函数的单调性-全国第八届青年数学教师优质课展示课件与教学设计

知识应用 拓展延伸
探究二 例1: 用定义证明:函数f(x)=2x+1在其定义 域上是增函数.
证明：在区间（-∞，+∞）上任取两个自变
量值x1,x2,设x1<x2,
f(x1)-f(x2)=(2x1+1)-(2x2+1)=2x1-2x2 =2(x1-x2)
∵x1<x2 ∴x1 -x2<0 ∴2(x1-x2)<0
2.减函数： 一般地，设函数 f(x)的定义域为Ｉ： 如果对于定义域Ｉ内某个区间D上的任意两个自变量的值x1 , x2 ，当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2)，函数f(x)在区间D上是减函 数(decreasing function).
3. 如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函 数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严
判断辨析 巩固概念
判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误 的打“×”)
(1)定义域为[0,+∞)的函数f(x)，满足f(n)<f(n+1)，n=0,
1,2,3, …，则称函数f(x)在[0,+∞)上是增函数． ( )
(2)对于定义域内的区间D,若任意x1,x2 ∈D,当x1>x2,都有
f(x1)>f(x2),则函数f(x)在D上是增函数.
如果对于定义域Ｉ内某个区间D上的任意两个自变 量的值x1 , x2 ，当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2)，
函数f(x)在区间D上是减函数(decreasing function).
y
y = f (x)
f(x1)
o
x1
f(x2)
x2
x
严格定义 理解概念
1.增函数： 一般地，设函数 f(x)的定义域为Ｉ： 如果对于定义域Ｉ内某个区间D上的任意两个自变量的值x1 , x2 ，当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2)，函数f(x)在区间D上是增函 数(increasing function).
取值 作差变形
∴f(x1)-f(x2)<0 即f(x1) < f(x2)
定号
∴函数f(x)=2x+1在其定义域上是增函数.
下结论
知识应用 拓展延伸
探究三 （小实验）
教师演示:向上拉动活塞，在实验仪器中用手 指封住一定量的气体，记下此时仪器上的刻度， 用力向下压活塞并记下此时仪器上显示的刻度， 结合手指的感觉,猜想压强P随体积V的变化规
函数f(x)在区间D上是增函数(increasing function).
y y = f (x)
f(x1)
f(x2)
o
x1
x2
x
严格定义 理解概念
根据增函数的定义，谈谈你对“f(x)=x2 在区间 (0,+∞) 上是增函数”是怎样理解的？
y f (x) = x2
o
x
严格定义 理解概念
2.减函数： 一般地，设函数 f(x)的定义域为Ｉ：
探索归纳 建构定义
观察图像，说出函数的变化规律.
y
f (x) = x
y f (x) = x 1
y f (x) = x2
o
x
o
x
o
x
探究一
问题1:根据上面的描述,对比函数f(x)=x与 f(x)=x2在区间（-∞，+∞）上的变化规律，说
出它们的不同点？
探索归纳 建构定义
y
f (x) =பைடு நூலகம்x
y
f (x) = 2x+1
函数的单调性函数的单调性全国第八届青年数学全国第八届青年数学教师优质课展示课件与教学设计教师优质课展示课件与教学设计创设情境引入新知创设情境引入新知承德8月8日024时气温曲线图101214161820222410152025303540143684251观察图像结合已学过的函数观点你能说出这一天的气温变化规律吗
()
变式：函数f(x)在D 上是增函数，若任意x1,x2∈D， f(x1)>f(x2)，则有x1_____x2
(3)若任意x1,x2 ∈D,都有（x1-x2）[f(x1)-f(x2)],>0,则函
数f(x)在D上是增函数.
()
知识应用 拓展延伸
探究二 例1: 用定义证明:函数f(x)=2x+1在其定义 域上是增函数.
y f (x) = x2
o
x
o
x
o
x
探究一
问题2:请归纳函数f(x)=x,f(x)=2x+1和函数 f(x)=x2(x>0)的共同特征.
探索归纳 建构定义
试用符号语言表述函数y=f(x)在区间D上是增函数.
y y = f (x)
f(x1)
o x1
f(x2) x2 x
探索归纳 建构定义
探究一
讨论：在函数 f (x) = x2 的定义域（ - ， ）上，取 两个自变量值设 x1 = 1,x 2 = 2 ，由 x1 x2 ， 计算得相应的函数值
探究四
“函数 f (x) = 1 在定义域 (,0) (0,)
x
上是减函数”，这个说法正确吗？并给出理由.
y
请写出 f (x) = 1 的单调
x
区间________
o x
回顾反思 提炼小结
本节课你有哪些收获?
知识 函数的单调性
数学思想方法
数形结合
归纳类比
河北承德第一中学欢迎您
函数的单调性 授课人：郝晶
创设情境 引入新知
避暑山庄
和合承德
创设情境 引入新知
承德8月8日0～24时气温曲线图
T（℃）
(14，36.8）
40
35
30
25
(4，25.1）
20
15
10 5
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 t(h)
观察图像，结合已学过的函数观点,你能说出这一 天的气温变化规律吗？
y
5 4 3 2 1 -3 -2 -1 0 1
f (x) = x2
2 3x
f (x1) f (x2 ) ， 则 称 函 数
f (x) = x2 在（ - ， ）上 是 增函数，这种说法对吗？
严格定义 理解概念
1.增函数： 一般地，设函数 f(x)的定义域为Ｉ：
如果对于定义域Ｉ内某个区间D上的任意两个自变 量的值x1 , x2 ，当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2)，
律．你的猜想是：？
对于一定量的气体，当体积V减小时，压
强P将增大.
知识应用 拓展延伸
探究三
例2. 物理学中的玻意耳定律 p(V ) = k (k V
是常数且 k 0)告诉我们，对于一定量的气体， 当体积V减小时，压强P将增大．试用函数的单 调性证明.
难点突破
详细证明
交流展示
知识应用 拓展延伸
格的）单调性，区间D叫做 y=f(x)的单调区
间.
严格定义 理解概念
承德8月8日0～24时气温曲线图
T（℃）
40
(14，36.8）
35
30
25
(4，25.1）
20
15 10 5
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 t(h)
问题3：观察图象，说出函数的单调区间，以及在 每一个区间上是增函数还是减函数 .