高考文科数学第11章概率11.2 古典概型试题

A 组 专项基础训练
(时间：35分钟)
1．(2015·全国卷Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )
A.310
B.15
C.110
D.120
【解析】 从1，2，3，4，5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1，2，
3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，
4，5)，(3，4，5)，其中勾股数只有(3，4，5)，所以概率为110
. 【答案】 C
2．(2016·浙江金丽衢十二校二联)4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为偶数的概率为( )
A.12
B.13
C.23
D.34
【解析】 因为从四张卡片中任取出两张的情况为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，
4)，(3，4)，共6种．其中两张卡片上数字和为偶数的情况为(1，3)，(2，4)共2种，所以两
张卡片上的数字之和为偶数的概率为13
. 【答案】 B
3．(2016·课标全国Ⅲ)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M 、I 、N 中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )
A.815
B.18
C.115
D.130
【解析】 小敏输入密码的所有可能情况如下：(M ，1)，(M ，2)，(M ，3)，(M ，4)，(M ，
5)，(I ，1)，(I ，2)，(I ，3)，(I ，4)，(I ，5)，(N ，1)，(N ，2)，(N ，3)，(N ，4)，(N ，5)，共15种．
而能开机的密码只有一种，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率为115
. 【答案】 C
4．(2016·北京)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( ) A.15 B.25
C.825
D.925
【解析】 设这5名学生为甲、乙、丙、丁、戊，从中任选2人的所有情况有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)，共4＋3＋2＋1＝10种．
其中甲被选中的情况有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，共4种，
故甲被选中的概率为410＝25
.故选B. 【答案】 B
5．(2017·太原二模)记连续投掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，向量a ＝(m ，n )与向
量b ＝(1，0)的夹角为α，则α∈⎝
⎛⎭⎫0，π4的概率为( ) A.518 B.512
C.12
D.712
【解析】 方法一 依题意，向量a ＝(m ，n )共有6×6＝36(个)，其中满足向量a ＝(m ，
n )与向量b ＝(1，0)的夹角α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π4，即n ＜m 的(m ，n )可根据n 的具体取值进行分类计数：第一类，当n ＝1时，m 有5个不同的取值；第二类，当n ＝2时，m 有4个不同的取值；第三类，当n ＝3时，m 有3个不同的取值；第四类，当n ＝4时，m 有2个不同的取值；第五
类，当n ＝5时，m 有1个取值，因此满足向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1，0)的夹角α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π4的(m ，n )共有1＋2＋3＋4＋5＝15(个)，所以所求概率为1536＝512
. 方法二 依题意可得向量a ＝(m ，n )共有6×6＝36(个)，其中满足向量a ＝(m ，n )与向量
b ＝(1，0)的夹角α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π4，即n ＜m 的向量a ＝(m ，n )有36－62＝15(个)，所以所求概率为1536＝512
. 【答案】 B
6．(2016·四川)从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a ，b ，则log a b 为整数的概率是________．
【解析】 所有的基本事件有(2，3)，(2，8)，(2，9)，(3，2)，(3，8)，(3，9)，(8，2)，(8，3)，(8，9)，(9，2)，(9，3)，(9，8)，共12个．
记“log a b 为整数”为事件A ，
则事件A 包含的基本事件有(2，8)，(3，9)，共2个．
∴P (A )＝212＝16
. 【答案】 16
7．(2016·江苏)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．
【解析】 先后抛掷2次骰子，所有可能出现的情况可用数对表示为
(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，
(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，
……
(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，
(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共36个．
其中点数之和不小于10的有(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共6个．从
而点数之和小于10的数对共有30个，故所求概率P ＝
3036＝56
. 【答案】 56 8．(2017·海淀一模)现有7名数理化成绩优秀者，分别用A 1，A 2，A 3，B 1，B 2，C 1，C 2表示，其中A 1，A 2，A 3的数学成绩优秀，B 1，B 2的物理成绩优秀，C 1，C 2的化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则A 1和B 1不全被选中的概率为________．
【解析】 从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，所有可能的结果组成的12个基本事件为：(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)．
设“A 1和B 1不全被选中”为事件N ，则其对立事件N 表示“A 1和B 1全被选中”，由于
N ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)}，所以P (N )＝212＝16
，由对立事件的概率计算公式得P (N )＝1－P (N )＝1－16＝56
. 【答案】 56
9．(2017·兰州双基测试)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取一张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c .
