高考数学考前提醒的82个问题王连笑-

B 有 4 种选法,即4,5 的所有子集数，有 3 4 12 种选法.
③ B 中最小的数为 4, 此时 A 有 7 种选法,即1, 2,3 的非空子集数,
而 B 有 2 种选法,即5 的所有子集数，有 7 2 14 种选法
④ B 中最小的数为 5, 此时 A 有 15 种选法,即1, 2,3, 4 的非空子
f x F x F x, gx F x F x .
2
2
(8) 关于反函数.
①你掌握求反函数的步骤了吗?(求 y f x 的值域 反求 x
互换 x, y 注明定义域)
②反函数存在的充分条件是: y 与 x 一一对应或 y f x 在区间
周期T 4(a b)
⑧若 奇函数 y f x 的 图象关 于直线 x a 对 称 , 则 其周期
T 4a (即⑦中的b 0 );
【例 1】(2006 年安徽卷,理)函数 f x 对于任意实数 x 满足条件
f
x 2
f
1
x

，若
f
1 5, 则 f f 5 __________.
(3) 关于复合函数的单调性.
如果函数 y f u,u g x 在区间 D 上定义,
①若 y f u 为增函数, u g x 也为增函数,则 y f g x 为
增函数;
②若 y f u 为增函数, u g x 为减函数,则 y f g x 为减
f x 2 f x f x 4 f x 2 f x .
(7) 关于奇偶性.
①若奇函数 y f x 在 x 0 处有定义,则 f 0 0 ;
②任何一个定义域关于原点对称的函数 F x ,总可以表示为一个
奇函数 f x 和一个偶函数 g x 的和,其中
高考数学 考前提醒的 82 个问题
1. 对于集合 A, B, 当 AI B 时，你是否注意到一个极端情况： A 或 B ,求集合的子集时,是否忘记了 ?
【例】已知 A x x2 p 2 x 1 0, x R ， A I R ，求 p
2
⑤函数 y f x 与 y f 1 x 的图象关于直线 y x 对称;
(2) 关于奇偶性与单调性的关系.
① 如 果 奇 函 数 y f x 在 区 间 0, 上 是 递 增 的 ,那 么 函 数
y f x 在区间,0 上也是递增的;
② 如 果 偶 函 数 y f x 在 区 间 0, 上 是 递 增 的 ,那 么 函 数 y f x 在区间,0 上是递减的;
函数;
③若 y f u 为减函数, u g x 也为减函数,则 y f g x 为
增函数;
④若 y f u 为减函数, u g x 为增函数,则 y f g x 为减
函数;
(4)关 于分段函数的单调性 .
若函数
f
x

g x , x a,b h x , x c, d
(C) 48种
(D) 47种
【分析及解】这是一个计数问题，.从条件(2)中的“B 中最小的数”
入手，显然有四种情形：
① B 中最小的数为 2.此时 A 仅有 1 种选法,即1 的非空子集数,
而 B 可以有 8 种选法,即3, 4,5 的所有子集数，有18 8种选法.
② B 中最小的数为 3,此时 A 有 3 种选法,即1, 2 的非空子集数,而
空子集, 非空真子集的个数依次为 2n , 2n 1, 2n 1, 2n 2. 【例】 (2006 年,全国卷Ⅰ,理,12)
设集合 I 1, 2,3, 4,5 。选择 I 的两个非空子集 A 和 B，要使 B
中最小的数大于 A 中最大的数，则不同的选择方法共有
(A) 50种
(B) 49种
集数,而 B 仅有 1 种选法,即 5 在 B 中. 有151 15 种选法 由以上, 不同的选择方法共有 8 12 14 15 49 种.
3.映射的概念你理解吗?是否注意到了在 f : A B 中, A 中元素 的任意性和 B 中元素的唯一性?
4.记住函数的几个 重要性质： （ 1）关于对称性 .
①如果函数 y f x 对于 x R ,都有 f a x f a x ,那么 , 函数 y f x 的图象关于直线 x a 对称;
如果函数 y f x 对于x R ,都有 f a x f b x ,那么, 函 数 y f x 的图象关于直线 x a b 对称;

(3a 1)x loga x,

4a,
x 1 x 1
是
(, ) 上的减函数，那么 a 的取值范围是
（A）0,1
（B）
0,
1 3

（ C）
ห้องสมุดไป่ตู้
1 7
,
1 3

（
D）
1 7
,1
【分析及解】本 题从表面上看并不困难 ,
若 f x (3a 1)x 4a 为减函数,则3a 1 0 a 1 ,
③
若函数满足 f x a
f
1
x
(其中
f
x

