又原点O 到直线l 的距离d =所以11||22OABSd AB =⋅==．又OABS=1=，所以4220k k --=，解得k =(*)．故满足条件的直线l 有两条，其方程分别为2y =+和2y =+． 【点睛】解题的关键是熟练掌握弦长公式、点到直线的距离公式等知识，并灵活应用，易错点为：解得k 值，需检验是否满足判别式0∆>的条件，考查计算化简的能力，属中档题.9．（2022·全国高三专题练习）已知双曲线22:1164x y C -=的左、右焦点分别为1F ，2F ． （1）求与双曲线C 有共同渐近线且过点()2,3的双曲线标准方程； （2）若P 是双曲线C 上一点，且12150F PF ∠=︒，求12F PF △的面积．【答案】（1）221832y x -=；（2）8-【分析】（1）根据题意，设所求双曲线方程为22(0)164x y k k -=≠，代入点()2,3，求得k 值，即可得答案； （2）不妨设P 在C 的右支上，根据双曲线定义，可得1228PF PF a -==，根据方程可得12F F 的值，在12F PF △中，利用余弦定理可得12PF PF 的值，代入面积公式，即可求得答案. 【详解】（1）因为所求双曲线与22:1164x y C -=共渐近线，所以设该双曲线方程为22(0)164x y k k -=≠， 又该双曲线过点()2,3， 所以49164k -=，解得k =-2， 所以所求双曲线方程为：221832y x -=（2）不妨设P 在C 的右支上，则1228PF PF a -==，122F F c == 在12F PF △中，2222121212121212()280cos15022PF PF F F PF PF PF PF PF PF PF PF +--+-︒===解得1232PF PF =- 所以12F PF △的面积1212111sin (328222F P S F PF PF ∠==⨯-⨯=-【点睛】解题的关键是：掌握共渐近线的双曲线方程的设法，即与22221x y a b-=共渐近线的方程可设为：2222(0)x y k k a b -=≠；与22221x y a b -=共焦点的方程可设为：22221x y a b λλ-=+-，再代入点求解即可，考查分析计算的能力，属中档题.10．（2022·浙江高三开学考试）已知抛物线T ：()22y px p N +=∈和椭圆C ：2215x y +=，过抛物线T 的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，线段AB 的中垂线交椭圆C 于M ，N 两点．（1）若F 恰是椭圆C 的焦点，求p 的值；（2）若MN 恰好被AB 平分，求OAB 面积的最大值． 【答案】（1）4p =；（2【分析】（1）根据椭圆方程求出椭圆的焦点坐标，再根据F 恰是椭圆C 的焦点，即可得出答案；（2）设直线l ：2p x my =+，()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y M x y N x y ，联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，求得AB 的中点坐标，根据因为MN 恰好被AB 平分，则直线MN 的斜率等于m -，再根据点差法求得直线MN 的斜率，求得2m ，根据由AB 的中点在椭圆内，求得p 的最大值，从而可求得OAB 面积的最大值． 【详解】解：（1）在椭圆中，2224c a b =-=，所以2c =， 因为F 恰是椭圆C 的焦点， 所以22p=，所以4p =； （2）设直线l ：2px my =+，()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y M x y N x y ， 联立222p x my y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得2220y mpy p --=， 则212122,y y mp y y p +=⋅=-，则2122x x m p p +=+，故AB 的中点坐标为2,2p m p mp ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，又因为MN 恰好被AB 平分，则2342x x m p p +=+，342y y mp +=，直线MN 的斜率等于m -，将M 、N 的坐标代入椭圆方程得：223315x y +=，224415x y +=， 两式相减得：()()()()3434343405x x x x y y y y +-++-=， 故234342110y y m x x m-+=--， 即直线MN 的斜率等于22110m m+-， 所以22110m m m+-=-，解得218m =， 由AB 的中点在椭圆内，得2222()15p m p mp ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+<，解得26413p <， 因为p Z ∈，所以p 的最大值是2，12y y -== 则OAB面积212122p S y y p =⨯-==≤， 所以，当2p =时，OAB ． 11．（2022·普宁市第二中学高三月考）在平面直角坐标系xOy 中，原点为O ，抛物线C 的方程为24x y =，线段AB 是抛物线C 的一条动弦．（1）求抛物线C 的准线方程；（2）求=4OA OB ⋅-，求证：直线AB 恒过定点；（3）过抛物线的焦点F 作互相垂直的两条直线1l 、2l ，1l 与抛物线交于P 、Q 两点，2l 与抛物线交于C 、D 两点，M 、N 分别是线段PQ 、CD 的中点，求FMN 面积的最小值．【答案】（1）准线方程：1y =-；（2）直线AB 恒过定点()0,2，证明见解析；（3）4．【分析】（1）由焦点在y 轴正半轴上，且2p =，即可得准线方程；（2）设直线AB 方程为y kx b =+，与抛物线方程联立由韦达定理和向量数量积的坐标运算，解方程可得b 的值，即可得所过的定点；（3）设1l 的方程为1y kx =+，()33,P x y ，()44,Q x y ，与抛物线方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式求M 、N 两点坐标，由两点间距离公式求FM 、FN 的长，再计算12FMN SFM FN ，由基本不等式求最值即可求解.【详解】 （1）由24x y =可得：2p =，焦点为()0,1F ，所以准线方程：1y =-，（2）设直线AB 方程为y kx b =+，()11,A x y ，()22,B x y由24y kx b x y=+⎧⎨=⎩得2440x kx b --=， 所以124x x k +=，124x x b =-，222121212124416x x OA OB x x y y x x b b ⋅=+=+=-+=-， 即2440b b -+=，解得：2b =所以直线2y kx =+过定点()0,2（3）()0,1F ，由题意知直线1l 、2l 的斜率都存在且不为0，设直线1l 的方程为1y kx =+，()33,P x y ，()44,Q x y ，则直线2l 的方程为11y x k=-+， 由241x y y kx ⎧=⎨=+⎩得2440x kx --=， 所以344x x k +=，344x x =-，所以()34122M x x x k =+=，2121M M y kx k =+=+，所以()22,21M k k + 用1k -替换k 可得2N x k =-，221N y k =+，所以222,1N k k⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，所以12FMN S FM FN ====224≥=⨯=，当且仅当221k k =即1k =±时，等号成立， 所以FMN 的面积取最小值4．【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．。
高中数学圆锥曲线高考题说题比赛课件新人教版-PPT课件共40页文档
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
Байду номын сангаас
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
高中数学圆锥曲线高考题说题比赛课 件新人教版-PPT课件
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
高中数学 圆锥曲线高考题说题比赛课件 新人教版40页PPT
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。—孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
40
高中数学 圆锥曲线高考题说题比赛课 件 新人教版
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
2024圆锥曲线说课稿范文
2024圆锥曲线说课稿范文今天我说课的内容是《2024圆锥曲线》，下面我将就这个内容从以下几个方面进行阐述。
一、说教材1、《2024圆锥曲线》是高中数学必修二中的一节重要知识点。
它是在学生已经学习了初等数学基本知识的基础上进行教学的，是高中数学中的重要知识点，而圆锥曲线在自然科学和工程领域有着广泛的应用。
2、教学目标根据新课程标准的要求以及教材的特点，结合学生现有的数学基础，我制定了以下三点教学目标：①认知目标：理解圆锥曲线的定义、基本性质和在实际问题中的应用。
②能力目标：掌握圆锥曲线的方程表示、图形性质和特殊曲线的特点。
③情感目标：在圆锥曲线的学习中，培养学生对数学的兴趣和思维能力的发展。
二、说教法学法为了让学生更好地理解和掌握圆锥曲线的知识，我将采用以下教法：1、导入法：通过实例引发学生对圆锥曲线的兴趣，激发学生的学习欲望。
2、讲授法：通过讲解和示范，向学生传授圆锥曲线的定义、基本性质和特殊曲线的特点。
3、实践法：通过练习和实际应用，让学生进行动手操作和思维拓展，提高学生的应用能力和解决问题的能力。
三、说教学准备在教学过程中，我将准备多媒体教学工具，如投影仪和电脑，以展示图形和示范操作。
同时，还将准备课件和讲义，以便学生参考和复习。
四、说教学过程根据教学设计，我将进行以下教学环节：环节一、导入引入，激发学习兴趣。
在课堂开始前，我将设计一个有趣的实例，如“你有没有想过为什么月亮上有坑坑洼洼的表面？”通过这个问题，引发学生对圆锥曲线的好奇心和想象力，并激发他们对本节课内容的兴趣。
环节二、讲解基本概念和性质。
在引入后，我将依次讲解圆锥曲线的定义、基本性质和特殊曲线的特点。
通过图示和实例，让学生对圆锥曲线的形状和性质有更直观的认识。
环节三、示范操作和实践应用。
为了让学生更好地理解和掌握圆锥曲线的知识，我将进行示范操作和实践应用。
通过实例的解析和练习题的讲解，让学生在实际操作中掌握圆锥曲线的方程表示和图形性质，并能应用到实际问题中解决。
第22讲 圆锥曲线解答题中的弦长面积问题3种常考题型(解析版)-2024高考数学常考题型
第22讲圆锥曲线解答题中的弦长面积问题3种常考题型【考点分析】考点一：弦长公式设)(11y x M ，，)(22y x N ，根据两点距离公式221221)()(||y y x x MN -+-=．注意：①设直线为y kx m =+上，代入化简，得212||1MN k x x =+-;②设直线方程为m ty x +=，代入化简，得212||1MN t y y =+-③a k MN '∆+=21，其中∆为直线与圆锥曲线联立后得到的一元二次方程的判别式，a '为二次项系数考点二：三角形的面积处理方法①⨯=∆21S 底·高（通常选弦长做底，点到直线的距离为高）②⨯=∆21S 水平宽·铅锤高D E x x AB -⨯=21或E A y y CD S -⨯=∆21③在平面直角坐标系xOy 中，已知OMN △的顶点分别为(00)O ，，11()M x y ，，22()N x y ，，三角形的面积为122112S x y x y =-．考点三：四边形面积处理方法①若四边形对角线AC 与BD 相互垂直，则BD AC S ABCD ⋅=21四边形②将四边形面积转化为三角形面积进行解决【题型目录】题型一：求弦长及范围问题题型二：三角形面积及范围问题题型三：四边形面积及范围问题【典型例题】题型一：求弦长及范围问题【例1】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22且经过点(2，1)，直线l 经过()01P ，，且与椭圆C相交于AB 、两点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)当3AB =，求此时直线l 的方程；【例2】已知椭圆()2210x y a b a b+=>>的离心率为12，且点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)过椭圆右焦点2F 作两条互相垂直的弦AB 与CD ，求AB CD +的取值范围.【例3】已知椭圆2210a b a b+=>>（）的左焦点1(1,0)F -，长轴长与短轴长的比是2．(1)求椭圆的方程；(2)过1F 作两直线,m n 交椭圆于,,,A B C D 四点，若m n ⊥，求证：11AB CD+为定值．4+【题型专练】1．椭圆C：()222210x y a ba b+=>>左右焦点为1F，2F1,2M⎛⎫⎪⎪⎝⎭在椭圆C上．(1)求椭圆C的标准方程；(2)经过点()2,3A，倾斜角为π4直线l与椭圆交于B，C两点，求BC．2.已知椭圆1C：()222210x y a ba b+=>>过点M⎝且与抛物线2C：22y px=有一个公共的焦点()1,0F．(1)求椭圆1C与抛物线2C的方程；(2)过点F的直线l与椭圆1C交于A，B两点，与抛物线2C交于C，D两点．是否存在这样的直线l，使得=若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．2AB CD3.已知椭圆22:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，且过点(2,1)P -．(1)求C 的方程；(2)若,A B 是C 上两点，直线AB 与圆222x y +=相切，求AB 的取值范围．4.已知椭圆()2222:10x yE a ba b+=>>，1F，2F分别为左右焦点，点(1P，2P-⎛⎝⎭在椭圆E上.(1)求椭圆E的离心率；(2)过左焦点1F且不垂直于坐标轴的直线l交椭圆E于A，B两点，若AB的中点为M，O为原点，直线OM交直线3x=-于点N，求1ABNF取最大值时直线l的方程.题型二：三角形面积及范围问题【例1】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221(0)x ya b a b+=>>与椭圆22198x y +=有相同的焦点1F ，2F ，且右焦点2F ．(1)求椭圆E 的方程；(2)若过椭圆E 左焦点1F ，且斜率为1的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，求2F MN 的面积．【例2】已知椭圆E 的中心为坐标原点O ，对称轴分别为x 轴、y 轴，且过(1,0)A -，(,1)2B -两点．(1)求E 的方程；(2)设F 为椭圆E 的一个焦点，M ，N 为椭圆E 上的两动点，且满足0MN AF ⋅=，当M ，O ，N 三点不共线时，求△MON 的面积的最大值．【例3】已知椭圆W ：()222210x y a b a b +=>>的离心率2e =，短轴长为2．(1)求椭圆W 的标准方程；(2)设A 为椭圆W 的右顶点，C ，D 是y 轴上关于x 轴对称的两点，直线AC 与椭圆W 的另一个交点为B ，点E 为AB 中点，点H 在直线AD 上且满足CH OE ⊥（O 为坐标原点），记AEH △，ACD 的面积分别为1S ，2S ，若1325S S =，求直线AB 的斜率．【例4】已知椭圆22:1(0)C a b a b +=>>，过右焦点的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，且当l x ⊥轴时，MN =(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 的斜率存在且不为0，点,M N 在x 轴上的射影分别为,P Q ，且()04,,,R y N P 三点共线，求证：RMN 与RPQ 的面积相同.【点睛】关键点点睛：联立直线与曲线的方程得到韦达定理是常用和必备的步骤点到直线的距离即可求解面积以及长度以及最值，最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解借助于向量以及两点斜率公式.【例5】已知椭圆222:1(13)9x y C b b+=<<的上､下顶点分别为,A B ，点(),1(0)P t t >在椭圆内，且直线,PA PB分别与椭圆C 交于,E F 两点，直线EF 与y 轴交于点Q ．已知tan 3tan PAB PBA ∠∠=．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设AQE 的面积为1,S BQF 的面积为2S ，求12S S 的取值范围．