解析2021届浙江省高三下学期高考模拟(一)数学试卷

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2021届浙江省高三下学期高考模拟（一）数学
试题
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．设集合{}1,3,5,7,9U =，集合{}3,5,9A =，{}1,3,7,9B =，则(
)U
A B =（ ）
A ．{}1,7
B ．{}3,9
C ．{}1,5,7
D ．{}1,7,9
答案：A
由补集和交集定义直接求解可得结果. 解：
{}1,7U
A =，(){}1,7U A
B =∴.
故选：A.
2．若12z i =+，则1
4zz i
-=（ ） A ．i B ．i -
C ．1
D ．-1
答案：B
按复数的代数运算法则求解即可. 解：
1(12)(12)141
444zz i i i i i i i
-+--====-. 故选：B.
点评：设(,)z a bi a b R =+∈，则2
22
()()zz a bi a bi a b z =+-=+=.
3．若x ，y 满足20
{30
x y x y x -≤+≤≥，则2x y +的最大值为
A ．0
B ．3
C ．4
D ．5
答案：C
解：试题分析：由图可得在A 处取得最大值，由20,
{
(1,2)3
x y A x y -=⇒⇒+=最大值24x y +=，故
选C.
【解析】线性规划.
【方法点晴】本题考查线性规划问题，灵活性较强，属于较难题型.考生应注总结解决线性规划问题的一般步骤（1）在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域；（2）将目标函数变形为
a z
y x b b =-
+；（3）作平行线：将直线0ax by +=平移，使直线与可行域有交点，且观察在可行域中使z
b 最大（或最小）时所经过的点，求出该点的坐标；（4）求出最优解：将（3）中求出的坐
标代入目标函数，从而求出z 的最大（小）值.
4．一个圆锥的母线与其轴所成的角为60︒，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为（ ） A ．
2
π B ．π
C 2π
D 3π
答案：D
根据展开前底面圆周长即展开后扇形弧长，建立等量关系，求解圆心角.
解：如图，设圆锥母线长为l ，底面圆半径为r ，圆锥的侧面展开图的圆心角为α， 圆锥的母线与其轴所成的角为60︒，
∴在Rt AOB 中，3sin 60r l ==.
则在圆锥的侧面展开图扇形中，由2r l πα=，得23
232
r l παππ==⨯=. 故选：D.
点评：解决圆锥侧面展开图问题的关键在于弄清展开前后的联系：一是展开前圆锥母线即为展开后扇形半径；二是展开前圆锥的底面圆周长即为展开后扇形的弧长. 再根据轴截面图形中的直角三角形和展开后扇形图，建立圆锥高、母线长、底面圆半径、轴截面(半)顶角、扇形圆心角间的等量关系，它们之间知二求其他的题型比较常见. 5．tan ,,00,22x y x x ππ⎛⎫⎛⎫
=
∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的大致图象是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
答案：A
先根据函数的奇偶性排除一些选项，然后通过估算函数在0,2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
的取值范围确定选项. 解：tan x
y x
=
是偶函数，排除B 、C ， 由性质：在0,2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上，tan x x <， 知
tan 1x
x
>， 故选A.
点评：本题考查函数图像的识别问题，充分利用函数的性质，估计函数在某范围上的取值来进行快速排除.
6．若m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m α⊥，n β⊂，则“//m n ”是“αβ⊥”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
答案：A
由线面垂直的性质定理和面面垂直判定可知，“//m n ”是“αβ⊥”的充分条件，举反例说明“//m n ”不是“αβ⊥”的必要条件. 解：若//m n ，
m α⊥，n α∴⊥.又n β⊂，由面面垂直判定定理知，αβ⊥.
∴“//m n ”是“αβ⊥”的充分条件；
若αβ⊥，如图，在正方体ABCD A B C D ''''-中，记平面BCC B ''为α，记平面ABCD 为β，A B ''为直线m ，AD 为直线n ，满足条件αβ⊥，m α⊥，n β⊂，但,m n 不平行.
