第七章(1) 一阶电路解读

uV (0+)= - 10000V 造成 V 损坏。
小结：
1. 一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值 引起的响应 , 都是由初始值衰减为零的指数 衰减函数。
t
y(t) y(0 )e
2. 衰减快慢取决于时间常数 RC电路 = RC , RL电路 = L/R
3. 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。
2. 由换路定律得 uC(0+) 和 iL(0+)。 3. 画0+等效电路。
a. 若uC(0+) 或 iL(0+) 为零，电容（电感）用 短路（开路）替代。
b.若uC(0+) 或 iL(0+) 不为零，电容（电感） 用电压源（电流源）替代。
电压源（电流源）取0+时刻值，其方向同 原假定的电容电压、 电感电流方向。
2.求 uC(0+)和 iL(0+)
uC(0+) = uC(0-) = RIS
iL(0+) = iL(0-) = IS
3.求 iC(0+)和uL(0+)
iC (0 )
Is
RI S R
0
uL(0+)= –RIS
பைடு நூலகம்
6-3 一阶电路的零输入响应
零输入响应：激励(独立电源)为零，仅由储能元件 初始储能作用于电路产生的响应。
f(t)
换路在 t=0时刻进行
0- 换路前一瞬间 0+ 换路后一瞬间
t 0- 0 0+
f
(0
)

lim
t 0
f
(t
)
t0
f
(0
)

lim
t 0
f
(t
)
t 0
初始条件：电路中的u ，i 及其各阶导数在t = 0+ 时的值。
二. 换路定律
1.
i+ uc- C
uC
(t)

1 C
t
五. 动态电路的分析方法
1、根据KVL、KCL及元件的 VCR 建立电路 方程，该方程为以时间为自变量的线性常 微分方程。
an
d ni dt n

an1
d n1i dt n1

a1
di dt

a0i

u
t0
2、求出微分方程的解，从而得到所求变量。
6-2 电路的初始条件
一. t = 0+与t = 0- 的概念
一、 RC放电电路
K(t=0)
i
C u+C
–
+
R uR
–
已知 uC (0-)=U0
uR uC 0
i C duC dt
uR= Ri
RC
duC dt
uC

0
uC (0 ) U0
一阶微分方程
K(t=0)
i
C u+C
–
+
R uR
–
RC
duC dt
uC

0
uC (0 ) U0 设 uC Ae pt
电容放出能量
1 2
CU
2 0
电阻吸收（消耗）能量
WR
i 2 Rdt
0

(U0

e
t RC
)2
Rdt
0R

U
2 0
R
2t
e RC dt
0

U
2 0
R
(
RC 2

e
2t RC
) |0

1 2
CU 0 2
二. RL电路的零输入响应
R1
Ri
i (0+) = i (0-) =
例 K(t=0)
iL
10V
+
uV
–
V RV 10k
t=0时 , 打开开关K，求uv。
R=10 电压表量程：50V L=4H 现象 ：电压表坏了
分析 iL (0+) = iL(0-) 1 A
iL e t /
L 4 4104 s
R RV 10000
uV RV i L 10000e 2500t t 0
uL(0 ) 0
uL(0 ) 0
由换路定律: iL(0+)= iL(0-) =2A
由0+电路求 uL(0+)： uL(0 ) 2 4 8V
1 10V
4 + uL
2A -
求初始值的步骤: 1. 由换路前电路（一般为稳定状态）求出uC(0-)
和 iL(0-)。 电容（电感）相当于开路（短路）。
i( )d

1 C
0 i( )d 1

C
t
i( )d
0

uC
(0
)

1 C
t
i( )d
0
q =C uC
t
q(t) q(0 )
i( )d
0
t = 0+时刻
uC
(0
)

uC
(0
)

