江苏省宿迁市沭阳县潼阳中学2022-2023学年高三上学期第一次月考数学试题(解析版)

沭阳县潼阳中学2023届高三第一次月考试卷
一、单选题: 本题共 8 小题，每小题 5 分，共40 分.
1.
已知集合{|A x y ==，{1,2,3,4}B =，则A B = （ ）．
A. {1,2}
B. {1,2,3}
C. {2,3}
D. {4}
【答案】B 【解析】【分析】
由函数的定义域可求集合A ，再求交集即可.
【详解】因为=
y ，
要使函数有意义，则需30x -≥，即3x ≤，即(,3]A =-∞，又{1,2,3,4}B =，所以{1,2,3}A B ⋂=，故选：B ．
2. 已知α∈R ，则
“sin α=”是“1cos 23α=”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件C 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】
【分析】根据两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.
【详解】若sin α=
，则2
21cos 212sin 133αα=-=-=，
若1cos 23α=
，则2
112sin 3α-=
，故sin α=，
若
“sin α=
”能推出“1cos 23α=”，
.
但“1cos 23α=
”推不出
“sin α=”，故
“sin α=”是“1cos 23α=”的充分不必要条件，
故选：A .
3. 函数(
)f x =的定义域为（ ）A. []1,2 B. ()
1,2 C. (]
1,2 D. [)
1,2【答案】C 【解析】
【分析】根据二次根式的性质以及分数分母不为0求出函数的定义域即可.【详解】解：由题意得：1020x x ->⎧⎨-≥⎩ 解得1
2x x >⎧⎨≤⎩
，即()f x 的定义域为(]1,2.
故选：C.
4. 已知()1,3P 为角α终边上一点，则22cos cos 2cos cos 2παααα
⎛
⎫+ ⎪
⎝⎭=
+（ ）A. 17
-
B. 67
-
C.
67
D.
17
【答案】C 【解析】
【分析】根据()1,3P 在角α终边上可得tan α，利用诱导公式和二倍角公式化简所求式子为正余弦齐次式，根据正余弦齐次式的求法可求得结果.
【详解】()1,3P 为角α终边上一点，tan 3α∴=，
22222cos cos 2cos sin 2tan 662cos cos 22cos sin 2tan 297
παααααααααα⎛
⎫+ ⎪
⎝⎭∴=-=-=-=
+---.故选：C .
5. 把函数sin 2()y x x =∈R 的图像上所有的点向左平行移动
6
π
个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的1
2倍（纵坐标不变）
，得到的图像所表示的函数是（ ）
A. sin 4,6y x x π⎛⎫=+
∈ ⎪⎝
⎭
R B. sin 4,6y x x π⎛⎫
=-
∈ ⎪⎝
⎭R C. sin 4,3y x x π⎛⎫
=+∈ ⎪⎝
⎭
R D. sin 4,3y x x π⎛⎫
=-
∈ ⎪⎝
⎭
R 【答案】C 【解析】
【分析】根据三角函数的图像变化规律即可求得解析式.
【详解】把函数sin 2()y x x =∈R 的图像上所有的点向左平行移动π
6
个单位长度，所得图像所表示的函数是ππsin 2sin 2()63y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=+
=+∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
R ，再把y =πsin 2()3x x ⎛
⎫+
∈ ⎪⎝
⎭R 图像上所有点的横坐标缩短到原来的1
2倍（纵坐标不变）
，得到的图像所表示的函数是πsin 4()3y x x ⎛⎫
=+∈ ⎪⎝
⎭
R ．故选:C ．
6. 不等式ln 0x kx -≤恒成立，则实数k 的取值范围是（ ）A. [)0,e B. (]
,e C. 10,e
⎡⎤⎢⎥
⎣⎦
D. 1
,e ∞⎡⎫
+⎪
⎢⎣⎭
【答案】D 【解析】
【分析】由题可得ln x
k x
≥在区间(0,)+∞上恒成立，然后求函数()()ln 0x
f x x x
=
>的最大值即得.【详解】由题可得ln x
k x
≥在区间(0,)+∞上恒成立，令()()ln 0x
f x x x
=
>，则()()21ln 0x f x x x -'=>，
当()0,e x ∈时，()0f x '>，当()e,x ∈+∞时，()0f x '<，所以()f x 的单调增区间为()0,e ，单调减区间为()e,+∞；所以()()max 1
e e
f x f ==， 所以1e
k ≥.故选：D.