∴ “//m n ”是“αβ⊥”的充分不必要条件.
故选：A.
点评：（1）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键. （2）立体几何有关平行垂直命题真假的判断，常用正方体模型.在几何体中寻找反例，只要存在反倒，结论就不正确.
7．设{}n a 是等差数列.下列结论中正确的是 A ．若120a a +>，则230a a +> B ．若130a a +<，则120a a +< C ．若120a a <<，则213a a a > D ．若10a <，则()()21230a a a a -->
答案：C
解：先分析四个答案，A 举一反例1232,1,4a a a ==-=-，120a a +>而230a a +<，A 错误，B
举同样反例1232,1,4a a a ==-=-，130a a +<，而120a a +>，B 错误，
D 选项，2132,,a a d a a d -=-=-2
2132()()0,a a a a d ∴--=-≤故D 错，
下面针对C 进行研究，{}n a 是等差数列，若120a a <<，则10,a >设公差为d ，则0d >，数列各项均为正，由于2
2
213111()(2)a a a a d a a d -=+-+2
2
2
2
1111220a a d d a a d d =++--=>，则
2113a a a
>1a ⇒>
故选C.
【解析】本题考点为等差数列及作差比较法，以等差数列为载体，考查不等关系问题，重 点是对知识本质的考查.
8．设双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右焦点为(),0F c ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双
曲线交于B 、C 两点，过B 、C 分别作AC 、AB 的垂线交于点D .若D 到直线BC 的距离小于
a c +，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（ ）
A ．()()1,00,1-⋃
B ．()(),11,-∞-⋃+∞
C
．(
)(⋃ D
．((
)
,2,-∞+∞
答案：A
依次求解各点坐标，设出点D 坐标，并利用垂直关系得斜率之积为1-的等量关系，解点D 坐标，再由D 到直线BC 的距离小于a c +，建立不等式求解.
解：设(c,0)F ，直线:BC x c =，代入双曲线方程解得2
b
y a
=±，
不妨设22
(,),(,)b b B c C c a a
-，由双曲线对称性知，点D 在x 轴上，且位于点F 左侧，
设0(,0)D x ，由BD AC ⊥得，22
01b b a a c x c a
-
⋅=---，
即4
02
||()
b FD
c x a c a c a =-=<+-， 4
2
2
2
22
()b a c a a b ∴<-=，则2
21b a
<，即1b a <，
∴双曲线渐近线的斜率范围为：(1,0)(0,1)-.
故选：A.
点评：与双曲线有关的范围问题解题思路：
（1）若条件中存在不等关系，则借助关系直接转化求解；
（2）若条件中没有给出不等关系，要善于发现隐含的不等关系，如双曲线上点的坐标的范围、方程有解情况、离心率范围、几何图形中的不等关系等等.
9．已知a 、b R ∈，且0ab ≠，对任意0x >均有()()()ln 0x a x b x a b ----≥，则（ ） A ．0a <，0b < B ．0a <，0b > C ．0a >，0b < D ．0a >，0b >
答案：B
推导出ln x a -与a x e -符号相同，构造函数()()()()a
f x x e
x b x a b =----，然后对四个选项
中的条件逐一验证，即可得出合适的选项.
解：
ln ln ln ln
a a x x a x e e -=-=，故ln x a -与ln a x
e
的符号相同，
当ln 0ln1a x e >=时，a x e >；当ln 0ln1a x
e
<=时，a x e <.
所以，ln x a -与a x e -的符号相同.
()()()()()()ln 00a x a x b x a b x e x b x a b ∴----≥⇔----≥，
令()()()()a
f x x e
x b x a b =----，所以，当0x >时，()0f x ≥恒成立，
令()0f x =，可得1a
x e =，2x b =，3x a b =+.