1 C
0i( )d
0
q(0 ) q(0 )

-
iL(t)
1 L
0 u( )d 1

L
t
u( ))d
0
1
iL(0 ) L
t
u( )d
0
LiL 当u为有限值时
t
(t ) (0 ) u( )d 0 iL(0+)= iL(0-) L (0+)= L (0-) 磁链守恒
t=0
i
R+
Us
K
uC C
–
稳态分析
K未动作前 i = 0 , uC = 0
i
R+
K接通电源后很长时间
Us
uC C
–
i = 0 , uC= Us
i
U S uc
US
R+
R?
i
Us
K
uC C
–
初始状态 0
t1 新稳态
t
过渡状态
a. 动态电路：含有动态元件的电路，当电路状态 发生改变时需要经历一个变化过程 才能达到新的稳态。
安秒
伏


秒
=RC
p 1 1
RC
固有频率
时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短
大 过渡过程时间的长 小 过渡过程时间的短
uc
U0
大
0 小 t
电压初值一定： C 大（R不变） W=0.5Cu2 储能大 放电时间长 R 大（ C不变） i=u/R 放电电流小
RC dAe pt Ae pt 0 dt
RCApe pt Ae pt 0
得 RCp+1=0 特征方程
特征根
p 1 RC
则 uC Ae pt
1t
Ae RC
K(t=0)
i
1t
uC Ae RC uC (0+)=uC(0-)=U0
C u+C
–
+
R uR
–
1t
uC (0 ) Ae RC t0 U0
+ uR –
C
+
uC
–
uC (0-)=0
RC duC dt
uC
US
uC = US
t
uC Ae RC
t
全解 uC uC uC U S Ae RC
由起始条件 uC (0+)=0 定积分常数 A
uC (0+)=A+US= 0
A= – US
t
t
uc US USe RC US (1 e RC )
0i( )d
0
当i()为有限值时 0 i( )d 0 0
uC (0+) = uC (0-)
q (0+) = q (0-)
电荷守恒
结论 换路瞬间，若电容的电流保持为有限值，
则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
2.
iL
+
u
L
u L diL dt
iL (t)
1 L
t u( )d
- 10V
iC -
0+等效电路
(3) 由0+等效电路求 iC(0+)
10 8 iC (0 ) 10 0.2mA
iC(0--)=0 iC(0+)
例2
1 4
K 10V
+ L uL
iL -
10 先求 iL (0 ) 1 4 2A
t = 0时闭合开关k , 求 uL(0+)。
(t 0)
t
t
uc US USe RC US (1 e RC ) (t 0)
A=U0
t
uC U0e RC
t0
U0 uC
i uC R

U0

e
t RC
R
t
I0e RC
t0
0 i
t
电压、电流以同一指数规律衰减， I0
衰减快慢取决于RC乘积。
令 =RC , 称为一阶电路的时间常数。 0
t



RC


欧法

欧
库 伏


欧
上述变化过程习惯上称为电路的过渡过程。
b. 动态电路与电阻电路的比较：
动态电路换路后产生过渡过程 ，描述电路
的方程为微分方程。
i
Us
K
R+
uC C
RC
duC dt
uC
US
–
电阻电路换路后状态改变瞬间完成，描述 电路的方程为代数方程。
+
R1
- us R2 R3
二. 过渡过程产生的原因
1. 电路内部含有储能元件 L 、C
0 t1 t2
t

uC (t2 ) 0.368uC (t1 )
t2

t1

uC (t1 )
tan
t1
uC (t1 ) U0e
duC (t) dt
t t1
1

U
0
e

t1
能量关系： 设uC(0+)=U0
uC+ -
C
R
C不断释放能量被R吸收, 直到全部消耗完毕.
4. 由0+电路求所需各变量的0+值。
例3
L iL
+ uL –
iC+
IS
K(t=0)
R
C
uC
–
0-电路 IS
iL
+ uL –
iC+
R C uC
–
0+电路
IS
+ uL –
R
iC + R–IS
求 iC(0+) , uL(0+)
1.求 uC(0-)和 iL(0-)
uC(0-) = RIS
iL(0-) = IS
i I0e L
t
I0e L/ R
t0
0
t
di
uL

