四川省眉山一中办学共同体2019届高三10月月考数学(理)试卷

2019级10月月考（理科数学）
一、选择题（每小题5分，12小题，共60分）
1.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
，所以，故选A.
2.已知复数满足，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
，故选C.
3.若，则正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
运用不等式对四个选项逐一分析
【详解】对于，，，，则，故错误
对于，若，则，即，这与矛盾，故错误
对于，，，，则，故错误
对于，，，故正确
故选
【点睛】本题考查了不等式的性质，由未知数的范围确定结果，属于基础题。

4.函数的零点所在的一个区间是（）．
A. （－2，－1）
B. （－1,0）
C. （0,1）
D. （1,2）
【答案】B
试题分析：为增函数，且，所以零点所在区间是．
考点：零点与二分法．
5.将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
将函数的图象向左平移个单位后，得到
故选B
6.在区间[0，2]上随机取一个数x，使的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求解出的结果，运用几何概型求出概率
【详解】在区间上随机取一个数，使
则
解得
所求概率
故选
【点睛】本题主要考查了几何概型，先根据题意求出不等式的解集，然后运用几何概型求出概率，较为基础。

7.已知等差数列的前项和为，若，则（）
A. 36
B. 72
C. 144
D. 288
【解析】
因为是等差数列，又，，故选B. 8.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
还原几何体，然后计算出几何体外接球表面积
【详解】
如图，先还原几何体得到三棱锥，其边长如图，
可以将其补成一个长方体，其体对角线为外接球的直径，
即，，
故其外接球表面积为，
故选
【点睛】本题考查了还原三视图，然后求几何体外接球的表面积，先还原几何体，在计算外
接球的直径时可以将几何体补成一个长方体，然后计算，需要掌握解题方法。

9. 执行如图中的程序框图，若输出的结果为21,则判断框中应填（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：模拟程序框图执行过程，如下；
开始，，不输出，进入循环，1是奇数？是，，
不输出，进入循环，2是奇数？否，，不输出，进入循环，3是奇数？是，，不输出，进入循环，
4是奇数？否，不输出，进入循环，
5是奇数？是，，不输出，进入循环，
6是奇数？否，，退出循环，输出21，
∴判断框中的条件是：
故选C．
考点：程序框图.
10.下列四个图中，函数的图象可能是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
∵是奇函数，向左平移一个单位得，∴图象关于中心对称，故排除A、D，当时，恒成立，排除B．故选：C
11.已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，A、B是以O（O
为坐标原点）为圆心、|OF1|为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点，且△F2AB是正三角形，则此椭圆的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：因为是正三角形，可知点的坐标为，代入椭圆方程化简即可求出该椭圆的离心率为.
考点：椭圆的离心率的求法.
12.已知函数是定义在区间上的可导函数，为其导函数，当且时，
，若曲线在点处的切线的斜率为，则的值为（）A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知条件构造新函数，然后运用导数求导后得极值，代入求解
【详解】①若，则
②若，
令
在时取得极值
故选
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，并求出原函数的值，在求解过程中需要构造新函数，然后结合题中条件进行转化运用，需要掌握此类题目的解题方法。

二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13.设变量、满足约束条件则的最大值为______.
【答案】5
【解析】
【分析】
先画出可行域，然后求出最大值
【详解】
如图，先画出可行域，由，得，
当即时，，
所以的最大值为
【点睛】本题考查了线性规划求最值，在解题中一般步骤：画出可行域、改写目标函数、取出最值情况、代入求值。

14.已知命题是假命题，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】
先求出命题的否定，得到真命题，然后求解
【详解】命题是假命题，
其否定“”为真命题
当时，显然成立
当时，恒成立可化为：
解得
综上所述，实数的取值范围是
故答案为
【点睛】本题主要考查了命题的真假判断和应用，在解题过程中先求出命题的否定得到真命题，然后再求解，较为基础。

15.将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子里，每个盒内放一个球，恰好3个球的标号与其在盒子的标号不．一致的放入方法种数为______.
【答案】240
【解析】
【分析】
先确定标号与其在盒子的标号不．一致的3个球，是组合问题，结合题意，可得其排法数，进而分析可得三个标号与其在盒子的标号不一致的排法数，用分步计数原理计算可得答案
【详解】根据题意，先确定标号与其在盒子的标号不．一致的3个球，
即从10个球中取出3个球，有种
而这3个球的排法有种
则共有种
故答案为
【点睛】本题主要考查了排列，组合的运用以及分步计数原理，注意排列，组合意义的不同，以免混用。

16.已知f（x）=3xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣4，对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，则实数a的取值范围是____．
【答案】
【分析】
先把已知等式转化为，设，对函数求导，利用导函数的单调性求解即可
【详解】即
整理可得：
令
则
当时，单调递减
当时，单调递增
所以
故，实数的取值范围是
【点睛】本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值，分离参数法和等价转化是解决本题的关键，考查了学生对函数基础知识的理解和灵活应用，属于中档题。

三、解答题（共6小题，其中选做题10分，其余各题均为12分，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.在锐角三角形中，角的对边分别为，且
（1）求角
（2）若，求的最大值。

【答案】（1）；（2）4
【解析】
【分析】
⑴由条件利用余弦定理求得，再由是锐角三角形可求得答案
⑵把代入利用正弦定理转化为角的问题
【详解】（1）由余弦定理得：
即
是锐角三角形
（2）由⑴可得：
当时，由正弦定理可得：
，
故
当时，
【点睛】本题主要考查了余弦定理和正弦定理的应用，熟练运用公式来求解是本题关键，在第二问中将边的问题转化为角的问题，然后运用辅助角公式进行化简求出结果。