0ab ≠，分以下四种情况讨论：
对于A 选项，当0a <，0b <时，则0a a b b e +<<<，当0a x e <<时，()0f x <，不合乎题意，A 选项错误；
对于B 选项，当0a <，0b >时，则a b b +<， 若0a b +>，若+a b 、b 、a e 均为正数，
①若a e b =，则()()()2
f x x a b x b =---，当0x a b <<+时，()0f x <，不合乎题意；
②若a e a b =+，则()()
()2
f x x a b x b =---，当0x a b <<+时，()0f x <，不合乎题意.
③若+a b 、b 、a e 都不相等，记{}
min ,,a
t b a b e =+，则当0x t <<时，()0f x <，不合乎题
意.
由上可知，0a b +≤，当0x >时，若使得()0f x ≥恒成立，则0
0a
a b e b +≤⎧⎨
=>⎩
，如下图所示，
所以，当0a <，0b >时，且0a b +≤，0a b e =>时，当0x >时，()0f x ≥恒成立； 对于C 选项，当0a >，0b <时，则b a b <+，
①若0a b +≤时，则当0a x e <<时，()0f x <，不合乎题意；
②当0a b +>时，构造函数()a
g a e a b =--，其中0a >，()10a
g a e '=->，
函数()g a 在()0,∞+上单调递增，则()()010g a g b >=->，a e a b ∴>+. 当a a b x e +<<时，由于0x b ->，则()0f x <，不合乎题意，C 选项错误； 对于D 选项，当0a >，0b >时，则b a b <+，此时b 、+a b 、a e 为正数.
①当b 、+a b 、a e 都不相等时，记{}
min ,,a
t b a b e =+，当0x t <<时，()0f t <，不合乎题
意；
②若a b e =，则()()
()2
f x x b x a b =---，当0x b <<时，()0f x <，不合乎题意；
③当a e a b =+时，()()()2
f x x b x a b =---，当0x b <<时，()0f x <， 不合乎题意. 所以，D 选项错误. 故选：B.
点评：关键点点睛：解本题的关键在于以下两点： （1）分析ln x a -与a x e -同号；
（2）对b 、+a b 、a e 的大小关系进行讨论，结合穿针引线法进行验证.
10．设集合,S T 中至少两个元素，且,S T 满足：①对任意,x y S ∈，若x y ≠，则x y T +∈ ，②对任意,x y T ∈，若x y ≠，则x y S -∈，下列说法正确的是（ ） A ．若S 有2个元素，则S T 有3个元素 B ．若S 有2个元素，则S
T 有4个元素
C ．存在3个元素的集合S ，满足S T 有5个元素
D ．存在3个元素的集合S ，满足S T 有4个元素
答案：A
不妨设{,}S a b =，由②知集合S 中的两个元素必为相反数，设{,}S a a =-，由①得0T ∈，由于集合T 中至少两个元素，得到至少还有另外一个元素m T ∈，分集合T 有2个元素和多于2个元素分类讨论，即可求解.
解：若S 有2个元素，不妨设{,}S a b =， 以为T 中至少有两个元素，不妨设{},x y T ⊆，
由②知,x y S y x S -∈-∈，因此集合S 中的两个元素必为相反数，故可设{,}S a a =-， 由①得0T ∈，由于集合T 中至少两个元素，故至少还有另外一个元素m T ∈， 当集合T 有2个元素时，由②得：m S -∈，则,{0,}m a T a =±=-或{0,}T a =. 当集合T 有多于2个元素时，不妨设{0,,}T m n =， 其中,,,,,m n m n m n n m S ----∈，
由于,0,0m n m n ≠≠≠，所以,m m n n ≠-≠-，
若m n =-，则n m =-，但此时2,2m n m m m n n n -=≠-=-≠， 即集合S 中至少有,,m n m n -这三个元素，
若m n ≠-，则集合S 中至少有,,m n m n -这三个元素， 这都与集合S 中只有2个运算矛盾， 综上，{0,,}S
T a a =-，故A 正确；
当集合S 有3个元素，不妨设{,,}S a b c =，
其中a b c <<，则{,,}a b b c c a T +++⊆，所以,,,,,c a c b b a a c b c a b S ------∈， 集合S 中至少两个不同正数，两个不同负数，即集合S 中至少4个元素，与{,,}S a b c =矛盾，排除C ，D. 故选：A.