L dt
uL
t
t
RI0e L/ R t 0
-RI0
令 = L/R , 称为一阶RL电路时间常数
[
]

[
L R
]

亨 [欧]

[
韦 安欧
]

[
伏 安

秒 欧]

[秒]
I0一定： L大 R小
起始能量大
放电慢
放电过程消耗能量小 大
能量的储存和释放都需要一定的时间来完成 p w t
2. 电路结构、状态发生变化 支路接入或断开， 参数变化 换路
三. 稳态分析和动态分析的区别
稳态
动态
恒定或周期性激励
任意激励
换路发生很长时间 后重新达到稳态
换路刚发生后的 整个变化过程
微分方程的特解
微分方程的一般解
四. 一阶电路 换路后，描述电路的方程是一阶微分方程。
US R1 R

I0
+ di
US
K(t=0) L uL
L Ri 0 t 0 dt
– i(t ) Ae pt
特征方程 Lp+R=0
特征根
p=
R L
由初始值 i(0+)= I0 定积分常数A
A= i(0+)= I0
R
得
i(t)
I0e pt

t
I0e L
t0
I0 i
Rt
K(t=0) R
i
US
+ uR –
C
+
uC
–
uC (0-)=0
列方程： Ri uC U S
RC
duC dt
uC
US
非齐次线性常微分方程
解答形式为：uC uC uC
齐次方程的通解
非齐次方程的特解
K(t=0) R
i
US
+ uR –
C
+
uC
–
uC (0-)=0
RC
duC dt
第七章（1） 一阶电路
重点掌握：
零输入响应 零状态响应 三要素法
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目录
6-1 动态电路概述 6-2 电路的初始条件 6-3 一阶电路的零输入响应 6-4 一阶电路的零状态响应 6-5 一阶电路的全响应 6-6 阶跃函数和冲激函数 6-7 一阶电路的阶跃响应和冲激响应
6-1 动态电路概述
一. 动态电路
注意: 换路定律成立的条件
三. 电路初始值的确定
例1 + i 10k
+
- 10V
40k
k iC
uC
-
+ 10k
40k
- 10V
+
uC
-
求 iC(0+)
(1) 由0-电路求 uC(0-)或iL(0-) + i 10k
+
8V
uC(0-)=8V (2) 由换路定律
uC (0+) = uC (0-)=8V
结论 换路瞬间，若电感电压保持为有限值，
则电感电流（磁链）换路前后保持不变。
换路定律：
qc (0+) = qc (0-) uC (0+) = uC (0-)
换路瞬间，若电容电流保持为有 限值，则电容电压（电荷）换路 前后保持不变。
L (0+)= L (0-)
iL(0+)= iL(0-)
换路瞬间，若电感电压保持为有 限值，则电感电流（磁链）换路 前后保持不变。
uC
US
uC ：特解（强制分量） uC = US
强制分量与输入激励的变化规律有关，为电 路的稳态解，此时强制分量称为稳态分量。
uC ：通解（自由分量，暂态分量）
齐次方程
RC
duC dt
uC

0
的通解
t
uC Ae RC 变化规律由电路参数和结构决定
K(t=0) R
i
US
t 0
t
uc U0e
U0
U0 e -1
2
U0 e -2
3
U0 e -3
5
U0 e -5
U0 0.368 U0 0.135 U0 0.05 U0 0.007 U0
工程上认为 , 经过 3 - 5 , 过渡过程结束。 ：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。
uc
某点切距的长度 t2-t1 =
4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为 零输入线性。
时间常数 的简便计算：
例1 R1
+
-
R2
L
R1
R2
L
= L / R等 = L / (R1// R2 )
例2
R等
C
= R等C
6-4 一阶电路的零状态响应
零状态响应：储能元件初始能量为零，电路在输入 激励作用下产生的响应。
一. RC电路的零状态响应