有限区间内的正态分布

有

云南省曲靖农业学校 刘弘

如果随机变量ξ的分布函数为()()2

2

221

σμσ

πϕ--

=

x e x ，则称ξ服从于

正态分布，其中ξ的取值区间为+∞<<∞-x 。由于许多随机变量是在有限区间内取值的，尽管他们的分布具有中间密、两侧疏和左右对称的特点，用()x ϕ作为他们的分布密度函数，在不同程度上都会失去其精确性，为此有必要寻求有限区间内的正态分布密度函数。本文论述有限区间内的正态分布密度函数，并论述他与无限区间内的正态分布密度函数的一致性，以及这种分布的概率计算问题。 一、 有限正态分布密度函数

如果随机变量ξ的取值区间为()()0,,>+-a a a μμ，并且他的分布密度函数为

()()()()

()

⎪⎩⎪⎨⎧+<<-⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡---∙+=+其余0

1)1(!2!!122

2

1a x a a x a k k x f k

k k k μμμ （1）

K=0，1，2，3，…

则称ξ服从于有限正态分布,在不失一般性的情况下,设μ=0,得到有限区间),(a a -内的正态分布密度函数：

()()()

()

⎪⎩⎪

⎨⎧<<-⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡--∙+=+其余0

1)1(!2!!12221a x a a x a

k k x f k

k

k k （2）

显然()x f k 具有如下基本性质：

性质1 )(x f k 的图象关于直线x=0对称； 性质2 x 在区间();0,),(≥+∞-∞x f k 内

性质3 ()()()()内递减在内递增在区间a a k x f k ,0,0,0-≠。

性质4

()1=⎰

+∞

∞

-dx x f

今对性质4证明如下： 引理 对于任何()=x f k ()()k

k

k a x a

k k ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--++11!

2!!12221 (k=1,2,3,···),递推公式

()()

()⎰⎰

-++=

dx x f k x xf dx x f k k k 11

2 (3) 都成立。 事实上，按照分部积分法有

()()()⎰

⎰-=x xdf x xf dx x f k k

k

()()()()()()()()⎰⎰⎰⎰

--+-++-=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛--∙

+=∴⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛--+=dx

x f k dx x f k dx a

x a x a k k k x xdf dx a x

a x a

k k k

x df k k k k k k k k

k k

122

1

22

12

1

22

11221)1(!

2!!12211!

2!!122

由此

()()()()()⎰⎰⎰

-++-=dx

x f k dx x f k x xf dx x f k k

k

k

1122

移项整理后得

()()()⎰

⎰-++=

dx x f k x xf dx x f k k k 112。

所以（3）式成立。下面证明性质4：

()()()⎰⎰⎰--∞

+∞

-==⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛--∙==a a a

a dx a dx a x a

x f k 12111!02!!1,010

220

0时当。 ()(),1,4121⎰+∞

∞--=-=dx x f n K n 即成立性质设则K=n 时，按照递推公式

（3），得到

()()()()()()1111!2!!12121222

11=+-⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--++=

+-+==+∞+∞

---∞

+∞

-⎰⎰

⎰

a a

a x a

n n n x dx

x f a a

n x xf dx x f dx x f n

n

n n n a

a

n n

根据数学归纳法原理，对于任何K （K=0，1，2… ）都有

()⎰

+∞

∞

-=1

dx x f k 。

由于()x

f k 具有以上四个基本性质，他可以作为有限正态分布的分布密度函数，他的函数图形如下：

上面我们作出了5,4,3,2,1,0,1==k a 时的有限正态分布密度函数的图形，分别称为零阶有限正态分布、一阶有限正态分布、二阶有限正态分布、……，可以看出，零阶有限正态分布就是均匀分布。 二、有限正态分布与无限正态分布的一致性

为了分析有限正态分布与无限阶正态分布的一致性，我们先计算有限阶正态分布的方差，根据方差的定义，当数学期望0=μ时，有限正态随机变量ξ的方差为

()()()()()()()()()()()()()3

2]32121[321211!2

!!1211!12!!32321211!

2!!1222

2

12

22

1

21

221

22

2222

12+=

++-=+++-=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛--++⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--++++-=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛--+==⎰⎰⎰

⎰⎰

⎰∞+∞-∞+∞

-+-+-+++-+∞+∞

-k a k k a dx

x f a dx x f k k a dx

a x a

k k a dx

a x a k k k k a dx a x a x a k k dx x f x D k k a a

k

k k a a k k k a

a

k

k k k ξ

即

3

22

+=k a D ξ （4）

再设有限区间()a a ,-内的正态分布和无限区间内的正态分布有相同的方差，即

σσ323

222

+==+k a k a 或 （5） 将（5）式代入（2）式得

()()()()()()()

⎪⎩

⎪⎨⎧<<-⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-++-+=+其余0132321!2!!122211a x a k x k k k x f k

k k k σσ

不难证明

()2

2221lim σσ

πx k a e

x f -

∞

→=

(6)

事实上，在区间()a a ,-内

()()()()()k

k k k x k k k x f ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+-+⋅+=+2221

21

2321321

!2!12σσ

由（5）式可知，当,,∞→∞→k a 时根据斯特林公式 n n e n n -+≈2

1

2!π

可以得到