2006广东佛山二模-数学

试卷类型：A
2006年佛山市高考模拟考试
数 学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1． 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题
卡上.用2B 铅笔将答题卡试卷类型（A ）填涂在答题卡上.在答题卡右上角的“试 室号”和“座位号”栏填写试室号、座位号，并用2B 铅笔将相应的试室号、座 位号信息点涂黑.
2． 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3． 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区
域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使 用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4． 考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么P (A +B )=P (A )+P (B ).
如果事件A 、B 相互独立，那么P (A ·B )=P (A )·P (B ).
第Ⅰ卷 选择题(共50分)
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有且
只有一个是正确的.
1． 不等式5|2|1<+<x 的解集是( ).
A ．)3,1(-
B ．)1,3(-∪)7,3(
C ． )3,7(--
D ．)3,7(--∪)3,1(-
2． 向量a = (1,2)，b = (x ,1)，c = a + b ，d = a - b ，若c //d ，则实数x 的值等于( ).
A ．
21 B ．21- C ．61 D ． 6
1
- 3． 已知下列命题(其中b a ,为直线，α为平面)：
① 若一条直线垂直于平面内无数条直线，则这条直线与这个平面垂直； ② 若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面； ③ 若α//a ，α⊥b ，则b a ⊥；
④ 若b a ⊥，则过b 有唯一α与a 垂直. 上述四个命题中，真命题是( ).
A ．①，②
B ．②，③
C ．②，④
D ．③，④ 4． 已知ααcos sin 2=，则
α
αα2cos 1
2sin 2cos ++的值是( ).
A ．3
B ．6
C ．12
D ．
2
3 5． 下列各组命题中，满足“‘p 或q ’为真、‘p 且q ’为假、‘非p ’为真”的是( ).
A . p ：φ=0； q ：φ∈0.
B . p ：在△AB
C 中，若B A 2cos 2cos =，则B A =；
q ：x y sin =在第一象限是增函数. C . p ：),(2R b a ab b a ∈≥+；
q ：不等式x x >||的解集是)0,(-∞.
D . p ：圆1)2()1(22=-+-y x 的面积被直线1=x 平分；
q ：椭圆13
42
2=+y x 的一条准线方程是4=x .
6． 若x x f 2)(=的反函数为)(1
x f
-，且4)()(1
1
=+--b f
a f
，则
b
a 1
1+的最小值是( ). A ．1 B ．21 C ．31 D ．4
1
7． 设复数2)1(11i i
i
z -+-+=，则7)1(z +的展开式（按z 升幂排列）的第5项是( ).
A ．35
B ．i 35-
C ．21-
D ．i 21
8. 设动点A , B （不重合）在椭圆14416922=+y x 上，椭圆的中心为O ，且0=⋅OB OA ，
则O 到弦AB 的距离OH 等于( ).
A ．320
B ．415
C ．5
12
D ．154
9． 函数)(x f 对R y x ∈,都有)()()(y x f y f x f +=⋅.若2
1
)1(=f ，)()(*N n n f a n ∈=，
则数列{}n a 的前n 项和n S 的极限是( ).
A ．0
B ．1
C ．2
1
D ．2
10．某大楼共有20层，有19人在第1层上了电梯，他们分别要到第2层至第20层，每
层1人.电梯只在中间某一层停1次，可知电梯在第3层停的话，则第3层下的人最 满意，其中有1人要下到第2层，有17人要从第3层上楼，就不太满意了.假设乘客 每向下走一层的不满意度为1，向上走一层的不满意度为2，所有的不满意度之和为S ， 为使S 最小，则电梯应当停在( ).
A ．第12层
B ．第13层
C ．第14层
D ．第15层
第Ⅱ卷 非选择题(共100分)
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．已知⎩
⎨⎧≥+<=)1(ln )1(2)(x a x x x
x f 是R 上的连续函数，则=a .
12．已知⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-+≤--≥-+,063,02,
02y x y x y x 则y x u 2+=的最大值是 ，22y x v +=的最小值是 .
13．设A ={1, 2, 3, 4, 5, 6}，B ={1, 3, 5, 7, 9}， 集合C 是从A ∪B 中任取2个元素组成的集
合，则
C A ∩B 的概率是____________.
14、观察下列的图形中小正方形的个数，则第n 个图中有 个小正方形.
三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分12分）
已知函数)sin()(ϕω+=x A x f （0,0>>ωA ）的图象在y 轴右侧的第一个最高点为
)2,2(M ，与x 轴在原点右侧的第一个交点为)0,6(N .
(1) 求函数)(x f 的解析式；
(2) 函数)(x f 的图象是由x y sin =的图象通过怎样的变换而得到的？
16.（本小题满分12分）
下表为某班英语及数学成绩的分布.学生共有50人，成绩分为5个档次，如表中所示 英语成绩为5分、数学成绩为4分的学生有3人。

若在全班学生中任选一人，其英语 语成绩记为x ，数学成绩记为y .