0, a

0
),则其周期
T 2a
④若函数满足 f a x f a x 且 f b x f b x ,即函数
y f x 的图象关于直线 x a 对称又关于直线 x b 对称(a b ), 则
其周期T 2(a b)
⑤若 偶函数 y f x 的 图象关 于直线 x a 对 称 , 则 其周期
T 2a (即④中的b 0 );
⑥若函数满足 f x a f x b ( a b ),其周期T a b ; ⑦若函数满足 f a x f a x 且 f b x f b x ,即函数 y f x 的图象关于直线 x a 对称又关于点b,0 对称(a b ), 则其
3
若
f
x loga x 为减函数,则 0 a 1 ,于是
a
的取值范围是
0,
1 3

但是 ,这个结 果是错误的 ,对 (B)是误选 .为什么呢？解题时，忽略了 分段函数的问题. 因为是分段函数,又要求在(, ) 上是减函数,就
必须满足 (3a 1)1 4a f 1 0 ,即 a 1 ,于是 1 a 1 ,故选(C).
的取值范围.
【分析】 A I R ,容易理解为方程 x2 p 2 x 1 0的两根
为非正,而忽视了 A 的可能,此题应分为 A , A 为单元素集合, A
含有两个非正元素三种情况讨论.（答案: p4, ）.
2. 对于含有 n n N 个元素的有限集合 M ,其子集, 真子集,非
8. 要区分逻辑联结词的不同用法,了解四种命题的相互关系,知道 什么时候用反证法.
9.“方程 ax2 bx c 0 有实数解”转化为“ b2 4ac 0 ”，你是 否注意到“a 0 ”（除解决二次方程的有关问题时要注意之外，在解 决直线与圆锥曲线的位置关系时，也常常遇到），在题目中没有指出 是“二次”函数，方程，不等式时，就要分类讨论a 0, a 0 的不同情
对称 ;
③函数 y f x 与 y f x 的图象关于直线 x 0 对称; 函数 y f x 与 y f x 的图象关于直线 y 0 对称; 函数 y f x 与 y f x 的图象关于原点0, 0 对称; ④函数 y f a x 与 y f a x 的图象关于直线 x 0 对称; 函数 y f a x 与 y f b x 的图象关于直线 x a b 对称;
,
g
x
在a, b
上 是增函数 ,
hx 在
c, d 上是增函数 ,则 f x 在 a,bUc, d 上不一定是增函数 ,若使得
f x 在a,bUc, d 上=不一定是增函数,需补充条件:g b hc .
【例】（ 2006
年北京 卷）已知
f
(x)
f 1 x 1 ,顺序是先求 f 1 x ,再代入 x 1得 f 1 x 1 ).
5. 求方程或不等式的解集,或者求定义域,值域时,要按要求写成 集合的形式.
6. 求函数的解析式,特别是解应用题是的函数式,以及求反函数时, 一定要注明定义域.
7. 充要条件的概念要掌握好,特别是会用集合的子集的方法判断 充要条件.
轴向上平移 a 个单位得到的;
④函数 y f x aa 0 的图象是把函数 y f x 的图象沿 y
轴向下平移 a 个单位得到的.
(6) 关于周期性.
① 若函数满足 f a x f x ,则其周期T a ;
② 若函数满足 f a x f x ,则其周期T 2a
【分析及解】由
f
x 2
f
1得
x
f
x 4
f
1
x 2

f (x) ，
所以 f (5) f (1) 5 ，则 f f 5 f (5) f (1) 1 1 。
f (1 2) 5
【 例 2 】 (1996 年 全 国 卷 ) 设 f x 是 , 上 的 奇 函
D 上单调;
③若函数 y f x 在区间 D 上单调递增,则其反函数也在区间 D
上单调递增
④关于反函数的一个结论: f f 1 a a, f 1 f a a 或者
f 1 a b f b a.
⑤ 求一个函数的反函数时,要先求反函数,后求值.(例如求
数, f x 2 f x ,当 0 x 1 时, f x x ,则 f 7.5 等于(
).
（A）0.5 （B）0.5
（C）1.5
（D） 1.5
【分析及解】因为 f x 是 , 上的奇函数,且 f x 2 f x
则 f x 2 f x ，于是， f x 关于原点成中心对称，关于 x 1 成
2
②如果函数 y f x 对于x R ,都有 f a x f a x ,那么, 函数 y f x 的图象关于点 (a, 0) 对称;如果函数 y f x 对于x R , 都有 f a x f a x 2b ,那么, 函数 y f x 的图象关于点(a, b)
轴对称，因此， f x 是以 4 为周期的周期函数. 由 0 x 1时, f x x ,及 f x 是以 4 为周期的周期函数,则
f 7.5 f 7.5 8 f 0.5 f 0.5 0.5. 故选(B).
关于 f x 是以 4 为周期的周期函数.还可作如下证明:
7
7
3
(5) 关于图象变换.
①函数 y f x aa 0 的图象是把函数 y f x 的图象沿 x
轴向左平移 a 个单位得到的;
②函数 y f x aa 0 的图象是把函数 y f x 的图象沿 x
轴向右平移 a 个单位得到的;
③函数 y f x aa 0 的图象是把函数 y f x 的图象沿 y