7. 已知实数a 、b 、c 满足2221a b c ++=，则23ab c +的最大值为（ ）A. 3 B.
134
C. 2
D. 5
【答案】A 【解析】
【分析】由基本不等式可得22212c a b ab -=+≥，求出c 的取值范围，利用二次函数的基本性质可求得
23ab c +的最大值.
【详解】因为22212c a b ab -=+≥，所以，2
2
313233124ab c c c c ⎛⎫+≤-++=--+ ⎪⎝
⎭，因为2
10c -≥，可得11c -≤≤，故当0
1a b c ==⎧⎨=⎩
时，23ab c +取最大值3.
故选：A.
8. 已知函数e 1,0,()(),0,
x x x f x f x x ⎧--≤=⎨-->⎩则使不等式1
(ln )e f x >-成立的实数x 的取值范围为（ ）
A. 10,e ⎛⎫
⎪⎝⎭
B. 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
C. (0,e)
D. (e,)
+∞【答案】C 【解析】
【分析】由函数定义得函数为奇函数，由导数确定函数在0x ≤的单调性，从而得其在R 上的单调性，然后由单调性解函数不等式后由对数函数性质得结论．
【详解】因为(0)0f =，0x >时，()()f x f x =--，因此0x <时也有()()f x f x =--，即函数()f x 是奇函数，
0x ≤时，()e 1x f x x =--，()e 1x f x '=-0≤，
所以()f x 是减函数，所以奇函数()f x 在R 上是减函数，
又1(1)e
f -=，所以1
(1)(1)e f f =--=-，
不等式1
(ln )e
f x >-为(ln )(1)f x f >，所以ln 1x <，0e x <<，
故选：C ．
二、多选题: 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
9. 已知函数2
2()9
x
f x x =
+，则（ ）
A. ()f x 的定义域为R
B. ()f x 是偶函数
C. 函数(2022)y f x =+的零点为0
D. 当0x >时，()f x 的最大值为
13
【答案】AD 【解析】
【分析】根据函数的解析式，分别从定义域、奇偶性、零点、最值考察即可求解.【详解】对A ，由解析式可知()f x 的定义域为R ，故A 正确；对B ，因为22
22()()099
x x
f x f x x x -+-=
+=++，可知()f x 是奇函数，故B 不正确；对C,2
2(2022)
(2022)0(2022)9
x y f x x +=+=
=++，得2022x =-，故C 不正确；对D, 当0x >
时，
2221
0()993x f x x x x <=
=≤=++，当且仅当3x =时取等号，
故D 正确.故选：AD
10. 已知()e x f x x =，x ∈R ，则（ ）A. ()(1)e x
f x x '=- B. 曲线()f x 在(0,0)处的切线斜率为1C. ()f x 在(0,)+∞上单调递增 D. ()f x 的最小值为1e
-
【答案】BCD 【解析】
【分析】选项A ：()(1)e x f x x '=+，故不正确；选项B ：曲线()f x 在(0,0)处的切线斜率为(0)1f '=，故正确；选项C ： ()f x 的单调增区间为(1,)-+∞，故正确；选项D ：()f x 有最小值1
(1)f e
-=-，故正确．
【详解】解：选项A ：因为()e x f x x =，所以()(1)e x f x x '=+，故不正确；
选项B ：曲线()f x 在(0,0)处的切线斜率为0
(0)1e 1f '=⨯=，故正确；
选项C ：令()(1)0x
f x x e '=+>，解得1x >-，所以()f x 的单调增区间为(1,)-+∞，所以()f x 在(0,)
+∞上单调递增，故正确；
选项D ：因为()f x 在(,1)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增，所以()f x 有最小值(1)f e
-=-，故
正确．故选：BCD ．
11. 已知实数0a >，0b >，1a b +=．则下列不等式正确的是（ ）
A. 22a b +≥
B.
≤C. 112216a b ⎛⎫⎛⎫
++≤
⎪⎪⎝⎭⎝⎭
D.