【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆方程联立的综合应用，本题的关键是计算繁琐，尤其求点坐标和直线EF的方程时，注意化简的准确性【题型专练】1.已知椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的左，右焦点分别为1F，2F，焦距为12Q⎫-⎪⎭在C上.(1)P是C上一动点，求12PF PF⋅的范围；(2)过C的右焦点2F，且斜率不为零的直线l交C于M，N两点，求1F MN△的内切圆面积的最大值.π2．已知O 为坐标原点，点(M N 皆为曲线Γ上点，P 为曲线Γ上异于,M N 的任意一点，且满足直线PM 的斜率与直线PN 的斜率之积为12-.(1)求曲线Γ的方程：(2)设直线l 与曲线Γ相交于,A B 两点，直线,,OA l OB 的斜率分别为12,,k k k （其中0k >），OAB 的面积为(0)S S ≠，以,OA OB 为直径的圆的面积分别为1S 、2S ，若12,,k k k 范围.进而可得所以22212121211()()()m m m k k k k km x x x x x x =++=+++，所以2121211()0m km x x x x ++=，即22112120x x m km x x x x +⋅+=，即有22(21)0k m -=，又因为0k >，0S ≠，所以0m ≠，2210k -=，解得22k =，所以22||22S m m =⋅⋅-，所以22222222121212121223π(||2)3π6||26||22()2ππ222[(1)(1)]22424222m m S m m m m x x x x x x x x S S ⋅⋅-⋅-⋅-===++-+⋅++⋅+++22422||221(1)1m m m m m =⋅-=-=--≤，当1m =±时取等号.又因为2221k m +>，即202m <<，所以2201(1)1m <--≤，即123π(0,1]22SS S ∈+.【点睛】方法点睛：对于解答直线与圆锥曲线问题的题，常用的方程是设而不解，联立直线方程与圆锥曲线方程，再利用韦达定理、弦长公式进行解答即可.3.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的长轴为4，离心率为22(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，过点()4,0P 的直线l 与C 交于A ，B ，过A ，B 作直线1l ：x t =的垂线，垂足分别为M ，N ，记 AMP ，MNP △，BNP △的面积分别为1S ，2S ，3S ，问：是否存在实数t ，使得1322S S S 为定值？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由24．已知椭圆22:1(0)C a b a b+=>>经过点且焦距为4，点,A B 分别为椭圆C 的左右顶点，点P 在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线,AP BP 的斜率分别为12,k k ，求12k k 的值；(3),M N 是椭圆C 上的两点，且,M N 不在坐标轴上，满足OM ∥AP ，ON ∥BP ，问MON △的面积是否是定值？如果是，请求出MON △的面积；如果不是，请你说明理由.5．已知圆1F：(2216x y+=，点2F，P是圆1F上的一个动点，线段2F P的中垂线l交1F P于点Q.(1)求点Q的轨迹C的方程；(2)若点()2,0A-，过点A的直线l与C交于点M，与y轴交于点N，过原点且与l平行的直线与C交于P、G两点，求()2PAN PAMAOPS SS⋅△△△的值.6.若椭圆2212211:1x y C a b +=与椭圆2222222:1x y C a b +=满足1122(0)a b m m a b ==>，则称这两个椭圆为“相似”，相似比为m .如图，已知椭圆1C 的长轴长是4，椭圆2C的离心率为2，椭圆1C 与椭圆2C(1)求椭圆1C 与椭圆2C 的方程；(2)过椭圆2C 左焦点F 的直线l 与1C 、2C 依次交于A 、C 、D 、B 四点.①求证：无论直线l 的倾斜角如何变化，恒有||||AC DB =.②点M 是椭圆2C 上异于C 、D 的任意一点，记MBD 面积为1S ，△MAD 面积为2S ，当1215S S =时，求直线l 的方程.7.已知椭圆C 的焦点在x 轴上，左右焦点分别为1F 、2F ，离心率2e =，P 为椭圆上任意一点，12PF F △的周长为6.(1)求椭圆C 的标准方程：(2)过点()4,0S 且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于Q ，R 两点，点Q 关于x 轴的对称点为1Q ，过点Q 1与R 的直线交x 轴于T 点，试问TRQ △的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值：若不存在，请说明理由（5）代入韦达定理求解.题型三：四边形面积及范围问题【例1】已知椭圆C ：22x a ＋22y b＝1，过A (2，0)，B (0，1)两点.(1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求四边形ABNM 的面积.【例2】设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左焦点为F ，上顶点为P ，离心率为2，O 是坐标原点，且OP FP ⋅=(1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 作两条互相垂直的直线，分别与C 交于A ，B ，M ，N 四点，求四边形AMBN 面积的取值范围.【例3】椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>经过点()1,1E 且离心率为2；直线l 与椭圆1C 交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过原点.(1)求椭圆1C 的方程；(2)若过原点的直线m 与椭圆1C 交于,C D 两点，且()OC t OA OB =+，求四边形ACBD 面积的最大值.【例4】在平面直角坐标系Oxy 中，动圆P 与圆22145:204C x y x ++-=内切，且与圆2223:204C x y x +-+=外切，记动圆P 的圆心的轨迹为E .(1)求轨迹E 的方程；(2)不过圆心2C 且与x 轴垂直的直线交轨迹E 于,A M 两个不同的点，连接2AC 交轨迹E 于点B .（i ）若直线MB 交x 轴于点N ，证明：N 为一个定点；（ii ）若过圆心1C 的直线交轨迹E 于,D G 两个不同的点，且AB DG ⊥，求四边形ADBG 面积的最小值.数的知识进行求解.【题型专练】1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，离心率为12，其左右焦点分别为1 F ，2F ，点(1,1)A -在椭圆内，P 为椭圆上一个动点，且1||PF PA +的最大值为5．(1)求椭圆C 的方程；(2)在椭圆C 的上半部分取两点M ，N （不包含椭圆左右端点），且122F M F N =，求四边形12F F NM 的面积．【点睛】关键点睛：解答本题的关键是把四边形这样便可以利用公式求三角形的面积了.2．已知()2222:10x y C a b a b +=>>的上顶点到右顶点的距离为2，右焦点为F ，过点F 的直线（不与x 轴重合）与椭圆C 相交于A 、B 两点，直线:2l x =与x 轴相交于点H ，过点A 作AD l ⊥，垂足为D ．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)①求四边形OAHB （O 为坐标原点）面积的取值范围；②证明直线BD过定点E，并求出点E的坐标．3．已知过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭的椭圆C ：()2210x ya b a b+=>>上的点到焦点的最大距离为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知过椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 的切线方程为00221xx yy a b +=.已知点M 为直线4x =-上任意一点，过M 点作椭圆C 的两条切线MA ，,,MB A B 为切点，AB 与OM （O 为原点）交于点D ，当MDB∠最小时求四边形AOBM 的面积.则有MDB DEO DOE ∠=∠+∠,∴0000343tan 431414AB ODAB ODy k k y y MDB k k y +⎛⎫-∠===+≥ ⎪+⎝⎭-当且仅当023y =时取等号，此时MDB ∠为锐角，同理根据对称性可求得00y <时023y =-，4.设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P ，Q 为椭圆C 上任意两点，且()110PF QF λλ=<，若2PQF 的周长为8，12PF F △面积的最大值为2．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 内切于矩形ABCD （椭圆与矩形四条边均相切），求矩形ABCD 面积的最大值．5．已知椭圆122:1(0)C a b a b+=>>的长轴长为4，离心率为12，一动圆2C 过椭圆1C 右焦点F ，且与直线1x =-相切．(1)求椭圆1C 的方程及动圆圆心轨迹2C 的方程；(2)过F 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆1C 于P ，Q 两点，交曲线2C 于M ，N 两点，求四边形PMQN 面积的最小值．x。
苏教版选修2《圆锥曲线》说课稿
苏教版选修2《圆锥曲线》说课稿一、教材分析1. 教材背景《圆锥曲线》是苏教版高中数学选修2的一部分，属于高中数学的选修课程，主要内容是圆锥曲线的基本知识和相关性质。
2. 教材特点•系统性强：本教材从基本概念开始，逐渐引入更加深入的内容，形成一个系统的学习框架。
•理论与实际结合：教材不仅重点讲解圆锥曲线的理论知识，还将这些知识与实际问题相结合，突出数学在实际应用中的重要性。
•画图辅助：教材中大量使用图示和实例，帮助学生理解和掌握圆锥曲线的性质。
•培养分析和解决问题的能力：本教材注重培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力，通过大量的例题和练习题提高学生的综合运用能力。
二、教学目标1. 知识与技能目标•了解圆锥曲线的基本概念和性质；•掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程及其性质；•学会解圆锥曲线的相关问题。
2. 过程与方法目标•培养学生的数学思维能力和逻辑推理能力；•注重引导学生理解和发现数学规律，提高其数学思考和解决问题的能力；•提供充分的实例和练习，鼓励学生进行实践操作和探索性学习。
3. 情感态度价值观目标•培养学生对数学的兴趣和热爱，提高数学学科的学习积极性；•培养学生的数学思想意识，能够运用数学知识解决实际问题；•培养学生的合作意识和创新精神，提高其团队合作和问题解决能力。
三、教学重点和难点1. 教学重点•圆锥曲线的基本定义和性质；•椭圆、双曲线、抛物线的方程及其性质。
2. 教学难点•理解椭圆、双曲线和抛物线的方程及其性质；•解决实际问题时如何应用圆锥曲线的知识。
四、教学过程与方法设计1. 教学过程安排时间段教学环节教学内容教学方法第1课时导入引入圆锥曲线的概念提问引导讲授椭圆的基本定义和性质讲授、示例分析第2课时讲授双曲线的基本定义和性质讲授、示例分析梳理椭圆与双曲线的对比示范导出、提问引导第3课时讲授抛物线的基本定义和性质讲授、示例分析综合运用圆锥曲线的应用实例小组讨论、展示第4课时练习巩固习题讲解与练习教师辅导、学生独立思考课堂总结总结圆锥曲线的重点知识教师点评、学生互动作业布置布置相关练习题布置写作任务2. 教学方法•提问引导：通过提问的方式，引导学生主动思考、发现问题，并激发学生的学习兴趣。
中学数学 圆锥曲线的弦长面积问题-拔高难度-讲义
圆锥曲线的弦长面积问题知识讲解一、弦长问题设圆锥曲线C ∶(),0f x y =与直线:l y kx b =+相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点， 则弦长AB 为：()2221212121141x AB k x x k x x x x k a∆=+-=++-=+()1212122221111141y AB y y y y y y k kk a∆=+-=++-=+或二、面积问题1.三角形面积问题直线AB 方程：y kx m =+ 0021kx y md PH k -+==+002211122a1x ABPkx y mS AB d k k ∆∆-+=⋅=+⋅+2.焦点三角形的面积直线AB 过焦点21,F ABF ∆112121212y ABF c S F F y y c y y a∆∆=⋅-=-=HOyxPBA3.平行四边形的面积直线AB 为1y kx m =+，直线CD 为2y kx m =+d CH ==12AB x =-=ABCDSAB d =⋅==三、范围问题方法：首选均值不等式或对勾函数，其实用二次函数配方法，最后选导数思想 均值不等式 ：222(,)a b ab a b R +≥∈变式：2,);()(,)2a b a b a b R ab a b R ++++≥∈≤∈ 作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一”正“二”定“三”相等圆锥曲线经常用到的均值不等式形式：1）2226464t S t t t==++（注意分0,0,0t t t =><三种情况讨论） 2）224222121212333196123696k AB t k k k=+=+≤+++⨯+++当且仅当2219k k =时，等号成立3）222002200259342593464925y x PQ x y =+⋅+⋅≥+ 当且仅当22002200259259925y x x y ⋅=⋅时等号成立. 4）2282m m S -+===当且仅当228m m =-+时，等号成立 5）2221121k m m S -++==≤=当且仅当221212k m +=时等号成立.经典例题一．选择题（共1小题）1．（2018•洛阳三模）已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与椭圆交于A 、B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则离心率为 （ ）A ．√22B ．2﹣√3C ．√5﹣2D ．√6﹣√3【解答】解：如图，设|F 1F 2|=2c ，|AF 1|=m ， 若△ABF 1构成以A 为直角顶点的等腰直角三角形， 则|AB |=|AF 1|=m ，|BF 1|=√2m ， 由椭圆的定义可得△ABF 1的周长为4a ， 即有4a=2m +√2m ，即m=2（2﹣√2）a ， 则|AF 2|=2a ﹣m=（2√2﹣2）a ， 在直角三角形AF 1F 2中， |F 1F 2|2=|AF 1|2+|AF 2|2，即4c 2=4（2﹣√2）2a 2+4（√2﹣1）2a 2， ∴c 2=（9﹣6√2）a 2，则e 2=c 2a 2=9﹣6√2=9−2√18，∴e=√6−√3． 故选：D ．二．填空题（共1小题）2．（2018•南关区校级模拟）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3x +4y +6=0与圆x 2+（y ﹣b ）2=a 2相切． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）已知过椭圆C 的左顶点A 的两条直线l 1、l 2分别交椭圆C 于M 、N 两点，且l 1⊥l 2，求证：直线MN 过定点，并求出定点坐标； （III ）在（Ⅰ）的条件下求△AMN 面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意{a =2b 4b+65=a ∴{a =2b =1即C ：x 24+y 2=1．（Ⅰ）证明：∵A （﹣2，0），设l 1：x=my ﹣2（m ≠0），l 2：x =−1m y −2，由{x =my −2x 2+4y 2−4=0得（m 2+4）y 2﹣4my=0 ∴M(2m 2−8m 2+4，4m m 2+4)，同理：N(2−8m 24m 2+1，−4m4m 2+1)①m ≠±1时，k MN =5m 4(m 2−1)，l MN ：y =5m 4(m 2−1)(x +65)，过定点(−65，0)； ②m=±1时，l MN ：x =−65，也过定点(−65，0)，所以直线MN 过定点(−65，0)．