高考数学压轴专题(易错题)备战高考《集合与常用逻辑用语》知识点总复习含解析

高考数学《集合与常用逻辑用语》练习题
一、选择题
1．“x ＜﹣1”是“x 2﹣1＞0”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
试题分析：由x ＜﹣1，知x 2﹣1＞0，由x 2﹣1＞0知x ＜﹣1或x ＞1．由此知“x ＜﹣1”是“x 2﹣1＞0”的充分而不必要条件．
解：∵“x ＜﹣1”⇒“x 2﹣1＞0”，
“x 2﹣1＞0”⇒“x ＜﹣1或x ＞1”．
∴“x ＜﹣1”是“x 2﹣1＞0”的充分而不必要条件．
故选A ．
点评：本题考查充分条件、必要条件和充要条件的应用，解题时要注意基本不等式的合理运用．
2．下列三个命题中，真命题的个数为（ ）
①命题p ：0(1,)x ∃∈+∞，0002x x >-，则p ⌝：(1,)x ∀∈+∞，02
x x ≤-； ②p q ∧为真命题是p q ∨为真命题的充分不必要条件；
③若22ac bc >，则a b >的逆命题为真命题；
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
【答案】C
【解析】
【分析】
对三个命题逐一判断即可.
【详解】 ①中p ⌝：()1
x ∀∈+∞，，02
x x ≤-或2x =，所以①为假命题； ②为真命题； ③中逆命题为：若a b >，则22ac bc >，若c 为0，则③错误，即③为假命题. 故选：C .
【点睛】
本题考查命题的真假，属于基础题.
3．已知公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >，则“1q >”是“53a a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】 根据等比数列的性质可得530,0a a >>，若53a a >，可得21q >，然后再根据充分条件和必要条件的判断方法即可得到结果．
【详解】
由于公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >，
所以530,0a a >>，
若53a a >，则233a q a >，所以21q >，即1q >或1q <-，
所以公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >，
则“1q >”是“53a a >”的充分不必要条件，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了等比数列的相关性质和充分必要条件的判断方法，熟练掌握等比数列的性质是解题的关键.
4．“0a =”是“函数x a y e -=为偶函数”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
解析：若0a =，则||x y e =是偶函数，“0a =”是“函数x a y e -=为偶函数”的充分条件；若函数x a y e -=为偶函数，则对称轴为0x =，即0x a ==，则“0a =”是“函数x a y e -=为
偶函数”的必要条件，应选答案C ．
5．已知集合{}|3
x M y y ==，{|N x y ==，则M N =I （ ） A ．{|01}x x <<
B ．{|01}x x <≤
C ．{|1}x x ≤
D ．{|0}x x > 【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数的定义域和值域，求得集合,M N ，再结合集合的交集的运算，即可求解．
【详解】
由题意，集合{}|3{|0}x M y y y y ===>,{|{|1}N x y x x ===≤， 所以{|01}M N x x ⋂=<≤.
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中根据函数的定义域和值域的求法，正确求解集合,M N 是解答的关键，着重考查了计算能力．
6．给出下列五个命题，其中正确命题的个数为（ ）
①命题“0x R ∃∈，使得20010x x ++<”的否定是“x R ∀∈，均有210x x ++<”；
②若正整数m 和n 满足m n ≤
2
n ； ③在ABC ∆中 ，A B >是sin sin A B >的充要条件；
④一条光线经过点()1,3P ，射在直线:10l x y ++=上，反射后穿过点()1,1Q ，则入射光线所在直线的方程为5340x y -+=；
⑤已知32()f x x mx nx k =+++的三个零点分别为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率，则m n k ++为定值.
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】C
【解析】
【分析】
①根据特称命题的否定的知识来判断；②根据基本不等式的知识来判断；③根据充要条件的知识来判断；④求得入射光线来判断；⑤利用抛物线的离心率判断.
【详解】
①，命题“0x R ∃∈，使得20010x x ++<”的否定是“x R ∀∈，均有210x x ++≥”，故①错误.