(1) 1=x 的概率是多少？3≥x 且3=y 的 概率是多少？ (2) 若y 的期望为50
133
，试确定a ,b 的值.
17．（本小题满分14分）
四棱锥P —ABCD 中，侧面PDC 是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是∠ADC ︒=60的菱形，M 为PB 的中点，Q 为CD 的中点.
(1) 求证：P A ⊥CD ；
(2) 求AQ 与平面CDM 所成的角.
18．（本小题满分14分）
已知函数c bx ax x x f ++-=23)(的图象为曲线E .
(1) 若曲线E 上存在点P ，使曲线E 在P 点处的切线与x 轴平行，求a ,b 的关系； (2) 说明函数)(x f 可以在1-=x 和3=x 时取得极值，并求此时a ,b 的值； (3) 在满足(2)的条件下，c x f 2)(<在]6,2[-∈x 恒成立，求c 的取值范围.
19．（本小题满分14分）
已知椭圆12222=+b
y a x )33
0,,(<<∈+b R b a 过点)0,1(A ，且与x y =||的交于B ,C .
(1) 用b 表示B ,C 的横坐标；
(2) 设以A 为焦点，过点B ,C 且开口向左的抛物线的顶点坐标为)0,(m M ，求实数m 的取值范围．
20．（本小题满分14分）
设f 1(x )=
x
+12
，定义f n +1 (x )= f 1［f n (x )］，a n =2)0(1)0(+-n n f f （n ∈N *）.
(1) 求数列｛a n ｝的通项公式； (2) 若n n
na a a a T 23212232++++= ，Q n =1
44422+++n n n
n （n ∈N *），试比较9T 2n 与
Q n 的大小，并说明理由.
第17题图
C B
A
D Q P M
2006年佛山市高考模拟考试 数学(参考答案和评分标准)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.其中12题的第一个空3分，第二
个空2分.
11.2. 12.5. 13.28
3
. 14.2)2)(1(++n n .
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.
15．解：(1) 根据题意，可知2=A ，
4264
=-=T
，即16=T . ……………………………2分 于是8
2π
πω==
T . ………………………………………………………………………………………………3分 将点)2,2(M 代入)8
sin(2)(ϕπ
+=x x f ，得
2)28sin(2=+⋅ϕπ即1)28
sin(=+⋅ϕπ
. …………………………………………………………5分 满足1)28
sin(=+⋅ϕπ的最小正数4
π
ϕ=
. ……………………………………………………………7分
从而所求的函数解析式是)4
8sin(2)(π
π+
=x x f . ……………………………………………8分
(2)略.（振幅变换1分.周期变换、相位变换做对一个2分，全对3分） ……12分
16．解：显然y x ,是随机变量.
(1)10150311)1(=++=
=x p .254
5071)3,3(=
+==≥y x p . …………………………………6分 (2)由y 的期望为50
133
，得
50
133
5081501525015350445055=
+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯a b ，即94=+b a . …………………9分 根据表中数据，得5047=++b a ，即3=+b a . ………………………………………………11分 联立解得2,1==b a . …………………………………………………………………………………………12分
17.解：(1)连结PQ ，AQ .
∵△PCD 为正三角形， ∴PQ ⊥CD .
∵底面ABCD 是∠ADC ︒=60的菱形，∴AQ ⊥CD .
∴CD ⊥平面P AQ . ………………………………………………………………………………………………4分 ∴P A ⊥CD .
(2)设平面CDM 交P A 于N ，∵CD //AB ， ∴CD //平面P AB . ∴CD //MN . 由于M 为PB 的中点，∴N 为P A 的中点. 又PD =CD =AD ，∴DN ⊥P A . 由(1)可知P A ⊥CD ，
∴P A ⊥平面CDM . ………………………………………………………………………………………………8分 ∴平面CDM ⊥平面P AB .
∵P A ⊥平面CDM ，联接QN 、QA ，则AQN 为AQ 与平面CDM 所成的角. (10)
分
在Rt
PMA 中，AM =PM =3，
∴AP =6，∴AN =2
6
，sin AQN =
AQ AN
=2
2
. ∴AQN =45°. (14)
分
(2)另解（用空间向量解）： 由(1)可知PQ ⊥CD ，AQ ⊥CD .
又由侧面PDC ⊥底面ABCD ，得PQ ⊥AQ .
因此可以如图建立空间直角坐标系xyz Q -. ...............................................................6分 易知P (0 , 0 ,3)、A (3, 0 , 0)、B (3, 2 , 0)、 C （0 , 1 , 0）、D （0 , 1 , 0）. (7)
分
①由PA =（3, 0 ,
3），CD =（0 , 2 , 0），得⋅=0.