（III ）由（Ⅰ）知S △AMN =25|4m m 2+4+4m4m 2+1|=8|m 3+m4m 4+17m 2+4|=8|m+1m |4(m+1m)2+9=84t+9t，t =|m +1m |≥2且m =±1时取等号，∴S △≤1625且m =±1时取等号，∴S △max =1625．三．解答题（共11小题）3．（2018•西宁二模）若椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx 的焦点F 内分成了3：1的两段． （1）求椭圆的离心率；（2）过点C （﹣1，0）的直线l 交椭圆于不同两点A 、B ，且AC →=2CB →，当△AOB 的面积最大时，求直线l 和椭圆的方程．【解答】解：（1）由题意知，c +b 2=3（c ﹣b2），…（2分）∴b=c ，∴a 2=2b 2，…（3分）∴e=c a =√1−(b a )2=√22．…（5分）（2）设直线l ：x=ky ﹣1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， ∵AC →=2CB →，∴（﹣1﹣x 1，﹣y 1）=2（x 2+1，y 2），即2y 2+y 1=0，①…（7分） 由（1）知，a 2=2b 2，∴椭圆方程为x 2+2y 2=2b 2，由{x =ky −1x 2+2y 2=2b2，消去x ，得（k 2+2）y 2﹣2ky +1﹣2b 2=0，∴y 1+y 2=2kk 2+2，…② y 1y 2=1−2b2k 2+2，…③由①②知，y 2=−2k k 2+2，y 1=4kk 2+2，…（9分） ∵S △AOB =12|y 1|+12|y 2|=12|y 1−y 2|，∴S=3•|k|k +2=3•12|k|+k ≤3•2√|k|⋅|k|=3√24，…（11分）当且仅当|k |2=2，即k=±√2时取等号，此时直线的方程为x=√2y −1或x=√2y −1．…（12分） 又当|k |2=2时，y 1y 2=−2k k 2+2⋅4kk 2+2=﹣2k 2(k +2)=﹣1， ∴由y 1y 2=1−2b2k 2+2，得b 2=52，∴椭圆方程为x 25+y 252=1．…（14分）4．（2018•河南模拟）设O 是坐标原点，F 是抛物线x 2=2py （p ＞0）的焦点，C 是该抛物线上的任意一点，当FC →与y 轴正方向的夹角为60°时，|OC →|=√21． （1）求抛物线的方程；（2）已知A （0，p ），设B 是该抛物线上的任意一点，M ，N 是x 轴上的两个动点，且|MN |=2p ，|BM |=|BN |，当|AM||AN|+|AN||AM|取得最大值时，求△BMN 的面积．【解答】解：（1）设点C （x o ，y 0），则由抛物线的定义得|FC →|=y 0+p 2，当FC →与y 轴正方向的夹角为60°时，2(y 0−p 2)=y 0+p2， 即y 0=3p2；又|OC →|=√x 02+y 02=√2py 0+y 02=√212p =√21， 解得p=2，所以抛物线的方程为x 2=4y ； （2）因为|BM |=|BN |，所以点B 在线段MN 的中垂线上， 设点B （x 1，y 1），则M （x 1﹣2，0），N （x 1+2，0）， 又A （0，2），所以|AM |=√(x 1−2)2+4， |AN |=√(x 1+2)2+4，则|AM||AN|+|AN||AM|=|AM|2+|AN|2|AM|⋅|AN|=12√64+x 14=1√64+16y 12=1√4+y 12， 所以|AM||AN|+|AN||AM|=2⋅√4+y 12+4y 1√4+y 12≤2⋅√2(4+y 12)√4+y 12=2√2；当且仅当y 1=2时等号成立，此时x 12=4y 1=8；所以S △BMN =12|MN |•y 1=12×4×2=4．5．（2018•莆田二模）在平面直角坐标系xOy 中，点F 为椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0），的一个焦点，点B 1（0，﹣√3）为C 的一个顶点，∠OFB 1=π3．（1）求C 的标准方程；（2）若点M （x 0，y 0）在C 上，则点N （x 0a ，y 0b）称为点M 的一个“椭点”．直线l ：y=kx +m 与C 相交于A ，B 两点，且A ，B 两点的“椭点”分别为P ，Q ，以PQ 为直径的圆经过点O ，求△AOB 的面积．【解答】解：（1）由已知得：b=√3，在Rt △B 1OF 中，tan π3=bc=√3，解得c=1，又∵a 2=b 2+c 2，解得a=2．∴椭圆C 的方程为：x 24+y 23=1．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 3），则P (x 1213)，Q (x 2223)．又∵以PQ 为直径的圆经过坐标原点O ，得OP →•OQ →=0，即x 1x 24+y 1y 23=0，①由{y =kx +m x 24+y 23=1，消y 整理得，（3+4k 2）x 2+8kmx +4（m 2﹣3）=0，由△=64k 2m 2﹣16（3+4k 2）（m 2﹣3）＞0， 得3+4k 2﹣m 2＞0，而x 1+x 2=﹣8km3+4k 2，x 1x 2=4(m 2−3)3+4k 2，②∴y 1y 2=（kx 1+m ）（kx 2+m ）=k 2x 1x 2+mk （x 1+x 2）+m 2=3(m2−4k 2)3+4k ③联立①②③得，4(m 2−3)3+4k +3(m 2−4k 2)3+4k =0，即2m 2﹣4k 2=3，又∵|AB |=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2•√48(4k 2−m 2+3)3+4k 2，原点O 到直线l ：y=kx +m 的距离d=√2，∴S △OAB =12|AB |•d=12√1+k 2•√48(4k 2−m 2+3)3+4k 2•√2，把2m 2﹣4k 2=3代入上式得S △OAB =√3．6．（2018•烟台二模）己知椭圆C ：x 22+y 2b2=1(a ＞b ＞0)，点(3，√32)在椭圆上，过C 的焦点且与长轴垂直的弦的长度为13．（1）求椭圆C 的标准方程；．（2）过点A （﹣2，0）作两条相交直线l 1，l 2，l 1与椭圆交于P ，Q 两点（点P 在点Q 的上方），l 2与椭圆交于M ，N 两点（点M 在点N 的上方），若直线l 1的斜率为−17，S △MAP =2534s △NAQ ，求直线l 2的斜率．【解答】解：（1）由已知得：{ 9a 2+34b 2=12b 2a=13，…………………………（2分）解得a=6，b=1． 故椭圆C 的方程为x 236+y 2=1．………………………（4分）（2）由题设可知：l 1的直线方程为x=﹣7y ﹣2．联立方程组{x 236+y 2=1x =−7y −2，整理得：85y 2+28y ﹣32=0.y P =817，y Q =−45．…………………………（6分） ∴|AQ||AP|=|y Q ||y P |=45817=1710．…………………………………………（7分） ∵S △MAP =2534S △NAQ ，∴12|AM||AP|sinθ=2534×12|AN||AQ|sinθ，即|AM||AN|=2534×|AQ||AP|=2534×1710=54．…………………………………………（8分） 设l 2的直线方程为x=my ﹣2（m ≠0）． 将x=my ﹣2代入x 236+y 2=1得（m 2+36）y 2﹣4my ﹣32=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=4m2，y1y2=−322．……………………………………（10分）又∵y1=−54y2，∴y2=−16mm2+36，y22=1285(m2+36)．解得m2=4，∴m=±2．故直线l2的斜率为±12．………………………（12分）7．（2018•河南一模）已知椭圆C1：x2a+y2b=1（a＞b＞0）的离心率为√22，右焦点F是抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点，点（2，4）在抛物线C2上．（1）求椭圆C1的方程；（2）已知斜率为k的直线l交椭圆C1于A，B两点，M（0，2），直线AM与BM 的斜率乘积为﹣12，若在椭圆上存在点N，使|AN|=|BN|，求△ABN的面积的最小值．【解答】解：（1）∵点（2，4）在抛物线y2=2px上，∴16=4p，解得p=4，∴椭圆的右焦点为F（2，0），∴c=2，∵椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为√22，∴ca =√2 2，∴a=2√2，∴b2=a2﹣c2=8﹣4=4，∴椭圆C1的方程为x28+y24=1，（2）设直线l的方程为y=kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），由{y =kx +mx 2+2y 2=8，消y 可得（1+2k 2）x 2+4kmx +2m 2﹣8=0， ∴x 1+x 2=−4km 1+2k 2，x 1x 2=2m 2−81+2k 2，∴y 1+y 2=k （x 1+x 2）+2m=2m 1+2k 2，y 1y 2=k 2x 1x 2+km （x 1+x 2）+m 2=m2−8k 21+2k 2∵M （0，2），直线AM 与BM 的斜率乘积为﹣12，∴k 1•k 2=y 1−2x 1•y 2−2x 2=y 1y 2−2(y 1+y 2)+4x 1x 2=m−22(m+2)=﹣12，解得m=0，∴直线l 的方程为y=kx ，线段AB 的中点为坐标原点，由弦长公式可得|AB |=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√32(k 2+1)1+2k2，∵|AN |=|BN |，∴ON 垂直平分线段AB ，当k ≠0时，设直线ON 的方程为y=﹣1k x ，同理可得|ON |=12√32(1k 2+1)2×1k2+1=12√32(k 2+1)k 2+2， ∴S △ABN =12|ON |•|AB |=8√(k 2+1)2(k 2+2)(2k 2+1)， 当k=0时，△ABN 的面积也适合上式， 令t=k 2+1，t ≥1，0＜1t≤1， 则S △ABN =8√t 2(t+1)(2t−1)=8√1−1t 2+1t+2=8√1−(1t −12)2+94， ∴当1t =12时，即k=±1时，S △ABN 的最小值为163．8．（2018•长春三模）在平面直角坐标系中，已知圆C 1的方程为（x ﹣1）2+y 2=9，圆C 2的方程为（x +1）2+y 2=1，动圆C 与圆C 1内切且与圆C 2外切．（1）求动圆圆心C 的轨迹E 的方程；（2）已知P （﹣2，0）与Q （2，0）为平面内的两个定点，过（1，0）点的直线l 与轨迹E 交于A ，B 两点，求四边形APBQ 面积的最大值．【解答】解：（1）设动圆C 的半径为r ，由题意知|CC 1|=3﹣r ，|CC 2|=1+r 从而有|CC 1|+|CC 2|=4，故轨迹E 为以C 1，C 2为焦点，长轴长为4的椭圆，并去除点（﹣2，0）， 从而轨迹E 方程为x 24+y 23=1(x ≠−2)．（2）设l 方程为x=my +1，联立{x 24+y 23=1x =my +1，消去x 得（3m 2+4）y 2+6mx ﹣9=0，设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），有y 1+y 2=−6m 3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4，有|AB|=√1+m 212√1+m 23m 2+4=12(1+m 2)3m 2+4，点P （﹣2，0）到直线了的距离为√1+m 2，点Q （2，0）到直线了的距离为√1+m 2，从而四边形APBQ 的面积S =12×12(1+m 2)3m 2+4×4√1+m =24√1+m 23m 2+4 令t =√1+m 2，t ≥1，有S =24t 3t 2+1=243t+1t，由函数y =3t +1t 在[1，+∞）单调递增有3t +1t ≥4，故S =24t 3t 2+1=243t+1t≤6，四边形APBQ 面积的最大值为6．9．（2018•全国一模）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b＞0）的离心率为12，点M （1，32）在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）已知P （﹣2，0）与Q （2，0）为平面内的两个定点，过点（1，0）的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求四边形APBQ 面积的最大值．【解答】解：（I ）由c a =12可得，a=2c ，又因为b 2=a 2﹣c 2，所以b 2=3c 2所以椭圆C 方程为x 24c 2+y 23c 2=1，又因为M(1，32)在椭圆C 上，所以124c2+(32)23c =1 所以c 2=1，所以a 2=4，b 2=3，故椭圆方程为x 24+y 23=1． （II ）方法一：设l 的方程为x=my +1，联立{x 24+y 23=1x =my +1，消去x 得（3m 2+4）y 2+6my ﹣9=0，设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 有△＞0，y 1+y 2=−6m 3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4， |y 1﹣y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√(−6m 3m 2+4)2−4×−93m 2+4=12√m 2+13m 2+4所以S =12×4×12√m 2+1(3m 2+4)令t =√1+m 2，t ≥1， 有S =24t 3t 2+1=243t+1t，由函数y =3t +1t ，t ∈[1，+∞）y′=3−1t 2＞0，t ∈[1，+∞)故函数y =3t +1t ，在[1，+∞）上单调递增， 故3t +1t ≥4，故S =24t 3t 2+1=243t+1t≤6当且仅当t=1即m=0时等号成立， 四边形APBQ 面积的最大值为6．方法二：设l 的方程为x=my +1，联立{x 24+y 23=1x =my +1，消去x 得（3m 2+4）y 2+6my ﹣9=0，设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 有△＞0，y 1+y 2=−6m 2，y 1y 2=−92， 有|AB|=√1+m 212√1+m 23m 2+4=12(1+m 2)3m 2+4，点P （﹣2，0）到直线l 的距离为√1+m 2，点Q （2，0）到直线l 的距离为√1+m 2，从而四边形APBQ 的面积S =12×12(1+m 2)2×4√1+m =24√1+m 22， 令t =√1+m 2，t ≥1， 有S =24t 3t 2+1=243t+1t，函数y =3t +1t ，t ∈[1，+∞）y′=3−1t 2＞0，t ∈[1，+∞)故函数y =3t +1t ，在[1，+∞）上单调递增， 有3t +1t ≥4，故S =24t 3t 2+1=243t+1t≤6当且仅当t=1即m=0时等号成立，四边形APBQ 面积的最大值为6． 方法三：①当l 的斜率不存在时，l ：x=1， 此时，四边形APBQ 的面积为6．②当l 的斜率存在时，设l 为：y=k （x ﹣1），（k ≠0）y=k （x ﹣1）（k ≠0）则{x 24+y 23=1y =k(x −1)，∴（3+4k 2）x 2﹣8k 2x +4k 2﹣12=0，△＞0，x 1+x 2=8k 23+4k 2，x 1x 2=4k 2−123+4k2，∴|y 1−y 2|=|k(x 1−x 2)|=√k 2×[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=12×√k 2(k 2+1)(3+4k 2)2，∴四边形APBQ 的面积S =12×4×|y 1−y 2|=24×√k 2(k 2+1)(3+4k 2)2， 令 t=3+4k 2（t ＞3）t=3+4k 2（t ＞3）则 k 2=t−34 k 2=t−34S =6×√−3×(1t )2−2×1t +1，(0＜1t ＜13)．∴S =6×√−3×(1t)2−2×1t +1，(0＜1t ＜13)∴0＜S ＜6综上，四边形APBQ 面积的最大值为6．10．（2018•徐汇区一模）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0）的左，右焦点分别为F 1，F 2，且F 1，F 2与短轴的一个端点Q 构成一个等腰直角三角形，点P （√22，√32）在椭圆E 上，过点F 2作互相垂直且与x 轴不重合的两直线AB ，CD 分别交椭圆E 于A ，B ，C ，D 且M ，N 分别是弦AB ，CD 的中点 （1）求椭圆的方程（2）求证：直线MN 过定点R （23，0）（3）求△MNF 2面积的最大值．