2020-2021学年四川省成都市新都一中高三(上)月考数学试卷(12月份)(附答案详解)

2020-2021学年四川省成都市新都一中高三（上）月考数
学试卷（12月份）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1.复数z满足(z−2i)⋅(1+i)=2(i为虚数单位)，则复数z−在复平面内对应的点在()
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2.设集合A={x∈Z|x2−4x+3≤0}，B={x|log2(x−2)≤1}，则A∩B=()
A. {x|2<x≤3}
B. {3}
C. {2,3}
D. {2,3,4}
3.已知命题p：“x>2”是“x2−3x+2≥0”的充分不必要条件；命题q：∀x∈R，
x2+2x+1>0.则下列命题是真命题的是()
A. p∨q
B. p∧q
C. (￢p)∨q
D. (￢p)∧(￢q)
4.已知a，b，c满足a>b>c，且ac>0，则下列选项中一定能成立的是()
A. ab>ac
B. c(b−a)>0
C. ab(a−c)>0
D. cb2>ca2
5.过抛物线C：y2=8x的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，若|AF|=6，则|BF|=
()
A. 9或6
B. 6或3
C. 9
D. 3
6.已知向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=1，|b⃗ |=1，且a⃗⋅b⃗ =1
2
，若向量c⃗与a⃗+b⃗ 共线，则|a⃗+c⃗|的取值范围为()
A. [3
4,+∞) B. [1
2
,+∞) C. [1
4
,+∞) D. [√3
2
,+∞)
7.数列{a n}是等差数列，S n为其前n项和，且a1<0，a2020+a2021<0，a2020⋅a2021<
0，则使S n<0成立的最大正整数n是()
A. 2020
B. 2021
C. 4040
D. 4041
8.如图为某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积是
()
A. 12πa2
B. 6πa2
C. 3πa2
D. πa2
9.过点A(−4,−1)作圆C：(x−2)2+(y−1)2=4的一条切线AB，切点为B，则三角
形ABC的面积为()
A. 2√10
B. 6√10
C. 12
D. 6
10. 已知函数f(x)=sinωx(ω>0)的图像关于直线x =π
3对称，且f(x)在[0,π
8]上为增函
数，将函数f(x)的图像向右平移π
2个单位得到函数g(x)的图像，则g(x)在[0,7π
18]上的值域为( )
A. [−1,−1
2]
B. [−1,−√2
2] C. [−√22,−1
2] D. [−√22,1
2
] 11. 已知圆O ：x 2+y 2=r 2(r >0)与x 轴的交点为A 、B ，以A 、B 为左、右焦点的双曲
线C ：
x 2a
2−
y 2b 2
=1(a >0,b >0)的右支与圆O 交于P ，Q 两点，若直线PQ 与x 轴的交
点恰为线段AB 的一个四等分点，则双曲线的离心率等于( )
A. √3+1
B. 2√3−1
C. √3+1
2 D. 2√3−12
12. 已知定义在R 上的函数f(x −1)的图像关于点(1,0)对称，且满足f(2−x)=f(2+
x)，则下列说法正确的是( )
A. 函数f(x)是周期函数，且2是一个周期
B. 函数f(x)是奇函数，且在[−2,2]上单调递增
C. 函数f(x)是偶函数，且图像关于x =2对称
D. 函数f(x)是周期函数，且图像关于x =2对称
二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知样本5，6，7，a ，b 的平均数为7，方差为2，则ab = ______ ． 14. 已知(e 0.7)a >(0.7e )a (e =2.718…)，则实数a 的取值范围是______．
15. 变量x ，y 满足约束条件{x +y ≥0
x −2y +2≥0mx −y ≤0
，若z =2x +y 的最大值为2，则实数m =
______ ．
16. 已知数列{a n }，{b n }，其中数列{a n }满足a n+5=a n (n ∈N ∗)，前n 项和为S n 满足S n =
(−1)n a n +1
2n +n −3(1≤n ≤6)；数列{b n }满足：b n+8=b n (n ∈N ∗)，且b 1=2，b n+1=n