222a b a b b a +≤++【答案】ABD 【解析】
【分析】对于A 、D 利用1b a =-换元整理，2
2222a
b
a
a
+=+
，222211313a b a a b b a a a t t
++==++-++-，再结合基本不等式；对于B 根据()2222a b a b ++≥
，代入整理；对于C 113224a b ab ⎛⎫⎛⎫++=+
⎪⎪⎝⎭⎝⎭，结合()2
4
a b ab +≤计算处理．【详解】∵1a b +=，则1b a =-
∴122222
22a
b
a
a
a a
-+
=+≥=+，当且仅当222a
a =即12a
b ==时等号成立A 正确；
()222222211
11
1a b a a a a b b a a a a a a a -++=+=
+++--+-+令()11,2t a =+∈，则1
a t =
-221131333a t a a t t t t
+==≤-+-++-，当且仅当3t t
=
即t =时等号成立D 正确；
∵a b +≥
，即1≥
≤
，当且仅当1
2
a b ==
时等号成立，B 正确；
∵()2
14
4
a b ab +≤
=
，当且仅当12a b ==时等号成立
()421
112121322416ab a b a b a b a b ab ab +++++⎛⎫⎛⎫++=⨯==+≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，C 不正确；故选：ABD ．
12. 若函数()2cos f x x x x =
-
，则下列说法正确的是（ ）A. 函数()y f x =的图象可由函数sin 2y x =的图象向右平移π
4
个单位长度得到B. 函数()y f x =的图象关于直线3π
8
x =-对称C. 函数()y f x =的图象关于点3π,08⎛⎫
-
⎪⎝⎭
对称D. 函数()y x f x =+在π0,8⎛
⎫
⎪⎝
⎭
上为增函数【答案】BD 【解析】
【分析】由三角函数的恒等变换化简()πsin 24f x x ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，再由三角函数的平移变换可判断A ；求出3π18f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭可判断B 、C ；先判断()y f x =在π0,8⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，即可判断()y x f x =+在π0,8⎛⎫ ⎪⎝⎭
的单调性.
【详解】由题意，()2πcos 22sin 24f x x x x x x x ⎛
⎫=
+==+ ⎪⎝
⎭．函数sin 2y x =的图象向右平移
π4个单位长度可得到()ππsin 2sin 2cos 242f x x x x ⎛⎫⎛
⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，故
A 错误；3π3ππsin 21884f ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫-
=⨯-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，所以函数()y f x =的图象关于直线3π8x =-对称，故B 正确，C 错误；
函数y x =在π0,
8⎛
⎫ ⎪⎝
⎭上为增函数，π0,8x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πππ2,442x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭
，故函数()f x 在π0,8⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递增，所以函数()y x f x =+在π0,8⎛
⎫
⎪⎝
⎭
上为增函数，故D 正确．故选：BD ．
三、填空题: 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. 求值：1
433log lg 253log 3lg 4+-+=___________【答案】1【解析】
【分析】利用对数的运算性质化简可得结果.【详解】原式()3
14
3113log 3lg 254321444
-=+⨯-⨯
=-+-=.故答案为：1.
14. 写出一个最大值为3，最小正周期为2的偶函数()f x =___________.【答案】3cos x π(答案不唯—)【解析】
【分析】根据题意，利用余弦函数的性质可求出函数解析式【详解】解：因为()f x 是最大值为3，最小正周期为2的偶函数，
所以()3cos f x x π=，或()cos 2f x x π=+，或()2cos 1f x x π=+等（答案不唯—)，故答案为：3cos x π（答案不唯一）
15. 已知函数()f x =R ，则实数a 的取值范围是__．
【答案】[1，+∞）【解析】
【分析】等价于ax 2+2x +1≥0恒成立，再对a 分类讨论得解.
【详解】解：函数()f x =R ，
即为ax 2+2x +1≥0恒成立，若a ＝0，则2x +1≥0不恒成立；当a ＞0，∆＝4﹣4a ≤0，解得a ≥1；
当a ＜0，ax 2+2x +1≥0不恒成立．综上可得，a 的取值范围是[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．
16. 已知正实数a ，b ，c 满足2222a b c +=，则c c
a b
+的最小值为___________．【答案】2
【解析】
【分析】由题易得2
c ab ≥
，再由c c a b +≥.