【解答】解：（1）∵椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）经过点P （√22，√32）且F 1，F 2与短轴的一个顶点Q 构成一个等腰直角三角形，则b=c ，a 2=b 2+c 2=2b 2， ∴12×2b 2+34b2=1，解得a 2=2，b 2=1， ∴椭圆方程为x 22+y 2=1；（Ⅰ）证明：设直线AB 的方程为x=my +1，m ≠0，则直线CD 的方程为x=﹣1my +1，联立{x =my +1x 22+y 2=1，消去x 得（m2+2）y 2+2my ﹣1=0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 1+y 2=﹣2m m +2，y 1y 2=﹣1m +2，∴x 1+x 2=（my 1+1）+（my 2+1）=m （y 1+y 2）+2=4m 2+2，由中点坐标公式得M （2m 2+2，﹣mm 2+2），方法一：将M 的坐标中的m 用﹣1m 代换，得CD 的中点N （2m 22m 2+1，m1+2m 2），k MN =3m2(m −1)，直线MN 的方程为y +mm 2+2=3m2(m 2−1)（x ﹣2m 2+2），即为y=m m 2−1（32x ﹣1），令32x ﹣1，可得x=23，即有y=0， 则直线MN 过定点R ，且为R （23，0），方法二：将M 的坐标中的m 用﹣1m 代换，得CD 的中点N （2m 22m +1，m1+2m ），则y +m m 2+2=3m 2(m 2−1)（x ﹣2m 2+2），整理得：2（m 4+m 2﹣2）y=（m 3+2m ）（3x ﹣2），∴直线MN 过定点R （23，0）方法三：则k MR =−mm 2+2−02m 2+2−2=3m 2(m 2−1)，则k NR =3×(−1m )2[(−1)2−1]=3m 2(m 2−1)， ∴k MR =k NR ，∴直线MN 过定点R （23，0）（3）方法一：△F 2MN 面积为S=12|F 2H |•|y M ﹣y N |，=12（1﹣23）•|﹣m m 2+2﹣m 1+2m 2|=12|m 3+m2m 4+5m 2+2|=12|m+1m 2(m 2+1m2)+5| 令m +1m =t （t ≥2），由于2t +1t 的导数为2﹣1t 2，且大于0，即有在[2，+∞）递增．即有S=12•t 2t +1=12•12t+1t在[2，+∞）递减，∴当t=2，即m=1时，S 取得最大值，为19；则△MNF 2面积的最大值为19方法二：|MF 2|=√(2m 2+2−1)2+(m m 2+2)2=√m 4+m 2m 2+2，|NF 2|=√(−1m )4+(−1m)2(−1m )2+2，则△MNF 2面积S=12×|MF 2|×|NF 2|=1m+m 4(m+1m)2+2，令m +1m=t （t ≥2），则S=t4t +2=14t+2t≤19，当且仅当t=2即m=1时，△MNF 2面积的最大值为19． ∴△MNF 2面积的最大值为19．11．（2018•红桥区二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√22，右顶点为A ，直线BC 过原点O ，且点B 在x 轴上方，直线AB 与AC 分别交直线l ：x=a +1于点E 、F ． （Ⅰ）若点B （√2，√3），求椭圆C 的方程；（Ⅰ）若点B 为动点，设直线AB 与AC 的斜率分别为k 1，k 2．①试探究：k 1•k 2是否为定值？若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由； ②求△AEF 的面积的最小值．【解答】解：（I ）由题意可得：c a =√22，2a 2+3b2=1，a 2=b 2+c 2，联立解得a 2=8，b=2=c ，∴椭圆C 的方程为：x 28+y 24=1．（II ）①k 1•k 2为定值．设B （x 0，y 0），C （﹣x 0，﹣y 0）.x 02a 2+y 02b2=1．由c a =√22，a 2=b 2+c 2，可得a 2=2b 2． 则k 1•k 2=y 0x 0−a •y 0x 0+a =y 02x 02−a =b 2(1−x 02a 2)x 02−a =﹣b 2a =﹣12．②设直线AB 的方程为：y=k 1（x ﹣a ），直线AC 的方程为：y=k 2（x ﹣a ）， 令x=a +1，则y E =k 1，y F =k 2，S △AEF =12|EF |×1=12|k 2﹣k 1|，由图形可得：k 1＜0，k 2＞0，k 1•k 2=﹣12．∴S △AEF =12（k 2﹣k 1）≥12×2√−k 1k 2=√22，当且仅当k 2=﹣k 1=√22时取等号．∴△AEF 的面积的最小值为√22．12．（2018•全国四模）已知点F （﹣1，0）及直线l ：x=﹣4，若动点P 到直线l 的距离d 满足d=2|PF |． （1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）若直线PF 交轨迹C 于另一点Q ，且PF →=2FQ →，以P 为圆心r=2|PQ |为半径的圆被直线l 截得的弦为AB ，求 |AB |．【解答】解：（1）设点P （x ，y ），由题意|x +4|=2√(x +1)2+y 2，两边平方并化简得，点P 的轨迹方程是C ：x 24+y 23=1；……4分（2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）， 由PF →=2FQ →，∴（﹣1﹣x 1，﹣y 1）=2（x 2+1，y 2）， ∴y 1=﹣y 2；当PQ 斜率为0或斜率不存在时不适合题意， 设PQ ：x=my ﹣1（m ≠0）， 由{x =my −13x 2+4y 2=12，消去x 得（3m 2+4）y 2﹣6my ﹣9=0，……………6分 由△=36m 2﹣4（3m 2+4）×（﹣9）＞0，且{y 1+y 2=6m 3m 2+4=−y2y 1y 2=−93m 2+4=−2y 22；…………………………8分 ∴(6m 3m 2+4)2•3m 2+4−9=﹣12，解得m 2=45； ∴|PQ|=|y 1−y 2|√1+m 2=12(1+m 2)3m 2+4=278，∴|PF |=23|PQ |=94，求得d=92，r =274；………………………10分设AB 中点为M ，则|AM|=√r 2−d 2=√(274)2−(92)2=9√54， ∴|AB|=9√52．…………12分13．（2018•乌鲁木齐一模）已知椭圆C ：x 2a +y 2b=1（a ＞b ＞0）的焦距为2，且过点（1，√22）．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）过点M （2，0）的直线交椭圆C 于A ，B 两点，P 为椭圆C 上一点，O 为坐标原点，且满足OA →+OB →=t OP →，其中T ∈（2√63，2），求|AB |的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）依题意，有{a 2=b 2+11a 2+12b 2=1，解得a 2=2，b 2=1， ∴椭圆方程x 22+y 2=1， （Ⅰ）由题意可知该直线存在斜率，设其方程为y=k （x ﹣2），由{y =k(x −2)x 22+y 2=1得（1+2k 2）x 2﹣8k 2x +8k 2﹣2=0， ∴△=8（1﹣2k 2）＞0，得k 2＜12， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （x ，y ），∴x 1+x 2=8k 21+2k 2，∴y 1+y 2=k （x 1+x 2﹣4）=﹣4k1+2k 2， 由OA →+OB →=t OP →得P （8k 2t(1+2k 2)，−4k t(1+2k 2)）， 代入椭圆方程得t 2=16k 21+2k ， 由2√63＜t ＜2得14＜k 2＜12， ∴|AB |=√1+k 2•2√2⋅√1−2k 21+2k 2=2√2(1+2k 2)2+11+2k 2−1， 令u=11+2k 2，则u ∈（12，23）， ∴|AB |=2√2u 2+u −1，令y=2u 2+u ﹣1，其对称轴为x=﹣14， ∴y=2u 2+u ﹣1在（12，23）单调递增， ∴0＜y ＜59， ∴0＜|AB |＜2√53故|AB |的取值范围为（0，2√53）。
圆锥曲线中的面积问题(解析版)
圆锥曲线中的面积问题一、考情分析圆锥曲线中的面积问题常见的是三角形的面积问题，有时也会考查平行四边形的面积或对角线互相垂直的四边形面积问题，求解此类问题通常是借助弦长公式或点到直线距离公式用某些量，如动直线的斜率或截距表示面积，再利用函数、方程或不等式知识求解.二、解题秘籍(一)利用弦长与点到直线距离计算三角形面积若直线与圆锥曲线交于点A ，B ，点P 为定点或满足一定条件的动点，要表示△PAB 的面积，一般是先利用弦长公式求出AB ，再利用点到直线距离公式求出点P 到直线AB 的距离d ，则S ΔPAB =12AB d .【例1】(2023届浙江省名校协作体高三上学期考试)如图，已知双曲线C :x 22-y 2=1，经过点T 1,1 且斜率为k 的直线l 与C 交于A ,B 两点，与C 的渐近线交于M ,N 两点(从左至右的顺序依次为A ,M ,N ,B )，其中k∈0,22 .(1)若点T 是MN 的中点，求k 的值；(2)求△OBN 面积的最小值.【解析】设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2联立直线l 与双曲线方程y =k x -1 +1x 22-y 2=0，消去y 得1-2k 2 x 2-4k 1-k x -2(1-k )2=0，由韦达定理可知，x 1+x 2=4k -4k 21-2k 2,x 1⋅x 2=-21-k 21-2k 2联立直线l 与其中一条渐近线方程y =k x -1 +1y =22x，解得x =1-k22-k即x N =1-k 22-k ，同理可得x M =k -122+k ，则x M +x N =4k -4k21-2k 2=x 1+x 2，则可知AB 的中点与MN 中点重合.由于T 1,1 是MN 的中点，所以4k 1-k 1-2k2=2，解得k =12；(2)y =k x -1 +1与x 22-y 2=1联立，消去y 得1-2k 2 x 2-4k 1-k x -2(1-k )2-2=0由(1)知，BN =AM =AB -MN 2.或S △OBN =12S △OAB -S △OMN 由于AB =1+k 222(1-k )2+1-2k 21-2k 2,MN =1+k 222(1-k )21-2k 2，所以BN =1+k 22(1-k )2+1-2k 2-(1-k )2 1-2k 2，又O 到直线的距离d =1-k1+k 2，所以S △OBN =12BN ⋅d =22⋅1-k (1-k )2+1-2k 2-(1-k )21-2k 2=22⋅1-k (1-k )2+1-2k 2+(1-k )2整理得S △OBN =22⋅11+1-2k 2(1-k )2+1，令t =1-k ∈1-22,1 ，则1-2k 2(1-k )2=-2t 2+4t -1t 2=-1t 2+4t -2，当1t =2，即k =12时，1-2k 2(1-k )2的最大值为2，所以S △OBN 的最小值为6-24.(二)三角形中一个顶点到对边上某一点的距离为定值，可把三角形分为两个小三角形分别计算面积若过定点Q 的直线与圆锥曲线交于点A ，B ，点P 为定点或满足一定条件的动点，要表示△PAB 的面积，可先求出点A ，B 到直线PQ 的距离之和d ，则S ΔPAB =12PQ d ，特别的，若PQ 与y 轴垂足，S ΔPAB =12PQ y A -y B ，利用这种方法求面积，可以避免使用弦长公式，减少运算量.【例2】(2022届江苏省扬州市高邮市高三上学期12月学情调研)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上的点到左、右焦点F 1、F 2的距离之和为4，且右顶点A 到右焦点F 2的距离为1.(1)求椭圆C 的方程;(2)直线y =kx 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，记△MNA 的面积为S ，当S =3时求k 的值.【解析】(1)由题意2a =4，a =2，因为右顶点A 到右焦点F 2的距离为1，即a -c =1，所以c =1，则b =a 2-c 2=3，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1.(2)设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，且OA =2根据椭圆的对称性得S △AMN =12OA ⋅y 1 +12OA ⋅y 2 =12OA ⋅y 2-y 1 =y 2-y 1 ，联立方程组y =kxx 24+y 23=1，整理得3k 2+4 y 2=12，解得y =±12k 24k 2+3，因为△AMN 的面积为3，可得|y 1-y 2|=212k 24k 2+3=3，解得k =±32.(三)对角线互相垂直的四边形面积的计算对角线互相垂直的四边形的面积为两对角线长度乘积的12.【例3】(2023届山东省青岛市高三上学期调研)在平面直角坐标系Oxy 中，动圆P 与圆C 1:x 2+y 2+2x -454=0内切，且与圆C 2:x 2+y 2-2x +34=0外切，记动圆P 的圆心的轨迹为E .(1)求轨迹E 的方程；(2)不过圆心C 2且与x 轴垂直的直线交轨迹E 于A ,M 两个不同的点，连接AC 2交轨迹E 于点B .(i )若直线MB 交x 轴于点N ，证明：N 为一个定点；(ii )若过圆心C 1的直线交轨迹E 于D ,G 两个不同的点，且AB ⊥DG ，求四边形ADBG 面积的最小值.【解析】(1)设动圆P 的半径为R ，圆心P 的坐标为x ,y由题意可知：圆C 1的圆心为C 1-1,0 ，半径为72；圆C 2的圆心为C 21,0 ，半径为12.∵动圆P 与圆C 1内切，且与圆C 2外切，∴PC 1 =72-RPC 2 =12+R⇒PC 1 +PC 2 =4>C 1C 2 =2∴动圆P 的圆心的轨迹E 是以C 1,C 2为焦点的椭圆，设其方程为：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，其中2a =4,2c =2,∴a =2,b 2=3从而轨迹E 的方程为：x 24+y 23=1(2)(i )设直线AB 的方程为y =k x -1 k ≠0 ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则M x 1,-y 1 由y =k x -1x 24+y 23=1可得：4k 2+3 x 2-8k 2x +4k 2-12=0∴x 1+x 2=8k 24k 2+3,x 1x 2=4k 2-124k 2+3直线BM 的方程为y +y 1=y 2+y 1x 2-x 1x -x 1 ，令y =0可得N 点的横坐标为：x N =x 2-x 1y 2+y 1y 1+x 1=k x 2-x 1 x 1-1 k x 1+x 2-2+x 1=2x 1x 2-x 1+x 2 x 1+x 2-2=2×4k 2-124k 2+3-8k 24k 2+38k 24k 2+3-2=4∴N 为一个定点，其坐标为4,0(ii )根据(i )可进一步求得：AB =1+k 2x 2-x 1 =1+k 2×x 2+x 12-4x 1x 2=1+k 2×8k 24k 2+3 2-4×4k 2-124k 2+3=12k 2+1 4k 2+3.∵AB ⊥DG ,∴k DG =-1k，则DG =12k 2+13k 2+4∵AB ⊥DG ，∴四边形ADBG 面积S =12AB ×DG =12×12k 2+1 4k 2+3×12k 2+1 3k 2+4=72k 2+1 24k 2+3 3k 2+4(法一)S =72k 2+1 24k 2+3 3k 2+4≥72k 2+1 24k 2+3+3k 2+422=28849等号当且仅当4k 2+3=3k 2+4时取，即k =±1时，S min =28849(法二)令k 2+1=t ,∵k ≠0,∴t >1，则S =72t 212t 2+t -1=72-1t2+1t +12=72-1t -12 2+494当1t =12，即k =±1时，S min =28849(四)把四边形分割成两个三角形求面积如果四边形的一条对角线所在直线的方程确定，通常把该四边形分割为以这条对角线为底边的两个三角形，分别表示出这两个三角形的面积再相加【例4】(2023届THUSSAT 中学生标准学术能力高三9月测试)已知A 、B 分别为椭圆Γ：x 2a2+y 2=1a >1 )的上、下顶点，F 是椭圆Γ的右焦点，C 是椭圆Γ上异于A 、B 的点，点D 在坐标平面内．(1)若∠AFB =π3，求椭圆Γ的标准方程；(2)若a =2，且CA ⊥AD ，CB ⊥BD ，求四边形CADB 面积S 的最大值．【解析】(1)由已知△AFB 是等边三角形，因为AB =2，AF =a ，所以a =2，得椭圆的标准方程为x 24+y 2=1．