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率；
(2)求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率．
【解析】 (1)由题意，(a ，b ，c )所有可能的结果为：(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，
2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27种．
设“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”为事件A ，则事件A 包括(1，1，2)，(1，2，
3)，(2，1，3)，共3种，
所以P (A )＝327＝19
， 因此，“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率为19
. (2)设“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”为事件B ，则事件B 包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种，
所以P (B )＝1－P (B )＝1－327＝89
， 因此，“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率为89
. 10．(2015·天津高考)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．
(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数．
(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．
①用所给编号列出所有可能的结果；
②设A 为事件“编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A 发生的概率．
【解析】 (1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3，1，2.
(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共15种．
②编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共9种．因
此，事件A 发生的概率P (A )＝915＝35
. B 组 专项能力提升
(时间：30分钟)
11．(2017·天津红桥区模拟)从自然数1，2，3，4，5中，任意取出两个数组成两位的自然数，再从这些两位自然数中取出一个数，则取出的数恰好能被3整除的概率为( )
A.25
B.15
C.310
D.12
【解析】 从自然数1，2，3，4，5中任意取出两个数组成两位的自然数，共有5×4＝20个，从这些两位自然数中取出的数恰好能被3整除有12，21，15，51，24，42，45，54，
共8个，故能被3整除的概率为820＝25
. 【答案】 A
12．(2016·安徽芜湖、马鞍山第一次教学质量检测)某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x ，第二次向上的点数记为y ，在直角坐标系xOy 中，以(x ，y )为坐标的点落在直线2x －y ＝1上的概率为( )
A.112
B.19
C.536
D.16
【解析】 掷一枚骰子两次不同的点数共有36种，以(x ，y )为坐标的点落在直线2x －y
＝1上的点有(1，1)，(2，3)，(3，5)．故所求概率为112
，故选A. 【答案】 A
13．(2017·洛阳统考)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a ，b ，则直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点的概率为________．
【解析】 依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a ，b )有(1，1)，(1，2)，(1，3)，…，(6，6)，共36种，其中满足直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点，即满足2a a 2＋b 2
≤2，a 2≤b 2的数组(a ，b )有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，…，(6，6)，共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21种，因此所求的概率等于2136＝712
.
【答案】7 12
14．(2017·雅安模拟)甲、乙两人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
(1)设(i，j)表示甲、乙抽到的牌的牌面数字(如果甲抽到红桃2，乙抽到红桃3，记为(2，3))，写出甲、乙两人抽到的牌的所有情况；
(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率是多少？
(3)甲、乙约定，若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；否则，乙胜，你认为此游戏是否公平？请说明理由．
【解析】(1)方片4用4′表示，则甲、乙两人抽到的牌的所有情况为：(2，3)，(2，4)，(2，4′)，(3，2)，(3，4)，(3，4′)，(4，2)，(4，3)，(4，4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)共12种不同的情况．
(2)甲抽到3，乙抽到的牌只能是2，4，4′，因此乙抽到的牌的牌面数字大于3的概率为2
3.
(3)甲抽到的牌的牌面数字比乙大，有(3，2)，(4，2)，(4，3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种情况．
甲胜的概率为P1＝5
12，乙胜的概率为P2＝7
12.
因为5
12＜7
12
，所以此游戏不公平．
15．(2017·山东枣庄八中南校区2月模拟)根据我国颁布的《环境空气质量指数(AQI)技术规定》：空气质量指数划分为0～50、51～100、101～150、151～200、201～300和大于300六级，对应空气质量指数的六个级别，指数越大，级别越高，说明污染越严重，对人体健康的影响也越明显．专家建议：当空气质量指数小于150时，可以进行户外运动；空气质量指数为151及以上时，不适合进行旅游等户外活动，下表是济南市2015年12月中旬的空气质量指数情况：
(1)求12月中旬市民不适合进行户外活动的概率；
(2)一外地游客在12月中旬来济南旅游，想连续游玩两天，求适合连续旅游两天的概率．
【解析】 (1)该试验的基本事件空间Ω＝{11，12，13，14，15，16，17，18，19，20}，基本事件总数n ＝10.
设事件A 为“市民不适合进行户外活动”，则A ＝{13，14，19，20}，包含基本事件数
m ＝4.所以P (A )＝410＝25
， 即12月中旬市民不适合进行户外活动的概率为25
. (2)该试验的基本事件空间Ω＝{(11，12)，(12，13)，(13，14)，(14，15)，(15，16)，(16，
17)，(17，18)，(18，19)，(19，20)}，
基本事件总数n ＝9，
设事件B 为“适合连续旅游两天的日期”，则B ＝{(11，12)，(15，16)，(16，17)，(17，
18)}，包含基本事件数m ＝4，
所以P (B )＝49，所以适合连续旅游两天的概率为49
.。