【详解】因为2
2
2
22c a b ab =+≥，即2
c ab ≥
，所以2c c a b +≥=≥，
当且仅当
c c a b =即2c ab =时，等号成立，所以c c
a b
+的最小值为2.故答案为：2.
【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.
四、解答题：本题共6小题，共70分．（17小题10分，其他每小题12分）
17. 计算下列各式的值：
（1
（2
）tan 25tan 35tan 25tan 35++ .【答案】（1）1
2 （2
【解析】
【分析】（1（2）利用两角和的正切公式化简可得结果.【小问1详解】解：原式
12
=
==.
【小问2详解】
解：因为()tan 25tan 35tan 60tan 25351tan 25tan 35+=+==-
，
则原式
)1tan 25tan 35tan 25tan 35=
-+= .
18. 已知函数()()(sin 0,0,)f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图像如图所示.
（1）求()f x 的解析式及对称中心；
（2）先将()f x 的图像纵坐标缩短到原来的1
2倍，再向右平移
π
12
个单位后得到()g x 的图像，求函数()y g x =在π3π,124x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
上的单调减区间和最值.
【答案】（1）()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭，对称中心为,023k ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭，k Z ∈．
（2）单调递减区间为423,ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦；max ()1g x =，min ()g x =．【解析】
【分析】（1）由函数的图像的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得()f x 的解析式，再利用三角函数的图像的对称性，得出结论．
（2）由题意利用函数sin()y A x ω=+的图像变换规律，求得()g x 的解析式，再利用余弦函数的单调性、余弦函数的定义域和值域，得出结论．【小问1详解】
解：根据函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0>ω，||)ϕπ<的部分图像，可得2A =，3254123
πππ
ω⋅
=+，2ω∴=．再根据五点法作图，52122ππϕ⨯
+=，3ϕπ∴=-，故有()2sin 23f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭．
根据图像可得，,03π⎛-
⎫ ⎪⎝⎭
是()
f x 的图像的一个对称中心，故函数的对称中心为,023k ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，k Z ∈．【小问2详解】
解：先将()f x 的图像纵坐标缩短到原来的1
2，可得sin 23y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
的图像，再向右平移
12π
个单位，得到sin 2sin(2)cos 21232y x x x πππ
⎡⎤⎛⎫=--=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
的图像，
即()cos 2g x x =-，
令222k x k πππ-≤≤，k Z ∈，解得2
k x k π
ππ-≤≤，k Z ∈，
可得()g x 的减区间为,2k k π
ππ⎡
⎤
-
⎢⎥⎣
⎦
，k Z ∈，结合3,124x ππ⎡⎤∈⎢
⎥⎣⎦，可得()g x 在3,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间为423,ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
．
又32,62x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
，故当2x π=，2x π=时，()g x 取得最大值，即max ()1g x =；
当26
x π
=
，12
x π
=
时，()g x
取得最小值，即min ()g x =．19. 已知函数321()33
f x x mx nx =
+++，其导函数()'f x 的图象关于y 轴对称2(1)3f =-．
（Ⅰ）求实数,m n 的值；
（Ⅱ）若函数()y f x λ=-的图象与x 轴有三个不同的交点，求实数λ的取值范围．【答案】（Ⅰ）=0,=4m n -，（Ⅱ）725(,33
-【解析】
【分析】（Ⅰ）求导2()2f x x mx n '=++，导函数()'f x 的图象关于y 轴对称得0m =，2
(1)3
f =-代入函
数解析式，联解可得.
（Ⅱ）问题等价于方程()f x λ=有三个不相等实根时，求λ的取值范围.作出两函数图像可得解.【详解】（Ⅰ）2()2f x x mx n '=++ .
导函数()'f x 的图象关于y 轴对称，0m ∴=.
又2
(1)3f =-12(1)3=33f m n ∴=+++-，解得=4n -.
=0,=4m n ∴-.
的
（Ⅱ）由（Ⅰ），得3
1()433
f x x x =
-+ 2()4
f x x '∴=-令2()4=0f x x '∴=-，解得.2x =±
当2x <- 或2x >时，()0f x '>，()f x ∴ 在(,2),(2,)-∞-+∞上分别单调递增.又当22x -<<时，()0f x '<，()f x ∴ 在(2,2)-上单调递减.
