考研数学(数学二)模拟试卷282(题后含答案及解析)

考研数学（数学二）模拟试卷282(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设，则当x→0时，f(x)是g(x)的( )．
A．低阶无穷小
B．高阶无穷小
C．等价无穷小
D．同阶但不等价的无穷小
正确答案：B
解析：因为，所以f(x)是g(x)的高价无穷小，因而选(B)．
2．设周期函数f(x)在(-∞，+∞)内可导，周期为4，又，则曲线y=f(x)在点(5，f(5))处的切线的斜率为( )．
A．1／2
B．0
C．-1
D．-2
正确答案：D
解析：由题设，f(x)的周期为4，则所求点(5，f(5))处切线的斜率应该与(1，f(1))处的斜率相同，则由导数定义知即为所求斜率，又由所以点(5，f(5))处切线的斜率为-2．选(D)。

3．设函数f(x)连续，F(u，v)=，其中区域Duv为图中阴影部分，则=( )．A．vf(u2)
B．
C．vf(u)
D．
正确答案：A
解析：在极坐标系下，，故应选(A)．
4．设f(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，且满足，则函数f(x，y)在点(0，0)处( )．
A．取极大值
B．取极小值
C．不取极值
D．无法确定是否有极值
正确答案：A
解析：因为，根据极限保号性，存在δ＞0，当，而x2+1＞1＞0，所以当，有f(x，y)-f(0，0)＜0，即f(x，y)＜f(0，0)，所以f(x，y)在点(0，0)处取极大值，选(A)．
5．设函数y=y(x)由参数方程，确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x 轴交点的横坐标是( )．
A．
B．
C．-8ln2+3
D．8ln2+3
正确答案：A
解析：由题意可知，当x=3时，t=1，t=-3(不合题意，舍)，有求得y=y(x)在x=3处的法线方程为y=ln2-8(x-3)．令y=0，得法线与x轴交点的横坐标为x=(1/8)ln2+3．所以选(A)．
6．设常数k＞0，函数f(x)=lnx-(x/e)+k在(0，+∞)内零点的个数为( )．A．3
B．2
C．1
D．0
正确答案：B
解析：因为，得x=e．易知f(x)在内(0，e)单调增加，在(0，+∞)内单调减少，且f(e)=k＞0，而，可见在f(x)在(0，e)和(e，+∞)分别有且只有一个零点，从而f(x)在(0，+∞)内有两个零点．选(B)
7．设a1，a2，…，as均为n维列向量，A是m×n矩阵，则下列选项正确的是( )．
A．若a1，a2，…，as线性相关，则Aa1，Aa2，…，Aas线性相关
B．若a1，a2，…，as线性相关，则Aa1，Aa2，…，Aas线性无关
C．若a1，a2，…，as线性无关，则Aa1，Aa2，…，Aas线性相关
D．若a1，a2，…，as线性无关，则Aa1，Aa2，…，Aas线性无关
正确答案：A
解析：用秩的方法判断线性相关性．因为(Aa1，Aa2，…，Aas)=A(a1，a2，…，as)，所以r(Aa1，Aa2，…，Aas)≤r(a1，a2，…，as)．又若a1，a2，…，as 线性相关，则r(a1，a2，…，as)＜s，从而r(Aa1，Aa2，…，Aas)＜s．所以Aa1，Aa2，…，Aas线性相关，故选(A)．
8．设A，B为同阶可逆矩阵，则( )．
A．AB=BA
B．存在可逆矩阵P，使P-1AP=B
C．存在可逆矩阵C，使CTAC=B
D．存在可逆矩阵P和Q，使PAQ=B
正确答案：D
解析：由题设，选项(A)表示可逆矩阵乘法满足交换律，显然不能成立；(B)表示A与B相似，(C)表示A与B合同，这都是不成立的，所以(A)、(B)、(C)皆可排除；关于(D)，设A，B的逆矩阵分别为A-1，B-1，则有BAA-1=B，取P=B，Q=A-1，则PAQ=B，从而(D)成立．综上，选(D)．
填空题
9．设函数f(x)=，则函数f[f(x)]=__________．
正确答案：1
解析：由f(x)=，知｜f(x)｜≤1．因此有f[f(x)]=1．
10．方程yy’’=1+y’2满足初始条件y(0)=1，y’(0)=0的通解为__________．
正确答案：±x
解析：令y’=p，则解得ln(1+p2)=lny2+lnC1，则1+p2=C1y2，由y(0)=1，y’(0)=0得y’=由y(0)=1得C2=0，所以特解为
11．已知曲线y=f(x)过点(0，- 1/2)，且其上任一点(x，y)处的切线斜率为xln(1+x2)，则f(x)=__________．
正确答案：
解析：由已知得y’=xln(1+x2)，于是代入条件