点评：解题技巧：解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素. 二、填空题
11．设直线l ：()101,1mx ny m n ++=>->-，圆C ：()()2
2
111x y -+-=，若直线l 与圆相
切，则3m n +的最小值为___________.
4
根据直线与圆相切可构造等量关系求得()()1112
m n ++=，由()31m n m +=++()314n +-，利用基本不等式可求得最小值.
解：由圆C 方程知其圆心()1,1C ，半径1r =，∴圆心C 到直线l
距离d =
圆C 与直线l
相切，1=，整理可得：22210mn m n +++=，
即()()2111m n ++=，()()1112
m n ∴++=
； 1m >-，1n >-，10m ∴+>，10n +>，
()()
3131444m n m n ∴+=+++-≥=（当且仅当()131m n +=+，
即32m n =+时取等号），
3m n
∴+4
.
4.
点评：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：一正二定三相等. （1）“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
12．六个人排成一排，若甲､乙､丙均互不相邻，且甲､乙在丙的同一侧，则不同的排法有___________. 答案：96
利用插空法求得三人互不相邻的排法种数，根据定序情况可确定三人互不相邻的排法数的4
6
种情况满足题意，由此可计算得到结果.
解：六个人排成一排，甲、乙、丙互不相邻的排法共有：33
34144A A =种； 将甲、乙、丙三人进行排序，共3
36A =种排法，其中甲、乙在丙的同一侧有4种，
∴满足题意的排法种数有4
144966
⨯=种.
故答案为：96.
点评：方法点睛：本题主要考查排列组合的应用，常见的排列组合问题求法为： （1）相邻问题采取“捆绑法”； （2）不相邻问题采取“插空法”； （3）有限制元素采取“优先法”；
（4）平均分组问题先选好人后，平均分了n 组，则除以n
n A ；
（5）定序问题采取“缩倍法”.
13．已知123,,e e e 是空间单位向量，1223311
2
e e e e e e ⋅=⋅=⋅=
，若空间向量a 满足()12,a xe ye x y R =+∈，2=a ，则3a e ⋅的最大值是___________.
由2
4a
=可构造出符合基本不等式的形式，求得()2
x y +的范围；根据向量的数量积运算可求得
()31
2
a e x y ⋅=
+，利用()2x y +的范围可求得所求最大值. 解：
122a xe ye =+=，()22
222222112224a x e xye e y e x y xy x y xy ∴=+⋅+=++=+-=，
显然，当0xy >时，()2
x y +最大；
当0x >，0y >时，()2
2
42x y xy x y +⎛⎫=+-≤ ⎪⎝⎭
（当且仅当x y =时取等号），()2163x y ∴+≤；
当0x <，0y <时，()()()()2
2
2
424x y x y xy x y x y +--⎛⎫=--=+-≤=
⎪⎝⎭
（当且仅当x y -=-，即x y =时取等号），()2
16
3
x y ∴+≤
； 综上所述：()2
163
x y +≤
； ()()312313231
2
a e xe ye e xe e ye e x y ⋅=+⋅=⋅+⋅=
+， ()
2
3112322a e x y x y ∴⋅=
+=+≤
，3
a e
∴⋅的最大值为23. 故答案为：
23
. 点评：关键点点睛：本题考查向量模长的相关问题的求解，解题关键是能够利用平方运算将模长转化为数量积运算的形式，结合基本不等式求得最值. 三、双空题
14．《九章算术》商功中有如下问题：今有阳马，广三尺，袤四尺，高五尺，问积如何？“阳马”这种几何体三视图如图所示，则体积为___________，最长棱长为___________.