()f x ∴的极大值为25(2)3f -=
，极小值为7(2)3f =-.实数λ的取值范围为725
(,)33
-.
【点睛】本题考查利用函数零点存在情况求参数问题.利用函数零点存在情况求参数的策略:
(1)解决由函数零点(方程根)的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合
思想，构建关于参数的方程或不等式求解．
(2)通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．
20. 汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素.在一个限速为40km /h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事后现场勘察测得甲车的刹车距离小于12m ，乙车的刹车距离略超过10m .又知甲、乙两种车型的刹车距离s （单位：m ）与车速x （单位：km /h ）之
间分别有如下关系：20.10.01s x x =+甲，2
0.050.005s x x =+乙.
问：甲、乙两车有无超速现象？
.
【答案】甲车没超速，乙车超速【解析】
【分析】分别解不等式2
0.10.0112s x x =+<甲、2
0.050.00510s x x =+>乙，即可得出结论.【详解】由2
0.10.0112s x x =+<甲可得21012000x x +-<，解得030x ≤<，由2
0.050.00510s x x =+>乙可得21020000x x +->，解得40x >，所以，甲车没超速，乙车超速.
21. 如图，摩天轮的半径为40m ，点O 距地面的高度为50m ，摩天轮做匀速转动，每30min 转一圈，摩天轮上点P 的起始位置在最低点处.
（1）试确定在时刻t （单位：min ）时点P 距离地面的高度；（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P 距离地面超过70m ？【答案】（1）5040cos ,015
h t t π
=-；（2）20分钟.
【解析】
【分析】（1）建立如图所示的平面直角坐标系，从而可得高度h 与t 的关系；（2）令70h >，从而可得所求的时间长.
【详解】（1）建立如图所示的平面直角坐标系，设P 离地方的高度为h ，则以OP 为终边的角为223015
2t t πππ
π⎛⎫--=-
⎪⎝⎭，
故(40cos ,40sin )15215
2P t t πππ
π⎛⎫⎛⎫--
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
所以()40sin 505040cos 15
215h t t π
ππ⎛⎫=---=-
⎪⎝⎭，0t ≥.
（2） 令70030h t >⎧⎨≤≤⎩，即1cos 152030t t π⎧
<
⎪⎨⎪≤≤⎩
，故525t <<
，
故在摩天轮转动一圈内，有20分钟时间长点P 距离地面超过70m.
22. 已知函数()ln 2f x x x ax =++．（1）当0a =时，求()f x 的极值；
（2）若对任意的21,e x ⎡⎤∈⎣⎦，()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）极小值是11+2e e
f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，无极大值.
（2）2
22,e ⎡⎫
-
-+∞⎪⎢⎣⎭
【解析】
【分析】（1）由题设可得()ln 1f x x '=+，根据()f x '的符号研究()f x 的单调性，进而确定极值.
（2）()ln 20f x x x ax =++≤对任意的21,e x ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，转化为：2ln 2
ln x x a x x x
+-≥=+对任意的21,e x ⎡⎤∈⎣
⎦恒成立，令()2
ln g x x x
=+，通过求导求()g x 的单调性进而求得()g x 的最大值，即可求出实数a 的取值范围.【小问1详解】
当0a =时，()ln 2f x x x =+，()f x 的定义域为()0+∞，
，()ln 1=0f x x '=+，则1
e
x =
.
的
令()0f x '>，则1,e
x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，令()0f x '<，则10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭
x ，
所以()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝
⎭上单调递减，在1,e
⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增.
当1e x =
时，()f x 取得极小值且为111
1ln 2+2e e e
e f ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，无极大值.小问2详解】
()ln 20f x x x ax =++≤对任意的21,e x ⎡⎤∈⎣
⎦恒成立，则2ln 2
ln x x a x x x
+-≥
=+对任意的21,e x ⎡⎤∈⎣
⎦恒成立，令()2ln g x x x
=
+，()22
2120x
g x x x x -+'=-+==，所以2x =，则()g x 在[)1,2上单调递减，在(
2
2,e ⎤⎦上单调递增，所以()12g =，()
2
22
e 2e
g =+，所以()()22max 2e 2e g x g ==
+，则222e a -≥+，则2
2
2e a ≤--.实数a 的取值范围为：222,e ⎡⎫
--+∞⎪⎢⎣⎭
.
【。