12．设函数y=y(x)由方程ex+y+cos(xy)=0确定，则dy/dx=__________．
正确答案：-2
解析：方程两边对x求导得ex+y(1+y’)-sin(xy)(xy’+y)=0．解得
13．下列两个积分的大小关系是：
正确答案：
解析：因为y=ex在实数域内严格单调增加，又在区间[-2，-1]上1≤-x3≤8，-8≤x3≤-1，所以在区间[-2，-1]上e≤e-x3≤e8，e-8≤ex3≤e-1＜e，由定积分的性质知
14．在函数f(x)=中，x3的系数是__________．
正确答案：2
解析：x3的系数只要考察2x=-2x3+4x2．所以x3前的系数为2．
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．设
正确答案：
16．求极限
正确答案：原式由此得a=-2，β=1，故原方程为y’’-2y’+y=γe2x，将ex 代入得γ=1，故得原方程为y’’-2’+y=e2x，其通解为y=(C1+C2x)ex+e2x
17．设f(x)为[0，1]上的单调增加的连续函数，证明
正确答案：
18．设二阶常系数微分方程y’’+ay’+βy=ye2x有一个特解为y=e2x+(1+x)ex，试确定a、β、γ和此方程的通解．
正确答案：由此方程的非齐次项含e2x及特解形式知，e2x是非齐次方程的特解，而由线性微分方程解的性质知(1+x)ex应是其对应的齐次方程的解，故r=l为此方程的齐次方程的特征方程的二重根，故特征方程为r2-2r+1=0，由此得a=-2，β=1，故原方程为y’’-2y’+y=γe2x，将ex代入得γ=1，故得原方程为y’’-2’+y=e2x，其通解为y=(C1+C2x)ex+e2x
19．证明方程在区间(0，+∞)内有且仅有两个不同实根．
正确答案：记令由f’(x)=0得唯一驻点x=e，且f’(x)在此由正变负，x=e是极大点也是最大点，最大值为f(e)=k＞0；又由，知f(x)在(0，e)与(e，+∞)各有且仅有一个零点，即f(x)在(0，+∞)有且仅有两个零点．
20．已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x=0的某个邻域内满足关系式f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+a(x)，其中a(x)是当x→0时比x高阶的无穷小，且f(x)在x=1处可导，求曲线y=f(x)在点(6，f(6))处的切线方程．
正确答案：题设要求切线方程，因此只需知道切点坐标及该点处切线斜率即可，由已知f(x)是周期为5的连续函数，因而求f’(6)及f(6)就等价于求f’(1)及f(1)，由关系式f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+a(x)，再根据导数的定义，有其中f(1)可由下述步骤确定：在原关系式中令x→0并结合f(x)的连续性可得f(1)-3f(1)=0，即f(1)=0，则由因此f’(1)=2，由周期性知f’(6)=f’(1)=2，f(6)=f(1)=0，所以待求切线方程为y=2(x-6)，即2x-y-12=0．
21．计算二重积分，其中D={(x，y)｜x2+y2≤x+y+1}．
正确答案：
22．设四阶矩阵，且矩阵A满足关系式A(E-C-1B)TCT=E，其中E 为四阶单位矩阵，C-1表示C的逆矩阵，CT表示C的转置矩阵，将上述关系式化简并求矩阵A．
正确答案：知(AB)T=BTAT，知(E-C-1B)TCT=[c(E-C-1B)]T=(C-B)T．那么由A(C-B)T=E知A=[(C-B)T]-1=[(C-B)-1]T．
23．设A，B为同阶方阵，(Ⅰ)如果A，B相似，试证A，B的特征多项式相等．(Ⅱ)举一个二阶方阵的例子说明(Ⅰ)的逆命题不成立．(Ⅲ)当A，B 均为实对称矩阵时，试证(Ⅰ)的逆命题成立．
正确答案：(I)若A，B相似，那么存在可逆矩阵P，使P-1AP=B，故｜λE-Bl｜=｜λE-P-1AP-1｜=｜P-1λEP-P-1AP｜=｜P-1(AE-A)P｜=｜P-1｜｜λE-A｜｜P｜=｜λE-A｜．(Ⅱ)令A=，B=，那么｜λE-A｜=λ2=｜λE-B｜．但A，B不相似，否则，存在否逆矩阵P，使P-1AP=B=0．从而A=POP-1=0，矛盾，亦可从r(A)=1，r(B)=0而知A与B不相似．(Ⅲ)由A，B均为实对称矩阵知，A，B均相似于对角阵．若A，B的特征多项式相等，记特征多项式的根为λ1，…，λn，则有A相似于，B也相似于即存在可逆矩阵P，Q使P-1AP==Q-1BQ．于是(PQ-1)-1A(PQ-1)=
B．由PQ-1为可逆矩阵知，A与B相似．。