答案：20 52首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积和最长棱长． 解：解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为四棱锥体； 如图所示：
所以1
345203
V =⨯⨯⨯=，最长棱长为22234552BE =++=
故答案为：20；52 15．若()4
(x a x x
+的展开式的常数项为2，则a =___________，所有项系数的绝对值之和是___________. 答案：1 32 （1）先写出4
(x x
的通项公式，再求使x 的次幂为0的r 的值，进而代入求a 的值； （2）将所有项系数的绝对值之和，转化为求()4
()x a x x
+⋅的各项系数和，再条件利用赋值法求解. 解：解：（1）4(x x
-的通项公式为214(1)r
r r r T C x -+=⋅-⋅， 当3r =和2r
时，
()4(x a x x
∴+的展开式的常数项为()32
4412C a C ⨯-+⋅=，则1a =. （2）所有项系数的绝对值之和，即()4
(x a x x
+⋅的各项系数和， 令1x =，可得为()4
(x a x x
+⋅的各项系数和()41232a +⋅=， 故答案为：1；32.
点评：由题意利用二项展开式的通项公式，求得a 的值，再通过给x 赋值，可得所有项系数的绝对值之和.
16．在ABC 中，角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，
若sin cos b
A B
=
，b =2c =，则B =___________，ABC
S =___________.
答案：
3
π
用正弦定理化边为角可得B ，再由余弦定理可得a ，进而可得面积.
cos b B
=
cos sin B
B =
，tan B =， ()0,B π∈ ，3
B π
=
；
由余弦定理得:2222cos b a c ac A =+-，2280a a --= ，解得4a = (负值舍)， 1
1
3sin 42232
2
ABC
S ac
B △.
故答案为:
3
π
；17．甲､乙两袋装有除颜色外其余均相同的白球和黑球若干个，其中甲袋装有2个白球，2个黑球；乙袋装有一个白球，3个黑球；现从甲､乙两袋中各抽取2个球，记取到白球的个数为ξ，则
(2)P ξ==___________，()E ξ=___________.
答案：
5
12 32
用古典概型求概率分布，再求数学期望. 解：由题可知，0,1,2,3ξ= ，则
()0202
1322
22
441012
C C C C P C C ξ⨯⨯==⨯= ， ()02111102
131322222222
44445
112C C C C C C C C P C C C C ξ⨯⨯⨯⨯==⨯+⨯= ()02112011
131322222222
44445
212C C C C C C C C P C C C C ξ⨯⨯⨯⨯==⨯+⨯= ()1120
132222
441
312
C C C C P C C ξ⨯⨯==⨯=， 数学期望15513
()0123121212122
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 故答案为:
5
12；32
.
四、解答题
18．已知函数()sin 6f x x m π⎛⎫
=-
+ ⎪⎝
⎭，将()y f x =的图象横坐标变为原来的1
2
，纵坐标不变，再向左平移
6π个单位后得到()g x 的图象，且()y g x =在区间,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
（1）求m 的值；
（2）在锐角ABC
中，若2C g ⎛⎫
=
⎪
⎝⎭
tan tan A B +的取值范围. 答案：（1）0m =；（2
）)
4⎡++∞⎣.