(2)设C x 1,y 1 ，D x 2,y 2 ，因为CA ⊥AD ，CB ⊥BD ，所以CA ⋅AD =0，CB ⋅BD=0则A 0,1 ,B 0,-1 ,所以CA =-x 1,1-y 1 ,AD=x 2,y 2-1 ，CB =-x 1,-1-y 1 ,BD=x 2,y 2+1 ，所以x 1x 2+y 1-1 y 2-1 =0，x 1x 2+y 1+1 y 2+1 =0，两式相减得y 2=-y 1，带回原式得x 1x 2+1-y 21=0，因为x 214+y 21=1，所以x 2=-x 14，S ▱CADB =S △CAB +S △DAB =x 1 +x 2 =1+14 x 1 ≤52(当x 1=±2时取等)所以四边形CADB 面积S 的最大值为52．(五)利用函数性质求面积最值或范围如果能把三角形或四边形的面积用某一个变量来表示，此时可把面积看作关于该变量的函数，若函数的单调性容易确定，可利用函数单调性求面积最值或范围.【例5】(2023届河南省名校联盟2高三上学期联考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32，左､右焦点分别为F 1,F 2,M ,N 是椭圆上关于原点对称的两点，F 1M +F 1N =4.(1)求椭圆C 的方程；(2)椭圆左顶点为A ，上顶点为B ，直线l ∥AB 且交椭圆于P ，Q ，求△PQB 的面积最大时，l 的方程.【解析】(1)由题意得c 2a2=34，化简得3a 2=4c 2=4a 2-b 2 ，则a 2=4b 2.根据对称性得F 1M =F 2N ，故F 2N +F 1N =4，即2a =4，所以a 2=4,b 2=1，故椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(2)由(1)得k AB =12，设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，l 的方程为y =12x +t (t ≠1)，代入椭圆方程x 24+y 2=1，整理得x 2+2tx +2t 2-2=0，则x 1+x 2=-2t ，x 1x 2=2t 2-2,Δ=4t 2-42t 2-2 >0，解得-2<t <2且t ≠1.故|PQ |=1+14⋅x 1-x 2 =5⋅2-t 2，点B (0,1)到直线l 的距离为d =|2t -2|5，则S △BPQ =12|PQ |⋅d =12×5⋅2-t 2⋅|2t -2|5=2-t 2 (t -1)2.令f (t )=2-t 2 (t -1)2，则f(t )=-2t (t -1)2+22-t 2 (t -1)=-4(t -1)⋅t -1+174 t -1-174 .当t 变化时，f (t ),f (t )的变化情况如下表：t-2,1-174 1-174,11,1+174 1+174,2f t +-+-f t↗↘↗↘比较f 1-174与f 1+174 知，当t =1-174时，△PQB 面积取最大，此时，l 的方程为y =12x +1-174.(六)利用均值不等式求面积最值或范围如果能把三角形或四边形的面积转化为某些变量的代数式，若对代数式进行恒等变形后能出现和为定值或乘积为定值的式子，可考虑利用均值不等式求最值或范围.【例6】(2022届新疆昌吉教育体系高三上学期诊断)已知抛物线T :y 2=2px p >0 ，点F 为其焦点，点M 、N在抛物线上，且直线MN 过点G -p2,0 ，FM =2FN =6.(1)求抛物线T 的方程；(2)过焦点F 作互相垂直的两条直线，与抛物线T 分别相交于点A 、B 和C 、D ，点P 、Q 分别为AB 、CD 的中点，求△FPQ 面积的最小值.【解析】(1)过点M 、N 分别作抛物线T 的准线l 的垂线，垂足分别为M1、N 1，易知MM 1 =MF ，NN 1 =NF ，因为FM =2FN ，则MM 1 =2NN 1 ，则点N 为MG 的中点，连接ON ，则ON 为△FGM 的中位线，所以，FM =2ON =2NF ，则ON =NF ，所以，点N 在线段OF 的垂直平分线上，则点N 的横坐标为p4，∴FN =p 2+p4=3，解得p =4，所以，抛物线T 的标准方程为y 2=8x .(2)因为F 2,0 ，若直线AB 、CD 分别与两坐标轴垂直，则直线AB 、CD 中有一条与抛物线只有一个交点，不合乎题意.所以，直线AB 、CD 的斜率均存在且不为0，设直线AB 的斜率为k k ≠0 ，则直线AB 的方程为y =k x -2 ，联立y 2=8x y =k x -2，得ky 2-8y -16k =0，则Δ=64+64k 2>0，设A x 1,y 1 、B x 2,y 2 ，则y 1+y 2=8k，设P x P ,y P ，则y P =y 1+y 22=4k ，则x P =y P k +2=4k 2+2，所以P 4k2+2,4k ，同理可得Q 4k 2+2,-4k ，故QF =4k2+2-2 2+-4k 2=16k 4+16k 2=4k 21+k 2 ，PF =16k 4+16k 2=41+k 2k 2，因为PF ⊥QF ，所以S △FPQ =12PF ⋅QF =12×4k 21+k 2×41+k 2k 2=81+k 2 k =8×k +1k≥8×2k ⋅1k =16，当且仅当k =1k，即k =±1时等号成立，故△FPQ 面积的最小值为16.三、跟踪检测1.(2023届江苏省南通市如皋市高三上学期调研)已知点A (2,1)在双曲线C :x 2a 2-y 2a 2-1=1(a >1)上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 的斜率之和为0.(1)求l 的斜率;(2)若tan ∠PAQ =22，求△PAQ 的面积.【解析】(1)将点A (2,1)代入x 2a 2-y 2a 2-1=1中，得4a 2-1a 2-1=1，即a 4-4a 2+4=0，解得a 2=2 ，故双曲线方程为x 22-y 2=1；由题意知直线l 的斜率存在，设l :y =kx +m ，设P (x 1,y 1)，Q (x 2,y 2)，则联立直线与双曲线x 22-y 2=1得：(2k 2-1)x 2+4km x +2m 2+2=0，需满足2k 2-1≠0,Δ=8(m 2+1-2k 2)>0，故x 1+x 2=-4km 2k 2-1，x 1x 2=2m 2+22k 2-1，k AP +k AQ =y 1-1x 1-2+y 2-1x 2-2=kx 1+m -1x 1-2+kx 2+m -1x 2-2=0，化简得：2kx 1x 2+(m -1-2k )(x 1+x 2)-4(m -1)=0，故2k (2m 2+2)2k 2-1+(m -1-2k )-4km 2k 2-1 -4(m -1)=0，即2k 2+(m +1)k +m -1=0 ，即(k +1)(m +2k -1)=0，由题意可知直线l 不过A 点，即m +2k -1≠0，故l 的斜率k =-1.(2)设直线AP 的倾斜角为α，由tan ∠PAQ =22，∴2tan∠PAQ21-tan2∠PAQ 2=22，得tan ∠PAQ 2=22，(负值舍去)，由直线AP ，AQ 的斜率之和为0,可知2α+∠PAQ =π，即tan π-2α2=22，则tan π2-α =cos αsin α=22，得k AP =tan α=2，即y 1-1x 1-2=2，联立y 1-1x 1-2=2，及x 212-y 21=1得x 1=10-423，y 1=42-53，将x1=10-423，y1=42-53代入l:y=-x+m中，得m=53，故x1+x2=203，x1x2=689，而|AP|=2+1|x1-2|=3|x1-2|，|AQ|=3|x2-2|，由tan∠PAQ=22，得sin∠PAQ=22 3，故S△PAQ=12|AP|⋅|AQ|sin∠PAQ=2|x1x2-2(x1+x2)+4|=2689-2×203+4=1629.2.(2023届上海市松江二中高三上学期月考)如图，已知A x1,y1、B x2,y2为抛物线Γ：y=14x2的图像上异于顶点的任意两个点，抛物线Γ在点A、B处的切线相交于P x0,y0.(1)写出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；(2)求证：x1、x0、x2成等差数列，y1、y0、y2成等比数列；(3)若A，F，B三点共线，求出动点P的轨迹方程及△PAB面积的最小值.【解析】(1)抛物线的标准方程为x2=4y,于是焦点坐标为F(0,1),准线方程为y=-1.(2)y =12x,所以l AP:y=12x1x-x1+14x21=12x1x-14x21l BP:y=12x2x-x2+14x22=12x2x-14x22联立y=12x1x-14x21y=12x2x-14x22,得x0=x1+x22,y0=x1x24,而y1=14x21,y2=14x22于是y20=x21x2216=y1y2,即x0=x1+x22,y20=y1y2故x1，x0，x2成等差数列,y1，y0，y2成等比数列(3)由于A,F,B三点共线,设l AB:y=kx+1联立y=kx+1y=14x2,得x2-4kx-4=0.即动点P的轨迹方程为y=-1设AB中点为C,则Cx1+x22,y1+y22,即C2k,2k2+1S△PAB=12|PC|x1-x2=122k2+216k2+16=41+k232≥4当k=0时取等所以△PAB面积的最小值为43.(2023届浙江省嘉兴市高三上学期9月测试)已知椭圆C:x24+y2b2=10<b<2，直线l1:y=x+m与椭圆C交于A，B两点，且AB的最大值为46 3．(1)求椭圆C的方程；(2)当AB=463时，斜率为-2的直线l2交椭圆C于P，Q两点(P，Q两点在直线l1的异侧)，若四边形APBQ的面积为1669，求直线l2的方程．【解析】(1)设A x1,y1，B x2,y2，联立直线l1与椭圆方程得x24+y2b2=1 y=x+m ，消去y得b2+4x2+8mx+4m2-b2=0，又x1，x2是这个方程的两个实根，所以Δ=64m2-16b2+4m2-b2>0x1+x2=-8mb2+4x1x2=4m2-b2b2+4，由弦长公式得AB=1+k2x1-x2=2⋅-8mb2+42-4×4m2-b2b2+4=42bb2+4⋅b2+4-m2，所以当m=0时，AB取到最大值，即ABmax=42bb2+4=436，解得b=2．所以椭圆C的方程为x24+y22=1．(2)设直线l2方程为y=-2x+n，P x3,y3，Q x4,y4，联立直线l2与椭圆方程x24+y22=1y=-2x+n，消去y得9x2-8nx+2n2-4=0，所以Δ=-8n2-4×9×2n2-4>0x3+x4=8n9x3x4=2n2-49，且n∈-32,32，记点P，Q到直线l1的距离分别为d1，d2，又d1=x3-y32，d2=x4-y42且x3-y3x4-y4<0，所以d1+d2=x3-y32+x4-y42=x3-y3-x4-y42=3x3-x42=32x3+x42-4x3x4=328n92-4×2n2-49=2318-n2，所以S APBQ=12|AB|d1+d2=12⋅463⋅2318-n2=46918-n2，因为S APBQ=1696，所以46918-n2=1669，整理得n2=2，所以n=±2满足条件，综上所述直线的方程为l2:y=-2x±2，即为l2:2x+y±2=0．4.(2023届湖北省荆荆宜三校高三上学期9月联考)设椭圆Γ：x2a2+y2b2=1a>b>0，F1，F2是椭圆Γ的左、右焦点，点A1,3 2在椭圆Γ上，点P4,0 在椭圆Γ外，且PF2 =4-3．(1)求椭圆Γ的方程；(2)若B1,-32，点C为椭圆Γ上横坐标大于1的一点，过点C的直线l与椭圆有且仅有一个交点，并与直线PA，PB交于M，N两点，O为坐标原点，记△OMN，△PMN的面积分别为S1，S2，求S21-S1S2+S22的最小值．【解析】(1)因为点A1,3 2在椭圆Γ上，所以1a2+34b2=1，①因为点P4,0在椭圆Γ外，且PF2=4-3，所以c=3，即a2-b2=c2=3，②由①②解得a2=4，b2=1，故椭圆Γ的方程为x24+y2=1．(2)设点M x1,y1，N x2,y2，设直线MN：x=my+t，由椭圆性质以及点C的横坐标大于1可知，t>2，将直线MN代入方程x24+y2=1并化简可得，my+t2+4y2-4=0，即m2+4y2+2mty+t2-4=0，因为直线l与椭圆有且仅有一个交点，所以Δ=4m2t2-4m2+4t2-4=0，即t2=m2+4．直线AP的方程为：x=4-23y；直线BP的方程为l BP：x=4+23y，联立方程x=my+t,x=4-23y,得y1=4-t23+m，同理得y2=t-423-m，所以y1-y2=4-t-43m2-12=43t+4，所以S1=12t y1-y2，S2=124-ty1-y2，所以S21-S1S2+S22=14t2y1-y22-t4-t4y1-y22+14(4-t)2y1-y22=14y1-y22t2-4t+t2+16-8t+t2=14×48t+423t2-12t+16=36-489t+8t2+8t+16，令9t+8=λλ>26，则S21-S1S2+S22=36-48×81λ+282λ+56≥97，当且仅当λ=28，即t=209时，不等式取等号，故当t=209时，S21-S1S2+S22取得最小值97．5.(2023届广东省潮阳实验、湛江一中、深圳实验三校高三上学期联考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，椭圆上一动点P与左､右焦点构成的三角形面积最大值为 3.(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的左､右顶点分别为A,B，直线PQ交椭圆C于P,Q两点，记直线AP的斜率为k1，直线BQ 的斜率为k2，已知k1=3k2.①求证：直线PQ恒过定点；②设△APQ和△BPQ的面积分别为S1,S2，求S1-S2的最大值.【解析】(1)由题意ca=32bc=3a2=b2+c2，解得a2=4b2=1，所以椭圆C的方程为x24+y2=1．(2)①依题意A(-2,0),B(2,0)，设P x1,y1,Q x2,y2，若直线PQ的斜率为0则P，Q关于y轴对称，必有k AP=-k BQ，不合题意．所以直线PQ斜率必不为0，设其方程为x=ty+n(n≠±2)，与椭圆C联立x2+4y2=4x=ty+n，整理得：t2+4y2+2tny+n2-4=0，所以Δ=16t2+4-n2>0，且y1+y2=-2tnt2+4,y1y2=n2-4t2+4.因为P x1,y1是椭圆上一点，即x214+y21=1，所以k AP ⋅k BP =y 1x 1+2⋅y 1x 1-2=y 21x 21-4=1-x 214x 21-4=-14，则k AP =-14k BP =3k BQ ，即12k BP ⋅k BQ =-1因为12k BP ⋅k BQ =12y 1y 2x 1-2 x 2-2 =12y 1y 2ty 1+n -2 ty 2+n -2=12y 1y 2t 2y 1y 2+t (n -2)y 1+y 2 +(n -2)2=12n 2-4t 2+4t 2n 2-4 t 2+4-2t 2n (n -2)t 2+4+(n -2)2=12(n +2)t 2(n +2)-2t 2n +(n -2)t 2+4=3(n +2)n -2=-1，所以n =-1，此时Δ=16t 2+4-n 2 =16t 2+3 >0，故直线PQ 恒过x 轴上一定点D -1,0 ．②由①得：y 1+y 2=2t t 2+4,y 1y 2=-3t 2+4，所以S 1-S 2 =12⋅y 1-y 2 ⋅2--1 -12⋅y 1-y 2 ⋅-2--1 =y 1-y 2=y 1+y 2 2-4y 1y 2=4t 2+3t 2+4=4t 2+4 -1t 2+4 2=41t 2+4-1t 2+42=4-1t 2+4-12 2+14，而1t 2+4∈0,14，当1t 2+4=14时S 1-S 2 的最大值为3．6.(2023届重庆市第一中学校高三上学期9月月考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)经过点3,12 ，其右焦点为F 3,0 .(1)求椭圆C 的离心率；(2)若点P ,Q 在椭圆C 上，右顶点为A ，且满足直线AP 与AQ 的斜率之积为120.求△APQ 面积的最大值.【解析】(1)依题可得，c =33a 2+14b 2=1a 2=b 2+c 2，解得a =2b =1c =3，所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.所以离心率e =32.(2)易知直线AP 与AQ 的斜率同号，所以直线PQ 不垂直于x 轴，故可设PQ :y =kx +m ,k ≠0,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，由x 24+y 2=1y =kx +m可得，1+4k 2 x 2+8mkx +4m 2-4=0，所以x 1+x 2=-8mk 1+4k 2,x 1x 2=4m 2-41+4k 2，Δ=164k 2+1-m 2 >0，而k AP k AQ =120，即y 1x 1-2⋅y 2x 2-2=120，化简可得20kx 1+m kx 2+m =x 1-2 x 2-2 ，20k 2x 1x 2+20km (x 1+x 2)+20m 2=x 1x 2-2(x 1+x 2)+4，20k 2⋅4m 2-41+4k 2+20km ⋅-8mk 1+4k 2+20m 2=4m 2-41+4k 2-2×-8mk 1+4k 2+4化简得6k 2+mk -m 2=0，所以m =-2k 或m =3k ，所以直线PQ :y =k x -2 或y =k x +3 ，因为直线PQ 不经过点A ，所以直线PQ 经过定点-3,0 .