18.已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=2,且满足a n+1=S n+2n+1(n∈N*).
(1)证明：数列为等差数列;
(2)求T n=S1+S2+…+S n.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
⑴由条件可知，即，整理可得，即可证明数列
为等差数列
⑵由⑴可知，即，利用错位相减法与等比数列的前项和公式即可得
出
【详解】(1)证明:由S n+1-S n=a n+1得S n+1-S n=S n+2n+1,即S n+1-2S n=2n+1,
整理得
因为n=1时,
所以数列是以1为首项,1为公差的等差数列.
(2)解:由(1)可知,
即S n=n·2n,
令T n=S1+S2+…+S n,T n=1·2+2·22+…+n·2n,①
2T n=1·22+…+(n-1)·2n+n·2n+1,②
①-②,得-T n=2+22+…+2n-n·2n+1,
整理得T n=2+(n-1)·2n+1.
【点睛】本题主要考查了等差数列的确定以及数列的求和，由已知条件进行化简即可证明结论，在遇到形如的数列时，由等差数列和等比数列构成的新数列求和采用错位相减法。

19.随着支付宝、微信等支付方式的上线，越来越多的商业场景可以实现手机支付．为了解各年龄层的人使用手机支付的情况，随机调查50次商业行为，并把调查结果制成下表：
(1)若从年龄在 [55，65）的被调查者中随机选取2人进行调查，记选中的2人中使用手机支付的人数为，求的分布列及数学期望；
(2)把年龄在[15，45）称为中青年，年龄在[45，75）称为中老年，请根据上表完2×2列联表，是否有以上的把握判断使用手机支付与年龄（中青年、中老年）有关联？
可能用到的公式：
独立性检验临界值表：
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
试题分析：（1）超几何分布列（2）根据上表填2×2列联表，根据公式算出卡方与数据进行比较。

试题解析：（1）年龄在 [55，65）的被调查者共5人，其中使用手机支付的有2人，则抽取的2人中使用手机支付的人数X可能取值为0,1,2
；；
所以X的分布列为
（2）2×2列联表如图所示
没有以
上的把握判断使用手机支付与年龄（中青年、中老年）有关联
20.如图，在四棱锥中，底面，，，点为棱的中点.
（1）证明：；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】
试题分析：
(1)利用题意首先证明面然后利用线面垂直的结论可得.
(2)建立空间直角坐标系，由平面的法向量可求得二面角的余弦值为．
试题解析：
⑴证明：取中点，连接
分别是的中点
四边形是平行四边形
面,
面
⑵以点为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则
设面的法向量为
由，令，即
面的一个法向量
设二面角的大小为，则
21.设函数,已知曲线y=f(x)
在处的切线与直线垂直。

(1) 求的值；
(2) 若对任意x≥1，都有，求的取值范围．
【答案】(1) b＝1(2) (，-－1)∪(－1，1)
【解析】
试题分析：（1）求出函数导数，由两直线垂直斜率之积为-1，解方程可得
（2）求出导数，对讨论，①若，则；②若
，则；③若三种情况分别求出单调区间，可得最小值，解不等式即可得到所求范围．
试题解析：(1)曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为2，所以f′(1)＝2，又f′(x)＝ln x＋＋1，即ln 1＋b＋1＝2，所以b＝1.
(2) g(x)的定义域为(0，＋∞)，
g′(x)＝＋(1－a)x－1＝(x－1).
①若a≤，则≤1，故当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增. 所以，对任意x≥1，都有g(x) ＞的充要条件为g(1) ＞，即－1＞，解得a ＜－－1或－1 ＜a≤
②若＜a＜1，则＞1，故当x∈时，g′(x)＜0；当x∈时，g′(x)＞0.f(x)在上单调递减，在上单调递增.
所以，对任意x≥1，都有g(x) ＞的充要条件为g＞.而g＝aln＋
＋＞在＜a＜1上恒成立，
所以＜a＜1
③若a＞1，g(x)在[1，＋∞)上递减，不合题意。

综上，a的取值范围是(，－－1)∪(－1，1)
【点睛】本题考查导数的运用：求切线斜率和单调区间，考查不等式恒成立问题解法，考查化简整理运算能力.解题时注意分类讨论思想的应用．
22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求曲线与直线的普通方程；
（2）若点在曲线上，在直线上，求的最小值.
【答案】（1），；（2）2
【解析】
【分析】
⑴曲线的参数方程消去参数，由直角坐标与极坐标的转化公式即可求得曲线的普通方程，直线的普通方程为
⑵由⑴可知圆心为，半径为，的最小值即为圆心到直线的距离减去圆的半径，利用点到直线的距离公式即可求得答案
【详解】（1）由消去得，
因为，由直角坐标与极坐标的转化公式可得.
所以曲线的普通方程为，
直线的普通方程为.
（2）由（1）知，得圆心为，半径为，，
的最小值即为圆心到直线的距离减去圆的半径，
因为到直线的距离，
所以的最小值为.
【点睛】本题主要考查了曲线的参数方程化为普通方程，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题。

23.已知函数，.
(1)若函数值不大于1，求的取值范围；
(2)若不等式的解集为R，求的取值范围
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
⑴不等式先化为，再去掉绝对值化为，即可求得结果
⑵由题意可得不等式恒成立，故左边的最小值大于或等于，问题转化为求左边的最小值，利用绝对值不等式的性质可以求得左边的最小值。

【详解】⑴由题意可知：，即
，解得
的取值范围为
⑵由题意可得不等式恒成立
即恒成立
的取值范围是
【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法，还考查了绝对值不等式的性质的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题。