（1）利用图象变换求出函数()g x 的解析式，由,43x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
求出26x π+，利用正弦函数的基本性
质求出()max g x ，结合已知条件可求得实数m 的值；
（2）利用ABC 为锐角三角形求出角A
的取值范围，利用切化弦结合三角恒等变换思想得出
2
tan tan 2sin 23A B A π+=
⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭求出23
A π
-的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得tan tan A B +的取值范围. 解：（1）将函数()sin 6f x x m π⎛⎫
=-+ ⎪⎝
⎭的图象横坐标变为原来的12
，纵坐标不变，再向左平移6π
个单位后得到()g x 的图象， 则()sin 2sin 2666g x x m x m πππ⎡⎤
⎛
⎫⎛
⎫=+
-+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝
⎭⎣⎦， ,43x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，252,636x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，
当226
3x π
π+
=
，即4x
π=时，()g x
最大值()max +22
g x m ==，所以，
0m =； （2）
sin 262C g C π⎛⎫⎛
⎫=+=
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭， 0,2C π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，则2663C πππ<+<，所以，63C ππ+=，所以，6C π=，
()
sin sin sin sin cos sin cos tan tan 5cos cos cos cos cos
cos 6A B A B A B B A
A B A B A B
A A π+++=
+==⎛⎫- ⎪
⎝⎭
22
31sin 23cos 232sin 23cos sin cos 3A A A A A A π=
==
⎛⎫-----+ ⎪
⎝⎭， ABC 是锐角三角形，由02
5062A B A πππ
⎧
<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩
，解得32A ππ<<，
所以，
223
3
3A π
π
π<-
<
，3sin 2123A π⎛⎫<-≤ ⎪⎝
⎭，则tan tan 42323A B +≥=+-. 点评：方法点睛：求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；
（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.
19．如图，已知多面体1111ABCD A BC D -，
1AA ，1BB ，1CC ，1DD 均垂直于平面ABCD ，//AD BC ，112AB BC CD AA CC =====，11BB =，14AD DD ==．
（Ⅰ）证明：11AC ⊥平面11CDD C ；
（Ⅱ）求直线1BC 与平面111A B C 所成角的正弦值． 答案：（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）
1
4
. （Ⅰ）连接AC ，由已知可得四边形11ACC A 为平行四边形，即11//AC AC ．再由已知证明
1CC AC ⊥．结合直线与平面垂直的判定可得AC ⊥平面11CDD C ，从而得到11AC ⊥平面11CDD C ；
（Ⅱ）延长11D C ，AB ，11A B 交于点G ，取CG 中点M ，连接BM ，AC ．证明//BM
平面111A B C ，
可得点B 到平面111A B C 的距离和点M 到平面111A B C 的距离相等．由（Ⅰ）知11AC ⊥平面11CDD C ，
可得平面111A B C ⊥平面11CDD C ．过点M 作1MH GD ⊥于点H ，则MH ⊥平面111A B C ，求得点
M 到平面111A B C 的距离为2
MH =
．设直线1BC 与平面111A B C 所成的角为θ，可得sin θ，得到直线1BC 与平面111A B C 所成角的正弦值． 解：（Ⅰ）证明：如图，连接AC ，
11//AA CC ，且11AA CC =，
∴四边形11ACC A 为平行四边形，即11//AC AC ．
又底面ABCD 为等腰梯形，且2AB BC CD ===，4=AD ，AC CD ∴⊥．
1CC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 1CC AC ∴⊥．
又1CD
CC C =，AC ∴⊥平面11CDD C ，
11AC ∴⊥平面11CDD C ；
（Ⅱ）由题意得122BC =延长DC ，11D C ，AB ，11A B 交于点G ，取CG 中点M ，连接BM ，
AC ．
11////BM AC AC ，BM ⊂/平面111A B C ，11AC ⊂平面111A
B C ， //BM ∴平面111A B C ，
∴点B 到平面111A B C 的距离和点M 到平面111A B C 的距离相等．
由（Ⅰ）知11AC ⊥平面11CDD C ， 又11AC ⊂平面111A
B C ， ∴平面111A B C ⊥平面11CDD C ．
过点M 作1MH GD ⊥于点H ，则MH ⊥平面111A B C ， 即点M 到平面111A B C
的距离为MH =
设直线1BC 与平面111A B C 所成的角为θ，
则
11sin 4
MH BC θ===
， 即直线1BC 与平面111A B C 所成角的正弦值为
14
. 点评：本题考查直线与平面垂直的判定、线面角，考查空间想象能力和运算求解能力，是中档题． 20．已知正项数列{}n a ，{}n b ，{}n a 是首项为1，公差为d 的等差数列，{}n b 满足
222
12
1
111n n n b b b a ++++
=，*n N ∈. （1
）求{}n b 的通项公式；
（2）若数列{}n c
满足11c =，(11n n n n c c b b ---=-，2n ≥，*n N ∈，证明：
1122
1111
n n b c b c b c d
++
+
<，*n N ∈. 答案：（1）n b =
（2）证明见解析. （1）利用数列21n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
前n 项和与通项关系先求解21
n
b ，再求{}n b 的通项公式，注意n 的条件；
（2）由(11n n n n c c b b ---=-，化简整理1n n c c --，再用累差法求n c ，再整理1
n n
b c ，裂项求和可得证结论. 解：（1）
{}n a 是首项为1，公差为d 的等差数列，1(1)n a n d ∴=+-.