②，由于正整数m 和n 满足m n ≤，0n m -
≥，由基本不等式得22
m n m n +-=，当m n m =-即2n m =时等号成立，故②正确. ③，在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，即
sin sin A B A B >⇔>，所以A B >是sin sin A B >的充要条件，故③正确.
④，设()1,1Q 关于直线10x y ++=的对称点为(),A a b ，则线段AQ 中点为
11,22a b ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1110
221121112AQ a b b k a ++⎧++=⎪⎪⎪+⎨-⎪==+⎪-⎪⎩
，解得2a b ==-，所以()2,2A --.所以入射光线为直线AP ，即
312321
y x --=----，化简得5340x y -+=.故④正确. ⑤，由于抛物线的离心率是1，所以(1)0f =，即10m n k +++=，所以1m n k ++=-
为定值，所以⑤正确.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查特称命题的否定，考查基本不等式，考查充要条件，考查直线方程，考查椭圆、双曲线、抛物线的离心率，属于中档题.
7．已知点P不在直线l、m上，则“过点P可以作无数个平面，使得直线l、m都与这些平面平行”是“直线l、m互相平行”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
根据直线和平面平行的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】
Q点P不在直线l、m上，
若直线l、m互相平行，则过点P可以作无数个平面，使得直线l、m都与这些平面平行，即必要性成立，
若过点P可以作无数个平面，使得直线l、m都与这些平面平行，则直线l、m互相平行成立，反证法证明如下：
若直线l、m互相不平行，则l，m异面或相交，则过点P只能作一个平面同时和两条直线平行，则与条件矛盾，即充分性成立
则“过点P可以作无数个平面，使得直线l、m都与这些平面平行”是“直线l、m互相平行”的充要条件，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合空间直线和平面平行的性质是解决本题的关键．
8．设，则"是""的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意得到充分性，验证得出不必要，得到答案.
【详解】
，当时，，充分性；
当，取，验证成立，故不必要. 故选：.
【点睛】 本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.
9．在三角形ABC 中，给出命题:p “2ab c >”，命题:q “3C π<
”，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
由余弦定理将2c 化为222cos a b ab C +-，整理后利用基本不等式求得12cos 2C +>，求出C 范围，即可判断充分性，取4a =，7b =，6c =，则可判断必要性不成立，两者结合可得正确的选项.
【详解】
充分性：由余弦定理，2222cos c a b ab C =+-，
所以2ab c >，即222cos ab a b ab C >+-， 整理得，22
12cos a b C ab
++>， 由基本不等式，2222
2a b a b ab ab
+≥=， 当且仅当a b =时等号成立，
此时，12cos 2C +>，即1cos 2C >，解得3C π<， 充分性得证；
必要性：取4a =，7b =，6c =，则164936291cos 247562C +-=
=>⨯⨯， 故3C π
<，但228ab c =<，故3C π
<推不出2ab c >.
故必要性不成立；
故p 是q 的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】
本题主要考查充分必要条件的判断、余弦定理的应用和基本不等式的应用，考查学生分析转化能力，属于中档题.
10．下列说法正确的是( )
A ．命题“0[0,1]x ∃∈，使2010x -…
”的否定为“[0,1]x ∀∈，都有2 10x -„” B ．命题“若向量a v 与b v 的夹角为锐角，则·0a b >v
v ”及它的逆命题均为真命题
C ．命题“在锐角ABC V 中，sin cos A B <”为真命题
D ．命题“若20x x +=，则0x =或1x =-”的逆否命题为“若0x ≠且1x ≠-，则20x x +≠”
【答案】D
【解析】
【分析】
对于A 选项，利用特称命题的否定即可判断其错误．
对于B 选项，其逆命题为“若·0a b >r r ，则向量a r 与b r
的夹角为锐角”， 由·0a b >r r 得：·cos 0a b θ>r r ，可得cos 0θ>，则0,2πθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
，所以该命题错误，所以B 错误．
对于C 选项，0222A B A B πππ+>
⇒>>->，可得sin sin cos 2A B B π⎛⎫>-= ⎪⎝⎭
，所以C 错误．
故选D
【详解】
命题“0[0,1]x ∃∈，使2110x -…”的否定应为“[0,1]x ∀∈，都有210x -<”，所以A 错误； 命题“若向量a r 与b r 的夹角为锐角，则·0a b >r r ”的逆命题为假命题，故B 错误；
锐角ABC V 中，0222A B A B πππ+>
⇒>>->， ∴sin sin cos 2A B B π⎛⎫>-=
⎪⎝⎭
，所以C 错误， 故选D.