设定点B -3,0 ,S △APQ =S △ABP -S △ABQ =12AB y 1-y 2 =52k x 1-x 2 =52k (x 1+x 2)2-4x 1x 2=52k -8km 1+4k 2 2-4×4m 2-41+4k 2=5k 2164k 2+1-m 2 1+4k 2=101-5k 2 k 21+4k 2，因为1-5k 2>0，所以0<k 2<15，设t =4k 2+1∈1,95，所以S △APQ =52-5t 2+14t -9t 2=52-91t -79 2+49≤53，当且仅当t =97即k 2=114时取等号，即△APQ 面积的最大值为53.7.(2023届山东省济南市高三上学期9月考试)已知点F 是抛物线C :x 2=4y 与椭圆y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0)的公共焦点，椭圆上的点M 到点F 的最大距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)过点M 作C 的两条切线，记切点分别为A ,B ，求△MAB 面积的最大值.【解析】(1)抛物线C 的焦点为F 0,1 ，即c =1，椭圆上的点M 到点F 的最大距离为a +c =3，所以a =2，b 2=3，所以椭圆方程为y 24+x 23=1.(2)抛物线C 的方程为x 2=4y ，即y =x 24，对该函数求导得y =x2，设点A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，M (x 0,y 0)，直线MA 的方程为y -y 1=x12(x -x 1)，即y =x 1x2-y 1，即x 1x -2y 1-2y =0，同理可知，直线MB 的方程为x 2x -2y 2-2y =0，由于点M 为这两条直线的公共点，则x 1x 0-2y 1-2y 0=0x 2x 0-2y 2-2y 0=0，所以点A ，B 的坐标满足方程x 0x -2y -2y 0=0，所以直线AB 的方程为x 0x -2y -2y 0=0，联立x 0x -2y -2y 0=0y =x 24，可得x 2-2x 0x +4y 0=0，由韦达定理可得x 1+x 2=2x 0，x 1x 2=4y 0，所以AB =1+x 022⋅x 1+x 2 2-4x 1x 2=1+x 022⋅4x 20-16y 0=x 20+4 x 20-4y 0 ，点M 到直线AB 的距离为d =x 20-4y 0x 20+4，所以S △MAB =12AB ⋅d =12x 20+4 x 2-4y 0 ⋅x 20-4y 0x 20+4=12x 20-4y 0 32，因为x 2-4y 0=3-3y 204-4y 0=-34y 0+83 2+253，由已知可得-2≤y 0≤2，所以当y 0=-2时，△MAB 面积的最大值为82.8.(2023届河北省廊坊市三河市高三上学期段考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32，且C的左、右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为83．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l :x -my -1=0与x 轴交于点M ，与椭圆C 交于P ，Q 两点，过点P 与x 轴垂直的直线与椭圆C 的另一个交点为N ，求△MNQ 面积的最大值．【解析】(1)设椭圆C 的焦距为2c ，则e =c a =32，即c 2a 2=a 2-b 2a2=34，所以1-b 2a2=34，即a =2b ，又C 的左，右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为83，所以4×12bc =83，即bc =43，综上解得a 2=16,b 2=4，所以椭圆C 的方程为x 216+y 24=1．(2)易得M (1,0)，设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，则N x 1,-y 1 ，联立直线l 与椭圆C 的方程x =my +1x 216+y 24=1，得m 2+4 y 2+2my -15=0，则y 1+y 2=-2m m 2+4,y 1y 2=-15m 2+4．又S △PQN =12×2y 1 ×x 2-x 1 ,S △PMN =12×2y 1 ×1-x 1 ，易知x 2-x 1与1-x 1同号，所以S △MNQ =S △PQN -S △PMN =y 1 ×x 2-x 1 -1-x 1 =y 1 ×x 2-x 1 -1-x 1 =y 1 ×x 2-1 =y 1 ×my 2 =my 1y 2 =15|m |m 2+4=15|m |+4|m |≤152|m |×4|m |=154，当且仅当|m |=4|m |，即m =±2时等号成立，所以△MNQ 面积的最大值为154．9.(2023届河南省部分学校高三上学期9月联考)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左焦点为F 1-1,0 ，上、下顶点分别为A ，B ，∠AF 1B =90°．(1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆上有三点P ，Q ，M 满足OM =OP +OQ ，证明：四边形OPMQ 的面积为定值．【解析】(1)依题意c =1，又∠AF 1B =90°，所以b =c =1，所以a =b 2+c 2=2，所以椭圆方程为x 22+y 2=1.(2)证明：设M x ,y ，P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，因为OM =OP +OQ，所以四边形OPMQ 为平行四边形，且x =x 1+x 2y =y 1+y 2 ，所以x 1+x 2 22+y 1+y 2 2=1，即x 122+y 12+x 222+y 22+x 1x 2+2y 1y 2=1，又x 122+y 12=1，x 222+y 22=1，所以x 1x 2+2y 1y 2=-1，若直线PQ 的斜率不存在，M 与左顶点或右顶点重合，则x P =x Q =22，所以y P =y Q =32，所以S OPMQ =12×2x P ×2y P =62，若直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程为y =kx +t ，代入椭圆方程整理得1+2k 2 x 2+4ktx +2t 2-2=0，所以Δ=82k 2+1-t 2 >0，x 1+x 2=-4kt 1+2k 2，x 1x 2=2t 2-21+2k 2，所以y 1y 2=kx 1+t kx 2+t =k 2x 1x 2+kt x 1+x 2 +t 2=k 2⋅2t 2-21+2k 2+kt ⋅-4kt 1+2k2 +t 2所以2k 2+1 ⋅2t 2-21+2k 2+2kt ⋅-4kt 1+2k2 +2t 2=-1，整理得4t 2=1+2k 2，又PQ =k 2+1x 1-x 2 =k 2+1⋅81+2k 2-t 21+2k 2，又原点O 到PQ 的距离d =tk 2+1，所以S △POQ =12PQ d =2⋅1+2k 2-t 2⋅t 1+2k 2，将4t 2=1+2k 2代入得S △POQ =2⋅3t 2⋅t 4t2=64，所以S OPMQ =2S △POQ =62，综上可得，四边形OPMQ 的面积为定值62.10.(2022届河南省高三上学期联考)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率为12，且椭圆E 经过点1,32 ，过右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 和CD ．(1)求椭圆E 的方程；(2)当四边形ACBD 的面积取得最小值时，求弦AB 所在直线的方程．【解析】(1)已知可得c a =12a 2=b 2+c 21a 2+94b2=1 ，解得a =2b =3c =1，所以椭圆E 的方程为x 24+y 23=1．(2)当AB 或CD 中有一条直线垂直于x 轴时，不妨设AB ⊥x 轴，因为焦点F 的坐标为1,0 ，所以直线AB 的方程为x =1，将x =1代入椭圆方程可得y =±32，则AB =3，CD =4，四边形ACBD 的面积S =12×4×3=6；当AB 的斜率存在且不为0时，设其斜率为k k ≠0 ，由(1)知F 1,0 ，所以直线AB 的方程为y =k x -1 ，与椭圆E 的方程x 24+y 23=1联立并消去y 得3+4k 2 x 2-8k 2x +4k 2-12=0．设A x 1,y 1 、B x 2,y 2 ，Δ=64k 4-43+4k 2 4k 2-12 =144k 2+1 >0,则x 1+x 2=8k 23+4k 2，x 1x 2=4k 2-123+4k 2，AB =1+k 2x 1-x 2 =1+k 2⋅x 1+x 2 2-4x 1x 2=1+k 2⋅64k 43+4k 22-16k 2-483+4k 2=1+k 23+4k 2⋅64k 4-16k 2-48 3+4k 2=121+k 2 3+4k 2．同理可得可得CD =121+1k2 3+4k2=12k 2+1 3k 2+4，所以四边形ACBD 面积S =12AB ×CD =12×122k 2+1 24k 2+3 3k 2+4 =72k 2+1 24k 2+3 3k 2+4≥72k 2+1 24k 2+3+3k 2+422=72×27 2=28849，当且仅当4k 2+3=3k 2+4时，即当k =±1时，等号成立，因为6>28849，故当四边形ACBD 的面积取得最小值时，直线AB 的方程为y =x -1或y =-x +1．11.(2022届河南省县级示范性高中高三上学期尖子生对抗赛)顺次连接椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的四个顶点，得到的四边形的面积为82，连接椭圆C 的某两个顶点，可构成斜率为22的直线.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知过点A (-4,0)的直线l 与椭圆C 交于E ，F 两点，点B 在线段EF 上，若|AE ||AF |=|BE ||BF |，求△OAB(O 为坐标原点)面积的取值范围.【解析】(1)依题意得b a=22,2ab =82,解得b =2,a =22, 所以椭圆C 的标准方程是x28+y 24=1.(2)设直线l 的方程为x =ty -4(t ≠0)，代入椭圆C 的方程得t 2+2 y 2-8ty +8=0，由Δ>0得t 2>2,|t |>2.设E x 1,y 1 ,F x 2,y 2 ，所以y 1+y 2=8t t 2+2,y 1y 2=8t 2+2,，|EF |=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=t 2+1y 1-y 2 ，设|AE ||AF |=|BE ||BF |=λ，则AE =λAF ,EB =λBF AB =AE +EB =λ1-λEF +λ1+λEF =2λ1-λ2EF .原点O 到直线l 的距离d =4t 2+1， 故△OAB 的面积S =12×2λ1-λ2 t 2+1⋅y 1-y 2 ⋅4t 2+1=4λ1-λ2 ⋅y 1-y 2 .因为y 1=λy 2⇒λ=y 1y 2，故S =4y 1y 21-y 21y 22⋅y 1-y 2 =4y 1y 2y 1+y 2=4|t |∈(0,22)，故△OAB 面积的取值范围为(0,22).12.(2022届广西“智桂杯”高三上学期联考)如图，已知抛物线：C :x 2=y ，M 0,1 ，N 0,-1 ，过点M 垂直于y 轴的垂线与抛物线C 交于B ，C ，点D ，E 满足CE =λCN ，ND =λNB 0<λ<1 .(1)求证：直线DE 与抛物线有且仅有一个公共点；(2)设直线DE 与此抛物线的公共点为Q ，记△BCQ 与△DEN 的面积分别为S 1，S 2，求S 1S 2的值.【解析】(1)易知B 1,1 ,C -1,1 ，设D x ,y ，由ND =λNB，可得x ,y +1 =λ1,2 ，故有D λ,2λ-1 ，同理E λ-1,1-2λ ，于是直线DE 的方程是y -2λ-1 =4λ-2 x -λ ，即y =4λ-2 x -2λ-1 2①与抛物线方程联立，即y =4λ-2 x -2λ-1 2x 2=y得到x -2λ-1 2=0，此方程有两个相等的根：x =(2λ-1)代入①，得y =2λ-1 2，故直线DE 与抛物线有且仅有一个公共点Q 2λ-1,2λ-1 2(2)S 1=S △BCQ =12BC ⋅h =12×2×1-y Q =12×2×1-2λ-1 2 =4λ-λ2设直线DE 与y 轴交于G ，则G 0,-2λ-1 2 ，于是S 2=S △DEN =12NG ⋅x D -x E =12⋅-2λ-1 2+1 ⋅λ-λ-1 =2λ-λ2故有S1S 2=2.13.(2022届河南省名校联盟高三上学期12月考)已知椭圆C :x 2a2+y 2=1a >1 的离心率为32，F 1，F 2是C的左、右焦点，P 是C 上在第一象限内的一点，F 1关于直线PF 2对称的点为M ，F 2关于直线PF 1对称的点为N ．(1)证明：MN ≤4；(2)设A ，B 分别为C 的右顶点和上顶点，直线y =kx k >0 与椭圆C 相交于E ，F 两点，求四边形AEBF 面积的取值范围．【解析】(1)C 的离心率为32，即a 2-1a =32，解得a =2．由题意知PF 1 =PM ，PF 2 =PN ，MN ≤PM +PN =PF 1 +PF 2 =2a =4(2)直线AB ，EF 的方程分别为x +2y =2，y =kx k >0 ，设E x 1,kx 1 ，F x 2,kx 2 ，其中x 1<x 2，由y =kx ,x 24+y 2=1,得x 1=-21+4k 2，x 2=21+4k 2，所以点E ，F 到AB 的距离分别为h 1=x 1+2kx 1-25=21+2k +1+4k 251+4k 2h 2=x 2+2kx 2-25=21+2k -1+4k 251+4k 2又AB =22+1=5所以四边形AEBF 的面积为S =12AB h 1+h 2 =12×5×41+2k 51+4k 2=21+4k 2+4k 1+4k 2=21+4k 1+4k 2=21+41k+4k 当k ∈0,+∞ 时，1k+4k ∈4,+∞ ，则41k+4k ∈0,1 ，所以21+41k+4k ∈2,22 ，即四边形AEBF 面积的取值范围为2,2214.(2022届宁夏石嘴山市高三上学期月考)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左焦点为F ，离心率为12，过点F 且垂直于x 轴的直线交C 于A ,B 两点，AB =3(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线l 过点M -4,0 且与椭圆相交于A ，B 两点，求△ABF 面积最大值及此时直线l 的斜率.【解析】(1)由题知：c a =122b 2a =3a 2=b 2+c 2⇒a =2b =3c =1，所以椭圆C :x 24+y 23=1.(2)设直线l 的方程为x =my -4，设A x 1,y 1 ､B x 2,y 2 ，与椭圆方程联立得x =my -4x 24+y 23=1，消去x 得3m 2+4 y 2-24my +36=0.则Δ=576m 2-4×363m 2+4 =144m 2-4 >0，所以m 2>4.由根与系数的关系知y 1+y 2=24m 3m 2+4，y 1y 2=363m 2+4，所以S △ABF =32y 1-y 2 =18m 2-43m 2+4.①令t =m 2-4t >0 ，则①式可化为S △ABF =18t 3t 2+16=183t +16t ≤1823t ⋅16t=334.当且仅当3t =16t，即t =163时，等号成立.此时m =±2213，所以直线l 的斜率为±2114.15.已知抛物线C :y 2=2px p >0 的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，当l ⊥x 轴时，AB=2.(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 交y 轴于点D ，过点D 且垂直于y 轴的直线交抛物线C 于点P ，直线PF 交抛物线C 于另一点Q .①是否存在定点M ，使得四边形AQBM 为平行四边形？若存在，求出定点M 的坐标；若不存在，请说明理由.②求证：S △QAF ⋅S △QBF 为定值.【解析】(1)当l ⊥x 轴时，易得AB =2p ，所以2p =2，解得p =1，所以抛物线C 的方程为y 2=2x ；(2)①解：易知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为x =my +12m ≠0 ，代入抛物线C 的方程y 2=2x ，并整理得y 2-2my -1=0，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由根与系数的关系得y 1+y 2=2m ，y 1y 2=-1.所以x 1+x 22=my 1+my 2+12=2m 2+12，所以线段AB 的中点N 的坐标为2m 2+12,m ，连接QM ，若四边形AQBM 为平行四边形，则N 是QM 的中点，易知D 0,-12m，因此P 18m 2,-12m ，设直线PQ 的方程为x =ty +12，代入抛物线C 的方程y 2=2x ，整理得y 2-2ty -1=0，所以y P y Q =-12m ⋅y Q=-1， 故y Q =2m ，因此Q 2m 2,2m ，故可得x M =2m 2+12×2-2m 2=1，y M =2m -2m =0，故点M 的坐标为M 1,0 ，因此存在定点M 1,0 ，使得四边形AQBM 为平行四边形；②证明：点Q 2m 2,2m 到直线l :x =my +12的距离d =2m 2-m ⋅2m -12m 2+1=12m 2+1，由A x 1,y 1 ，F 12,0，可得AF =m 2+1y 1 ， 因此S △QAF =12AF ⋅d =14y 1 ，同理可得S △QBF =14y 2 ，所以S △QAF ⋅S △QBF =116y 1y 2 =116，为定值.。