22212
111
1n n n b b b a ++++
=， ∴当2n ≥时，22212
11111
n n
n b b b a --+++
=， 两式作差得，
121111
(1)11[1(1)](1)(1)1n n n n n n n n n n n na n a n n n n d n nd b a a a a a a a a +++++---+---+=-===，2n ≥，
又212
11b a =,检验1b 也符合上式. 又{}n b 为正项数列，故
n b ==
（2
）由(
11n n n n c c b b ---=-=
得
1n n c c --=，2n ≥，*n N
∈.
累加得1n c c -=
2n ≥
，
故1n c ==，2n ≥，
检验1c 也符合，
则
11n n b c d ⎛⎫
===， 又{}n a 为正项数列，故0d >，
223
1122
11
111111
1
n n n n
b c b c
b c d d d a a a a a a a +⎛⎫⎛⎫+++=-+-+
+-=< ⎪
⎪ ⎝⎭⎝.
点评：数列常见裂项形式： （11
=-
（2）
21111()41
22121
n n n =
---+； （3）
1111(2)(1)(1)2(1)(1)n n n n n n n n ⎡⎤
=-≥⎢⎥+--+⎣⎦
；
（4）11211
(21)(21)2121
n n n n n ++=-----.
21．已知椭圆1C ：()22
2210x y a b a b
+=>>的长轴长为4，离心率为12，一动圆2C 过椭圆1C 右焦
点F ，且与直线1x =-相切.
（1）求椭圆1C 的方程及动圆圆心轨迹2C 的方程；
（2）过F 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆1C 于P ，Q 两点，交曲线2C 于M ，N 两点，求四边形PMQN 面积的最小值.
答案：（1）1C ：22
143
x y +=，2C ：24y x =；
（2）最小值为8. （1）待定系数法求椭圆1C 的方程，由抛物线定义得动圆2C 圆心轨迹的方程； （2）分类讨论斜率情况，再设直线MN 斜率为k ，则另一直线斜率为1
k
-
，利用焦点弦长公式求MN ，利用弦长公式求PQ ，则四边形PMQN 面积为
1
2
MN PQ ⋅，即表达为关于k 的函数关系式，再用整体换元法求最小值.
解：（1）由已知可得22224
23112a a b a c c c e a =⎧=⎧⎪
⇒⇒=-=⎨⎨
===⎩⎪⎩
， 则所求椭圆方程1C ：22
143
x y +=，右焦点()1,0F .
由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线C 的焦点为()1,0，准线方程为1x =-， 则动圆圆心轨迹方程为2C ：24y x =.