【点睛】
本题主要考查了命题的真假判断，还考查了特称命题的否定，向量的数量积知识，属于中档题．
11．“a ＜0”是“方程ax 2＋1＝0至少有一个负根”的( )
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
当0a <时，方程210ax +=，即21x a
=-，故此一元二次方程有一个正根和一个负根，
符合题意；当方程210ax +=至少有一个负数根时，a 不可以为0，从而21x a =-，所以0a <，由上述推理可知，“0a <”是方程“210ax +=至少有一个负数根”的充要条件，故选
C.
12．已知全集,U R =2{|2}M x x x =-≥则U C M =（ ）．
A ．{|20}x x -<<
B ．{|20}x x -≤≤
C ．{|20}x x x <->或
D ．{|20}x x x ≤-≥或
【答案】C
【解析】
【分析】
解二次不等式求出集合M ，进而根据集合补集运算的定义，可得答案．
【详解】
∵全集U=R ，2{|2}={|20}M x x x x x =-≥-≤≤∴∁U M={x|x<-2或x>0}， 故选C ．
【点睛】
本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，熟练掌握并正确理解集合运算的定义是解答的关键．
13．等价法：利用p ⇒ q 与非q ⇒非p ， q ⇒ p 与非p ⇒非q ， p ⇔ q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
14．下列四个命题中真命题的个数是
①命题2“340,1?x x x --==-若则的逆否命题为2“1,340?x x x ≠---≠若则； ②命题“,cos 1?x R x ∀∈≤的否定是00“,cos 1?x R x ∃∈>
③命题“(,0)x ∃∈-∞，23x x <”是假命题.
④命题[
):1,,lg 0"p x x ∀∈+∞≥，命题2:,10q x R x x ∃∈++<，则p q ∨为真命题 A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 【答案】D
【解析】
【分析】
根据四种命题的关系进行判断．
【详解】
①命题2“340,1?x x x --==-若则的逆否命题为2“1,340?x x x ≠---≠若则，正确；
②命题“,cos 1?x R x ∀∈≤的否定是00“,cos 1?x R x ∃∈>，正确；
③命题“(),0x ∃∈-∞，23x x <”是假命题，正确.
④命题[):1,,lg 0"p x x ∀∈+∞≥，命题2:,10q x R x x ∃∈++<，p 是真命题， 则p q ∨为真命题，正确．
因此4个命题均正确．
故选D ．
【点睛】
本题考查四种命题及其关系，解题时可根据四种命题的关系进行判断①②，同指数函数的性质判断③，由或命题的真值表判断④，是解此类题的一般方法，本题属于基础题．
15．已知x ，y R ∈，则“x y <”是“
1x y <”的（ ） A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】 x y <，不能得到
1x y <， 1x y
<成立也不能推出x y <，即可得到答案. 【详解】
因为x ，y R ∈， 当x y <时，不妨取11,2x y =-=-，21x y =>， 故x y <时，1x y
<不成立， 当1x y
<时，不妨取2,1x y ==-，则x y <不成立， 综上可知，“x y <”是“
1x y <”的既不充分也不必要条件， 故选：D
【点睛】
本题主要考查了充分条件，必要条件的判定，属于容易题.