4圆锥曲线的弦长面积问题-拔高难度-讲义
圆锥曲线的弦长面积问题知识讲解一、弦长问题设圆锥曲线C ∶(),0f x y =与直线:l y kx b =+相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点， 则弦长AB 为：()222121212141x AB x x k x x x x k a∆=-=++-=+()12121222211141y AB y y y y y y k ka∆=-=++-=+或二、面积问题1.三角形面积问题直线AB 方程：y kx m =+ d PH ==12ABP S AB d ∆=⋅=2.焦点三角形的面积直线AB 过焦点21,F ABF ∆112121212ABF S F F y y c y y ∆=⋅-=-=3.平行四边形的面积直线AB 为1y kx m =+，直线CD 为2y kx m =+d CH ==12AB x =-=ABCDSAB d =⋅==三、范围问题方法：首选均值不等式或对勾函数，其实用二次函数配方法，最后选导数思想 均值不等式 ：222(,)a b ab a b R +≥∈变式：2,);()(,)2a b a b a b R ab a b R ++++≥∈≤∈ 作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一”正“二”定“三”相等圆锥曲线经常用到的均值不等式形式：1）2226464t S t t t==++（注意分0,0,0t t t =><三种情况讨论） 2）224222121212333196123696k AB t k k k=+=+≤+++⨯+++当且仅当2219k k=时，等号成立 3）222002200259342593464925y x PQ x y =+⋅+⋅≥+=当且仅当22002200259259925y x x y ⋅=⋅时等号成立. 4）2282m m S -+===当且仅当228m m =-+时，等号成立 5）2221121k m m S -++==≤=当且仅当221212k m +=时等号成立.经典例题一．选择题（共1小题）1．（2018•洛阳三模）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于A、B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则离心率为（）A．B．2﹣C．﹣2 D．﹣【解答】解：如图，设|F1F2|=2c，|AF1|=m，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=m，由椭圆的定义可得△ABF1的周长为4a，即有4a=2m+m，即m=2（2﹣）a，则|AF2|=2a﹣m=（2﹣2）a，在直角三角形AF1F2中，|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2，即4c2=4（2﹣）2a2+4（﹣1）2a2，∴c2=（9﹣6）a2，则e2==9﹣6=，∴e=．故选：D．二．填空题（共1小题）2．（2018•南关区校级模拟）已知椭圆：＞＞短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3x+4y+6=0与圆x2+（y﹣b）2=a2相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知过椭圆C的左顶点A的两条直线l1、l2分别交椭圆C于M、N两点，且l1⊥l2，求证：直线MN过定点，并求出定点坐标；（III）在（Ⅱ）的条件下求△AMN面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意即：．（Ⅱ）证明：∵A（﹣2，0），设l1：x=my﹣2（m≠0），：，由得（m2+4）y2﹣4my=0∴，，同理：，①m≠±1时，，：，过定点，；②m=±1时，：，也过定点，，所以直线MN过定点，．（III）由（Ⅱ）知==，且时取等号，∴且时取等号，∴．三．解答题（共11小题）3．（2018•西宁二模）若椭圆（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点F内分成了3：1的两段．（1）求椭圆的离心率；（2）过点C（﹣1，0）的直线l交椭圆于不同两点A、B，且，当△AOB 的面积最大时，求直线l和椭圆的方程．【解答】解：（1）由题意知，c+=3（c﹣），…（2分）∴b=c，∴a2=2b2，…（3分）∴e===．…（5分）（2）设直线l：x=ky﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），∵，∴（﹣1﹣x1，﹣y1）=2（x2+1，y2），即2y2+y1=0，①…（7分）由（1）知，a2=2b2，∴椭圆方程为x2+2y2=2b2，由，消去x，得（k2+2）y2﹣2ky+1﹣2b2=0，∴，…②，…③由①②知，，，…（9分）∵=，∴S=3•=3•≤3•=，…（11分）当且仅当|k|2=2，即k=时取等号，此时直线的方程为x=或x=．…（12分）又当|k|2=2时，=﹣=﹣1，∴由，得b2=，∴椭圆方程为．…（14分）4．（2018•河南模拟）设O是坐标原点，F是抛物线x2=2py（p＞0）的焦点，C 是该抛物线上的任意一点，当与y轴正方向的夹角为60°时，．（1）求抛物线的方程；（2）已知A（0，p），设B是该抛物线上的任意一点，M，N是x轴上的两个动点，且|MN|=2p，|BM|=|BN|，当取得最大值时，求△BMN的面积．【解答】解：（1）设点C（x o，y0），则由抛物线的定义得，当与y轴正方向的夹角为60°时，，即；又=，解得p=2，所以抛物线的方程为x2=4y；（2）因为|BM|=|BN|，所以点B在线段MN的中垂线上，设点B（x1，y1），则M（x1﹣2，0），N（x1+2，0），又A（0，2），所以|AM|=，|AN|=，则==，所以；当且仅当y1=2时等号成立，此时=4y1=8；所以|MN|•y1=×4×2=4．5．（2018•莆田二模）在平面直角坐标系xOy中，点F为椭圆C：+=1（a＞b＞0），的一个焦点，点B1（0，﹣）为C的一个顶点，∠OFB1=．（1）求C的标准方程；（2）若点M（x0，y0）在C上，则点N（，）称为点M的一个“椭点”．直线l：y=kx+m与C相交于A，B两点，且A，B两点的“椭点”分别为P，Q，以PQ 为直径的圆经过点O，求△AOB的面积．【解答】解：（1）由已知得：b=，在Rt△B1OF中，tan==，解得c=1，又∵a2=b2+c2，解得a=2．∴椭圆C的方程为：+=1．（2）设A（x1，y1），B（x2，y3），则P，Q．又∵以PQ为直径的圆经过坐标原点O，得•=0，即+=0，①由，消y整理得，（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，由△=64k2m2﹣16（3+4k2）（m2﹣3）＞0，得3+4k2﹣m2＞0，而x1+x2=﹣，x1x2=，②∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+mk（x1+x2）+m2=③联立①②③得，+=0，即2m2﹣4k2=3，又∵|AB|==•，原点O到直线l：y=kx+m的距离d=，=|AB|•d=••，∴S△OAB把2m2﹣4k2=3代入上式得S△OAB=．6．（2018•烟台二模）己知椭圆：＞＞，点，在椭圆上，过C的焦点且与长轴垂直的弦的长度为．（1）求椭圆C的标准方程；．（2）过点A（﹣2，0）作两条相交直线l1，l2，l1与椭圆交于P，Q两点（点P 在点Q的上方），l2与椭圆交于M，N两点（点M在点N的上方），若直线l1的斜率为，，求直线l2的斜率．【解答】解：（1）由已知得：，…………………………（2分）解得a=6，b=1．故椭圆C的方程为．………………………（4分）（2）由题设可知：l1的直线方程为x=﹣7y﹣2．联立方程组，整理得：85y2+28y﹣32=0.，．…………………………（6分）∴．…………………………………………（7分）∵，∴，即．…………………………………………（8分）设l2的直线方程为x=my﹣2（m≠0）．将x=my﹣2代入+y2=1得（m2+36）y2﹣4my﹣32=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，．……………………………………（10分）又∵，∴，．解得m2=4，∴m=±2．故直线l2的斜率为．………………………（12分）7．（2018•河南一模）已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点F是抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点，点（2，4）在抛物线C2上．（1）求椭圆C1的方程；（2）已知斜率为k的直线l交椭圆C1于A，B两点，M（0，2），直线AM与BM 的斜率乘积为﹣，若在椭圆上存在点N，使|AN|=|BN|，求△ABN的面积的最小值．【解答】解：（1）∵点（2，4）在抛物线y2=2px上，∴16=4p，解得p=4，∴椭圆的右焦点为F（2，0），∴c=2，∵椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，∴=，∴a=2，∴b2=a2﹣c2=8﹣4=4，∴椭圆C1的方程为+=1，（2）设直线l的方程为y=kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消y可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，∴x1+x2=，x1x2=，∴y1+y2=k（x1+x2）+2m=，y1y2=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=∵M（0，2），直线AM与BM的斜率乘积为﹣，∴k1•k2=•===﹣，解得m=0，∴直线l的方程为y=kx，线段AB的中点为坐标原点，由弦长公式可得|AB|==，∵|AN|=|BN|，∴ON垂直平分线段AB，当k≠0时，设直线ON的方程为y=﹣x，同理可得|ON|==，=|ON|•|AB|=8，∴S△ABN当k=0时，△ABN的面积也适合上式，令t=k2+1，t≥1，0＜≤1，则S△ABN=8=8=8，∴当=时，即k=±1时，S△ABN的最小值为．8．（2018•长春三模）在平面直角坐标系中，已知圆C1的方程为（x﹣1）2+y2=9，圆C2的方程为（x+1）2+y2=1，动圆C与圆C1内切且与圆C2外切．（1）求动圆圆心C的轨迹E的方程；（2）已知P（﹣2，0）与Q（2，0）为平面内的两个定点，过（1，0）点的直线l与轨迹E交于A，B两点，求四边形APBQ面积的最大值．【解答】解：（1）设动圆C的半径为r，由题意知|CC1|=3﹣r，|CC2|=1+r从而有|CC1|+|CC2|=4，故轨迹E为以C1，C2为焦点，长轴长为4的椭圆，并去除点（﹣2，0），从而轨迹E方程为．（2）设l方程为x=my+1，联立，消去x得（3m2+4）y2+6mx﹣9=0，设点A（x1，y1），B（x2，y2），有，，有，点P（﹣2，0）到直线了的距离为，点Q（2，0）到直线了的距离为，从而四边形APBQ的面积令，，有，由函数在[1，+∞）单调递增有，故，四边形APBQ面积的最大值为6．9．（2018•全国一模）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a＞b ＞0）的离心率为，点M（1，）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知P（﹣2，0）与Q（2，0）为平面内的两个定点，过点（1，0）的直线l与椭圆C交于A，B两点，求四边形APBQ面积的最大值．【解答】解：（I）由可得，a=2c，又因为b2=a2﹣c2，所以b2=3c2所以椭圆C方程为，又因为，在椭圆C上，所以所以c2=1，所以a2=4，b2=3，故椭圆方程为．（II）方法一：设l的方程为x=my+1，联立，消去x得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，设点A（x1，y1），B（x2，y2），有＞，，，|y1﹣y2|===所以令，，有，由函数，t∈[1，+∞）＞，，故函数，在[1，+∞）上单调递增，故，故当且仅当t=1即m=0时等号成立，四边形APBQ面积的最大值为6．方法二：设l的方程为x=my+1，联立，消去x得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，设点A（x1，y1），B（x2，y2），有＞，，，有，点P（﹣2，0）到直线l的距离为，点Q（2，0）到直线l的距离为，从而四边形APBQ的面积，令，，有，函数，t∈[1，+∞）＞，，故函数，在[1，+∞）上单调递增，有，故当且仅当t=1即m=0时等号成立，四边形APBQ面积的最大值为6．方法三：①当l的斜率不存在时，l：x=1，此时，四边形APBQ的面积为6．②当l的斜率存在时，设l为：y=k（x﹣1），（k≠0）y=k（x﹣1）（k≠0）则，∴（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，＞，，，∴，∴四边形APBQ的面积，令t=3+4k2（t＞3）t=3+4k2（t＞3）则，＜＜．，＜＜＜＜综上，四边形APBQ面积的最大值为6．10．（2018•徐汇区一模）已知椭圆E：（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，且F1，F2与短轴的一个端点Q构成一个等腰直角三角形，点P（，）在椭圆E上，过点F2作互相垂直且与x轴不重合的两直线AB，CD分别交椭圆E 于A，B，C，D且M，N分别是弦AB，CD的中点（1）求椭圆的方程（2）求证：直线MN过定点R（，0）（3）求△MNF2面积的最大值．【解答】解：（1）∵椭圆E：（a＞b＞0）经过点P（，）且F1，F2与短轴的一个顶点Q构成一个等腰直角三角形，则b=c，a2=b2+c2=2b2，∴，解得a2=2，b2=1，∴椭圆方程为；（Ⅱ）证明：设直线AB的方程为x=my+1，m≠0，则直线CD的方程为x=﹣y+1，联立，消去x得（m2+2）y2+2my﹣1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣，y1y2=﹣，∴x1+x2=（my1+1）+（my2+1）=m（y1+y2）+2=，由中点坐标公式得M（，﹣），方法一：将M的坐标中的m用﹣代换，得CD的中点N（，），k MN=，直线MN的方程为y+=（x﹣），即为y=（x﹣1），令x﹣1，可得x=，即有y=0，则直线MN过定点R，且为R（，0），方法二：将M的坐标中的m用﹣代换，得CD的中点N（，），则y+=（x﹣），整理得：2（m4+m2﹣2）y=（m3+2m）（3x ﹣2），∴直线MN过定点R（，0）方法三：则k MR==，则k NR==，∴k MR=k NR，∴直线MN过定点R（，0）（3）方法一：△F2MN面积为S=|F2H|•|y M﹣y N|，=（1﹣）•|﹣﹣|=||=||令m+=t（t≥2），由于2t+的导数为2﹣，且大于0，即有在[2，+∞）递增．即有S=•=•在[2，+∞）递减，∴当t=2，即m=1时，S取得最大值，为；则△MNF2面积的最大值为方法二：|MF2|==，|NF2|=，则△MNF2面积S=×|MF2|×|NF2|=，令m+=t（t≥2），则S==≤，当且仅当t=2即m=1时，△MNF2面积的最大值为．∴△MNF2面积的最大值为．11．（2018•红桥区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，右顶点为A，直线BC过原点O，且点B在x轴上方，直线AB与AC分别交直线l：x=a+1于点E、F．（Ⅰ）若点B（，），求椭圆C的方程；（Ⅱ）若点B为动点，设直线AB与AC的斜率分别为k1，k2．①试探究：k1•k2是否为定值？若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由；②求△AEF的面积的最小值．