∴P A ⊥CD . ……………………………………………………………………………………………………………9分
②由M （
23, 1 , 23），CM =（23, 0 , 2
3
），得⋅=0. ∴P A ⊥CM . 10分
∴P A ⊥平面CDM ，即平面CDM ⊥平面P AB 从而就是平面CDM 的法向量. 12分
设AQ 与平面所成的角为 ，
B
C B
A
D
Q P M
N 第17题图
则sin =|cos<,>|=2
2|6
33|
=
⨯. ∴AQ 与平面所成的角为45°. ……………………………………………………………………………14分
18．解：(1)根据题意，023)(2=+-='b x a x x f 有解，
∴01342≥-=∆b a 即b a 32≥. ……………………………………………………………………………3分 (2)若函数)(x f 可以在1-=x 和3=x 时取得极值，
则023)(2=+-='b x a x x f 有两个解1-=x 和3=x ，且满足b a 32≥.
易得9,3-==b a . ………………………………………………………………………………………………6分 (3)由(2)，得c x x x x f +--=93)(23. ………………………………………………………………7分 根据题意，x x x c 9323-->(]6,2[-∈x )恒成立. ……………………………………………9分 ∵函数x x x x g 93)(23--=（]6,2[-∈x ）在1-=x 时有极大值5（用求导的方法）， 且在端点6=x 处的值为54.
∴函数x x x x g 93)(23--=（]6,2[-∈x ）的最大值为54. …………………………13分 所以54>c . …………………………………………………………………………………………………………14分
19．解：(1)由于椭圆122
22=+b
y a x 过点)0,1(A ，
故1=a . ………………………………………………………………………………………………………………1分
B ,
C 横坐标适合方程⎪⎩
⎪
⎨⎧=+=.
1,||22
2b y x x y 解得2
1b b x +=
(330<
<b 即2
1
0<<x )．………………………………………………………4分 即B ,C 横坐标是2
1b b x +=
(330<
<b 即2
1
0<<x ).……………………………………5分 (2)根据题意，可设抛物线方程为)1,0)((22>>--=m p m x p y ． …………………6分 ∵
12
-=m p
，∴))(1(42m x m y --=．………………………………………………………………7分
把x y =||和21
0<
<x （等同于B ,C 坐标（21b b +，21b b +±））代入式抛物线方
程，得)21
0,1(0)1(4)1(42<<>=---+x m m m x m x . ……………………………………9分
令)2
1
0,1)(1(4)1(4)(2<<>---+=x m m m x m x x f ．……………………………………10分
则)2
1
,0()(在x f 内有根（并且是单调递增函数），
∴⎪⎩⎪⎨⎧>---+=<--=.0)1(4)1(241
)21(,0)1(4)0(m m m f m m f ………………………………………………………………13分 解得4
2
31+<
<m ． …………………………………………………………………………………………14分 (注：未得到2
1
0<<x ，后续解答若过程正确可酌情给一半分)
20．解：（1）∵f 1(0)=2，a 1=
2212+-=4
1
，f n +1(0)= f 1［f n (0)］=)0(12n f +, …………2分
∴a n +1=2)0(1)0(11+-++n n f f =2)
0(121
)0(12
++-+n n f f =)0(24)0(1n n f f +-= -212)0(1)0(+-n n f f = -21
a n . ……………4分
∴数列｛a n ｝是首项为
41,公比为-21的等比数列，∴a n =41(2
1
-)n 1. ………………5分 （2）∵T 2
n = a 1+2a
2+3a
3+…+(2n -1)a 2
n 1+2na 2
n ，
∴21-T 2
n = (-21a 1)+(-21)2a
2+(-21)3a
3+…+(-21)(2n -1)a 2
n －1+)21
(-2na 2
n
= a
2+2a
3+…+(2n －1)a 2
n －na 2
n .
两式相减，得23
T 2
n = a 1+a 2+a
3+…+a 2
n +na 2
n . ……………………………………………………7分
∴23T 2n =
2
11)21(1412+
⎥
⎦⎤⎢⎣⎡--n +n ×41(-21)2n 1=61-61(-21)2n +4n (-21)2n 1. T 2n =91-91(-21)2n +6n (-21)2n 1=91(1-n n 22
1
3+). …………………………………………………9分
∴9T 2n =1-n n 221
3+.
又Q n =1-2
)
12(1
3++n n ， ……………………………………………………………………………………………10分
当n =1时，22
n = 4,(2n +1)2=9,∴9T 2
n ＜Q n ； ……………………………………………………11分
当n =2时，22
n =16,(2n +1)2=25,∴9T 2
n ＜Q n ； …………………………………………………12分
当n ≥3时，2231022)12()(])11[(2+>++++=+=n C C C C n n n n n
n n ， ∴9T 2
n ＞Q n . …………………………………………………………………………………………………………14分。