16．已知集合{}260A x x x =--≤，(){}
lg 2B x y x ==-，则A B =I （ ） A ．[)2,2-
B ．[]2,3
C ．(]2,3
D ．()3,+∞
【答案】C
【解析】
【分析】
根据一元二次不等式的解答和对数函数的性质，求得,A B ，再结合集合交集的运算，即可求解．
【详解】 由题意，集合{}{}
26023A x x x x x =--≤=-≤≤，(){}{}lg 22B x y x x x ==-=>，
所以(]2,3A B =I ．
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了集合运算及性质，其中解答中熟记集合交集的概念及运算是解答的关键，着重考查数学运算能力．
17．给出下列四个结论：
①若()f x 是奇函数，则()2f x 也是奇函数；
②若()f x 不是正弦函数，则()f x 不是周期函数；
③“若3πθ=，则sin θ=的否命题是“若3πθ≠，则sin θ≠.”； ④若p ：11x
≤；q ：ln 0x ≥，则p 是q 的充分不必要条件. 其中正确结论的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，逐一分析，即可判断得出结论.
【详解】
解：①若()f x 是奇函数，有()()f x f x -=-，
则()()22f x f x -=-，所以()2f x 也是奇函数，①正确；
②若()f x 不是正弦函数，而()f x 可以是余弦函数，是周期函数，所以②错误； ③根据否命题的定义可知：对原命题的条件和结论都否定，可知③正确； ④中，由p ：
11x
≤，解得0x <或1x ≥；由q ：ln 0x ≥，解得1x ≥， 则p 是q 的必要不充分条件，故④错误.
综上可知，正确结论的个数为2个.
故答案为：B.
【点睛】 本题考查命题真假的判断，涉及定义法判断函数的奇偶性、周期函数、否命题以及充分必
要条件的定义等知识.
18．若实数a 、b 满足0a ≥，0b ≥且0ab =，则称a 与b 互补，记
(),a b a b ϕ=-，那么(),0a b ϕ=是a 与b 互补的（ ）条件．
A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充要
D ．既不充分也不必要 【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据(),0a b ϕ=,证明0a ≥，0b ≥且0ab = ，再证明0a ≥，0b ≥且0ab =时，(),0a b ϕ= .
【详解】
若(),0a b ϕ=，
0a b -=a b =+
两边平方后可得20ab =，即0a =或0b =
当0a =0b b b =-= ，
0b ∴≥ ，即a 与b 互补，
同理0b =时，a 与b 互补，
反过来，当0ab =时，
0a b -= ，
即(),0a b ϕ= ，
故(),0a b ϕ=是a 与b 互补的充要条件.
故选：C.
【点睛】
本题考查充分必要条件的判断和证明，意在考查逻辑推理和分析证明的能力，属于中档题型，本题的关键需根据充要条件的判断证明(),0a b a ϕ=⇒与b 互补，a 与b 互补(),0a b ϕ⇒=.
19．在ABC ∆中，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】C
【解析】
【分析】
由余弦函数的单调性找出cos cos A B <的等价条件为A B >，再利用大角对大边，结合正
弦定理可判断出“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件.
【详解】
Q 余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减，且0A π<<，0B π<<，
由cos cos A B <，可得A B >，a b ∴>，由正弦定理可得sin sin A B >.
因此，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件.
故选：C.
【点睛】
本题考查充分必要条件的判定，同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用，考查推理能力，属于中等题.
20．设集合{}20,201x M x
N x x x x ⎧⎫=≤=-<⎨⎬-⎩⎭，则M N ⋂为（ ） A ．{}01x x ≤<
B ．{}01x x <<
C ．{}02x x ≤<
D ．{}
02x x << 【答案】B
【解析】
【分析】 根据分式不等式和一元二次不等式的解法，求得集合{01},{|02}M x x N x x =≤<=<<，再结合集合交集的运算，即可求解.
【详解】 由题意，集合{}
20{01},20{|02}1x M x x x N x x x x x x ⎧⎫=≤=≤<=-<=<<⎨⎬-⎩⎭， 所以{}
01M N x x ⋂=<<.
故选：B .
【点睛】
本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答中结合分式不等式和一元二次不等式的解法，准确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了计算能力.。