【解答】解：（I）由题意可得：=，=1，a2=b2+c2，联立解得a2=8，b=2=c，∴椭圆C的方程为：+=1．（II）①k1•k2为定值．设B（x0，y0），C（﹣x0，﹣y0）.+=1．由=，a2=b2+c2，可得a2=2b2．则k1•k2=•===﹣=﹣．②设直线AB的方程为：y=k1（x﹣a），直线AC的方程为：y=k2（x﹣a），令x=a+1，则y E=k1，y F=k2，S△AEF=|EF|×1=|k2﹣k1|，由图形可得：k1＜0，k2＞0，k1•k2=﹣．=（k2﹣k1）×=，当且仅当k2=﹣k1=时取等号．∴S△AEF∴△AEF的面积的最小值为．12．（2018•全国四模）已知点F（﹣1，0）及直线l：x=﹣4，若动点P到直线l 的距离d满足d=2|PF|．（1）求点P的轨迹C的方程；（2）若直线PF交轨迹C于另一点Q，且=2，以P为圆心r=2|PQ|为半径的圆被直线l截得的弦为AB，求|AB|．【解答】解：（1）设点P（x，y），由题意|x+4|=2，两边平方并化简得，点P的轨迹方程是C：+=1；……4分（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由=2，∴（﹣1﹣x1，﹣y1）=2（x2+1，y2），∴y1=﹣y2；当PQ斜率为0或斜率不存在时不适合题意，设PQ：x=my﹣1（m≠0），由，消去x得（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0，……………6分由△=36m2﹣4（3m2+4）×（﹣9）＞0，且；…………………………8分∴•=﹣，解得m2=；∴，∴|PF|=|PQ|=，求得d=，；………………………10分设AB中点为M，则，∴．…………12分13．（2018•乌鲁木齐一模）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，且过点（1，）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点M（2，0）的直线交椭圆C于A，B两点，P为椭圆C上一点，O为坐标原点，且满足+=t，其中T∈（，2），求|AB|的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）依题意，有，解得a2=2，b2=1，∴椭圆方程+y2=1，（Ⅱ）由题意可知该直线存在斜率，设其方程为y=k（x﹣2），由得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，∴△=8（1﹣2k2）＞0，得k2＜，设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），∴x1+x2=，∴y1+y2=k（x1+x2﹣4）=﹣，由+=t得P（，），代入椭圆方程得t2=，由＜t＜2得＜k2＜，∴|AB|=•=2，令u=，则u∈（，），∴|AB|=2，令y=2u2+u﹣1，其对称轴为x=﹣，∴y=2u2+u﹣1在（，）单调递增，∴0＜y＜，∴0＜|AB|＜故|AB|的取值范围为（0，）。
高二数学讲义圆锥曲线中的面积问题
圆锥曲线中的面积问题【知识要点】一、三角形的面积问题（或转化到三角形） 二、对角线互相垂直的四边形的面积问题 三、焦点弦的三角形式及应用【典型例题】1．如图椭圆12222=+by a x (a >b >0)的上顶点为A ，左顶点为B , F 为右焦点，过F 作平行与AB 的直线交椭圆于C 、D 两点. 作平行四边形OCED ,点E 恰在椭圆上． （1）求椭圆的离心率；（2）若平行四边形OCED 的面积为6, 求椭圆方程2.设F 是抛物线G:x 2=4y 的焦点，设A 、B 为抛物线G 上异于原点的两点，且满足0·=FB FA ,延长AF 、BF 分别交抛物线G 于点C,D ，求四边形ABCD 面积的最小值.3.焦点弦的三角形式及应用（1）过抛物线x 2=2ay （a ＞0）的焦点F 用一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则qp 11+等于（ ） A.2a B.a21 C.a D.2a（2）（全国卷Ⅱ理）已知双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：的右焦点为F ,过F 且斜率C 于A B 、两点，若4AF FB =,则C 的离心率为( ) A.65 B.75C.85D.95（3）（全国卷Ⅱ理改）已知直线(2)(0)y k x k =->与抛物线C:x y 82=相交A 、B 两点，F 为C 的焦点。
若FB FA 2=,则k = ( )A. 1 C. 2 D.4. P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆2212y x +=上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点．已知PF 与FQ 共线，MF 与FN 共线，且0PF MF ⋅=．求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值．5.（重庆22）中心在原点O 的椭圆的右焦点为(30)F ，，右准线l 的方程为：12x =． （1）求椭圆的方程；（2）在椭圆上任取三个不同点1P ，2P ，3P ，使122331PFP P FP P FP ==∠∠∠， 证明：123111FP FP FP++为定值，并求此定值．课堂练习1.(山东卷文)设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F ,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为 ( ) A.24y x =± B.28y x =± C. 24y x = D. 28y x =2.（四川卷12）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C上且AK AF =，则AFK ∆的面积为 ( )A.4B.8C.16D.323.（海南卷14）过双曲线221916x y -=的右顶点为A ，右焦点为F,过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为____ __4.（全国二15）已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A B ，两点．设FA FB >，则FA 与FB 的比值等于5.过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 作倾角为30的直线，与抛物线分别交于A 、B 两点（A 在y 轴左侧），则AF FB=6.过椭圆2x 2+y 2=2的上焦点F ，作一直线L 交椭圆于P 、Q 两点，求∆POQ 的面积的最大值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
圆锥曲线面积问题试题精选11、如图，已知抛物线与圆相交于、、、四个点。
（I）求得取值范围；（II）当四边形的面积最大时，求对角线、的交点坐标2、在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线相交于A、B两点. （Ⅰ）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB 面积的最小值;（Ⅱ）是否存在垂直于y轴的直线，使得被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程;若不存在，说明理由.（此题不要求在答题卡上画图）3、（本小题满分14分）（注意：在试题卷上作答无效）过抛物线的对称轴上一点的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向直线作垂线，垂足分别为、。
（Ⅰ）当时，求证：⊥；（Ⅱ）记、、的面积分别为、、，是否存在，使得对任意的，都有成立。
若存在，求出的值；若不存在，说明理由。
4、如图所示，椭圆C：的一个焦点为F(1,0)，且过点(2,0)．(1)求椭圆C的方程;(2)已知A、B为椭圆上的点，且直线AB垂直于轴，直线：＝4与轴交于点N，直线AF与BN交于点M。
(ⅰ)求证：点M恒在椭圆C上；(ⅱ)求△AMN面积的最大值．5、圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦。
若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦。
已知点、是圆锥曲线C上不与顶点重合的任意两点，是垂直于轴的一条垂轴弦，直线分别交轴于点和点。
（1）试用的代数式分别表示和；（2）若C的方程为（如图），求证：是与和点位置无关的定值；（3）请选定一条除椭圆外的圆锥曲线C，试探究和经过某种四则运算（加、减、乘、除），其结果是否是与和点位置无关的定值，写出你的研究结论并证明。
（说明：对于第3题，将根据研究结论所体现的思维层次，给予两种不同层次的评分）6、已知椭圆的离心率为，且过点为其右焦点.，（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点的直线与椭圆相交于、两点（点在两点之间），若与的面积相等，试求直线的方程.7、已知抛物线和直线没有公共点（其中、为常数），动点是直线上的任意一点，过点引抛物线的两条切线，切点分别为、，且直线恒过点.（1）求抛物线的方程；（2）已知点为原点，连结交抛物线于、两点，证明：.8、已知双曲线（）的一个焦点坐标是，一条渐近线方程是．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）若斜率为的直线与该双曲线相交于不同的两点、，且线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形面积为，求实数的取值范围．9、如图，已知曲线与曲线交于点．直线与曲线分别相交于点．（Ⅰ）写出四边形的面积与的函数关系；（Ⅱ）讨论的单调性，并求的最大值．11、设点是椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点，为的内心，若，则该椭圆的离心率是（）(A) (B) (C) (D)12、下列四个命题中不正确的是（）（A）若动点与定点、连线、的斜率之积为定值，则动点的轨迹为双曲线的一部分（B）设，常数，定义运算“”：，若，则动点的轨迹是抛物线的一部分（C）已知两圆、圆，动圆与圆外切、与圆内切，则动圆的圆心的轨迹是椭圆（D）已知，椭圆过两点且以为其一个焦点，则椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线参考答案一、综合题1、分析：（I）这一问学生易下手。
将抛物线与圆的方程联立，消去，整理得．．．．．．．．．．．．．（＊）抛物线与圆相交于、、、四个点的充要条件是：方程（＊）有两个不相等的正根即可.易得.考生利用数形结合及函数和方程的思想来处理也可以．（II）考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。
因此利用设而不求、整体代入的方法处理本小题是一个较好的切入点．设四个交点的坐标分别为、、、。
则由（I）根据韦达定理有，则令，则下面求的最大值。
方法一：利用三次均值求解。
三次均值目前在两纲中虽不要求，但在处理一些最值问题有时很方便。
它的主要手段是配凑系数或常数，但要注意取等号的条件，这和二次均值类似。
当且仅当，即时取最大值。
经检验此时满足题意。
方法二：利用求导处理，这是命题人的意图。
具体解法略。
下面来处理点的坐标。
设点的坐标为：以下略。
2、本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．解法1：（Ⅰ）依题意，点的坐标为，可设，直线的方程为，与联立得消去得．由韦达定理得，．于是．，当，．（Ⅱ）假设满足条件的直线存在，其方程为，设的中点为，与为直径的圆相交于点，的中点为，则，点的坐标为．，，，．令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线．解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得，又由点到直线的距离公式得．从而，当时，．（Ⅱ）假设满足条件的直线存在，其方程为，则以为直径的圆的方程为，将直线方程代入得，则．设直线与以为直径的圆的交点为，则有．令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线．3、解：依题意，可设直线MN的方程为，则有（Ⅰ）如图1，当时，点即为抛物线的焦点，为其准线此时①可得证法1：证法2：(Ⅱ)存在，使得对任意的，都有成立，证明如下：证法1：记直线与x轴的交点为,则。
于是有将①、②、③代入上式化简可得上式恒成立，即对任意成立证法2：如图2，连接,则由可得,所以直线经过原点O，同理可证直线也经过原点O又设则二、计算题4、方法一：(1)解：由题设，从而，所以椭圆C的方程为＋＝1. ………………………………3分(2)(i)证明：由题意得F(1,0)、N(4,0)．设，则，.①AF与BN的方程分别为：.设，则有由上得由于＝＝1.所以点M恒在椭圆C上．………………………………7分(ⅱ)解：设AM的方程为，代入，得ks5u设、，则有，.＝＝.令，则＝因为函数在为增函数，所以当即时，函数有最小值4.即时,有最大值3，此时AM过点F. ………………………11分△AMN的面积S△AMN＝·有最大值.………………………12分5、解．（1）因为是垂直于轴的一条垂轴弦，所以则……………. 2分[来源:学科网]令则……………. 4分同理可得：，……………. 6分（3）第一层次：①点是圆C：上不与坐标轴重合的任意一点，是垂直于轴的垂轴弦，直线分别交轴于点和点，则。
……………. 16分证明如下：由（1）知：在圆C：上，，则是与和点位置无关的定值②点是双曲线C：上不与顶点重合的任意一点，是垂直于轴的垂轴弦，直线分别交轴于点和点，则。
……………. 16分是与和点位置无关的定值第二层次：点是抛物线C：上不与顶点重合的任意一点，是垂直于轴的垂轴弦，直线分别交轴于点和点，则。
…………. 18分证明如下：由（1）知：，在抛物线C：上，则是与和点位置无关的定值6、解：（Ⅰ）因为，所以，. …………………………………1分设椭圆方程为，又点在椭圆上,所以，解得，…………………………………………………………………………3分所以椭圆方程为. …………………………………………………………4分（Ⅱ）易知直线的斜率存在,设的方程为，……………………………………………………………5分由消去整理，得，………………………………………………6分由题意知，解得. ……………………………………………………………………7分设，，则，①，.…②.因为与的面积相等，所以，所以③……………………………………10分.④由①③消去得.⑤将代入②得.将④代入⑤，整理化简得，解得，经检验成立. …………………………12分所以直线的方程为. ……………………………13分7、解：（1）如图，设，的方程为同理得设代入上式得，即，满足方程故的方程为………………4分上式可化为，过交点∵过交点，∴，∴的方程为………………6分（2）要证，即证设，则 (1)∵，∴直线方程为，与联立化简∴……①……②…………10分把①②代入（Ⅰ）式中，则分子 (2)又点在直线上，∴代入Ⅱ中得：∴故得证………………14分8、解：（1）如图，设，由，得∴的斜率为的方程为同理得设代入上式得，即，满足方程故的方程为………………4分上式可化为，过交点∵过交点，∴，∴的方程为………………6分（2）要证，即证设，则 (Ⅰ)∵，∴直线方程为，与联立化简∴……①……②…………10分把①②代入（Ⅰ）式中，则分子 (Ⅱ)又点在直线上，∴代入Ⅱ中得：∴故得证………………14分9、解：（Ⅰ）因为双曲线的方程为（）．由题设得，解得，所以双曲线方程为．（Ⅱ）设直线的方程为（）．点，的坐标满足方程组将直线的方程代入双曲线方程得，整理得．此方程有两个不等实根，于是，且．整理得． 由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足 ，． 从而线段的垂直平分线方程为． 此直线与轴，轴的交点坐标分别为，． 由题设可得．整理得，． 将上式代入得，整理得 ，． 该不等式等价于 或 解得或． 所以的取值范围是．10、解：（Ⅰ）由 题意得交点O 、A 的坐标分别是（0，0），（1，1）． …………（2分）（一个坐标给1分）f （t ）=S △ABD +S △OBD =|BD|·|1-0|=|BD|=（-3t 3+3t ），即f （t ）=-（t 3-t ），（0<t<1）． …………（6分）（不写自变量的范围扣1分） （Ⅱ）f ＇（t ）=-t 2+．…………（8分）令f＇（t）=0 解得t=．…………（10分）当0<t<时，f＇（t）>0，从而f（t）在区间（0，）上是增函数；当<t<1时，f＇（t）<0，从而f（t）在区间（，1）上是减函数．…………（12分）所以当t=时，f（t）有最大值为f（）=．…………（14分）三、选择题11、A12、D。