（2）当直线MN 的斜率不存在时，4MN =， 此时PQ 的长即为椭圆长轴长，4PQ =， 从而11
44822
PMQN S MN PQ =
⋅=⨯⨯=. 设直线MN 的斜率为k ，则0k ≠，直线MN 的方程为：()1y k x =-， 直线PQ 的方程为()1
1y x k
=-
-， 设()11,M x y ，()22,N x y ，()33,P x y ，()44,Q x y ， 由2
(1)4y k x y x
=-⎧⎨
=⎩，消去y 可得()2222
240k x k x k -++=， 由抛物线定义可知：
2221222
244
224k MN MF NF x x k k +=+=++=+=+
，
由22
1(1)14
3y x k x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得22
2(34)84120k x x k +-+-=， 则1222
12283441234x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
, 从而223434342
1
1
1()||1()4PQ x x x x x x k k
=+--=+
+- 222
2222
184(412)12(1)1()343434
k k k k k k -+=+-=+++， ∴222222211412(1)(1)(4)242234(34)
PMQN
k k S MN PQ k k k k ++=⋅=+=++， 令21k t +=， ∵20k >，则1t >，
则
222
2424213213PMQN
t S t t t t ==
----，
22211
34(1)(0,3)t t t
-
-=-+∈， 所以2
24
821
3PMQN S t t =>--. 综上所述，四边形PMQN 面积的最小值为8.
点评：（1）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
（2）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
22．设函数()ln (1)x f x x a x e =--，其中a R ∈.
（Ⅰ）若0a ≤，讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）若10a e
<<， （i ）证明()f x 恰有两个零点
（ii ）设0x 为()f x 的极值点，1x 为()f x 的零点，且10x x >，证明0132x x ->.
答案：（I ）()f x 在(0,)+∞内单调递增.；
（II ）（i ）见解析；（ii ）见解析.
（I ）；首先写出函数的定义域，对函数求导，判断导数在对应区间上的符号，从而得到结果； （II ）（i ）对函数求导，确定函数的单调性，求得极值的符号，从而确定出函数的零点个数，得到结果；
（ii ）首先根据题意，列出方程组，借助于中介函数，证得结果.
解：（I ）解：由已知，()f x 的定义域为(0,)+∞， 且211'()[(1)]x
x x ax e f x ae a x e x x
-=-+-=， 因此当0a ≤时，210x ax e ->，从而'()0f x >，
所以()f x 在(0,)+∞内单调递增.
（II ）证明：（i ）由（I ）知，21'()x
ax e f x x
-=， 令2()1x g x ax e =-，由10a e
<<
，可知()g x 在(0,)+∞内单调递减， 又(1)10g ae =->，且221111(ln )1(ln )1(ln )0g a a a a a =-=-<， 故()0g x =在(0,)+∞内有唯一解，
从而'()0f x =在(0,)+∞内有唯一解，不妨设为0x ， 则011ln x a <<，当0(0,)x x ∈时，0()()'()0g x g x f x x x
=>=，
所以()f x 在0(0,)x 内单调递增；
当0(,)x x ∈+∞时，0()()'()0g x g x f x x x
=<=， 所以()f x 在0(,)x +∞内单调递减，
因此0x 是()f x 的唯一极值点.
令()ln 1h x x x =-+，则当1x >时，1()10h'x x
=-<，故()h x 在(1,)+∞内单调递减， 从而当1x >时，()(1)0h x h <=，所以ln 1x x <-， 从而1ln 111111(ln )ln ln (ln 1)ln ln ln 1(ln )0a f a e h a a aa a a a
=--=-+=<， 又因为0()(1)0f x f >=，所以()f x 在0(,)x +∞内有唯一零点，
又()f x 在0(0,)x 内有唯一零点1，从而，()f x 在(0,)+∞内恰有两个零点.
（ii ）由题意，01'()0()0f x f x =⎧⎨=⎩，即0120111ln (1)x x ax e x a x e
⎧=⎨=-⎩， 从而1011201ln x x x x e x --=，即102011ln 1
x x x x e x -=-， 因为当1x >时，ln 1x x <-，又101x x >>，故10220101(1)1x x x x e
x x --<=-， 两边取对数，得1020ln ln x x e x -<，
于是10002ln 2(1)x x x x -<<-，整理得0132x x ->，
点评：本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函数思想、化归与转化思想，考查综合分析问题和解决问题的能力.。