n+1b n (1≤n ≤7)，则数列{a n ⋅b n }的第2024项的值为______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）
17. 已知a 、b 、c 分别为△ABC 内角A 、B 、C 的对边，且满足
a+c b
=sinA+sinB
sinC−sinA ．
(1)求角C 的大小；
(2)若c =6，求△ABC 面积的最大值．
18.如图，在三棱锥A−BCD中.AB⊥平面BCD，∠BCD=90°，
BC=CD=1，AB=√3，E，F分别在AC，AD上，且EF//CD．
(1)求证：平面BEF⊥平面ABC；
(2)若多面体EFBCD的体积等于√3
，求EF的长．
9
19.若一正四面体的四个面分别写上数字1，2，3，4，设m和n是先、后抛掷该正四面
体得到的底面上的数字，用X表示函数f(x)=x2+mx+n零点的个数．
(1)求X=0的概率；
(2)求在先后两次出现的点数中有数字3的条件下，函数有零点的概率．
20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(−2,0)，B(2,0)，E 为动点，且直线EA 与直线EB
的斜率之积为−1
4．
(1)求动点E 的轨迹C 的方程；
(2)过点D(0,−2)作直线l 与曲线C 交于P 、Q 两点，N 点满足ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，问是否存在这样的直线l ，使得四边形OPNQ 为矩形？若存在，求出直线的方程，并求N 点坐标；若不存在说明理由．
21. 已知函数f(x)=，当x =2
3时，函数f(x)有极大值4
27．
(Ⅰ)求实数b 、c 的值；
(Ⅱ)若存在x 0∈[−1,2]，使得f(x 0)≥3a −7成立，求实数a 的取值范围．
22. 已知曲线C 的参数方程是{
x =4t 2
y =4t
(t 为参数)，以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ−θ0)=2cosθ0． (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
(2)设直线l 交y 轴于点P ，与曲线C 相交于A ，B 两点，若|PA|，|AB|，|PB|成等比数列，求直线l 的方程．
23.已知函数f(x)=|x+1|．
(1)解不等式f(x)<4−|2x−1|；
(2)已知m+n=1(m>0,n>0)，若−1≤a≤3，求证：|x+a|−f(x)≤1
m +1
n
−2．
答案和解析
1.【答案】D
=1−i，
【解析】解：由(z−2i)⋅(1+i)=2得：z−2i=2
1+i
∴z=1+i，z−=1−i.则z−对应的点(1,−1)在第四象限，
故选：D．
先求出z，然后求出z的共轭复数，由此即可求解．
本题考查了共轭复数的概念，考查了复数对应的点的位置，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：A={x∈Z|1≤x≤3}={1,2,3}，B={x|0<x−2≤2}={x|2<x≤4}，∴A∩B={3}．
故选：B．
可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．
本题考查了描述法和列举法的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的定义域和单调性，考查了计算能力，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：∵x2−3x+2≥0的解是x≥2或x≤1，
∴“x>2”是“x2−3x+2≥0”的充分不必要条件，命题p是真命题，
∵当x=−1时，x2+2x+1=0，
即存在x0=−1，使得x02+2x0+1=0成立，
故命题q是假命题．
故选：A．
直接利用充分条件和必要条件，恒成立问题和存在性问题，真值表，命题真假的判定的应用判断A、B、C、D的结论．
本题考查的知识要点：充分条件和必要条件，恒成立问题和存在性问题，真值表，命题真假的判定，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了不等式的基本性质，考查了分类讨论思想，属于基础题．
取特殊值，利用排除法判断ABD，用不等式的性质判断C即可．
【解答】
解：取a=−1，b=−2，c=−3，
则ab=2<ac=3，cb2=−12<ca2=−3，排除A、D；
取a=3，b=2，c=1，则c(b−a)=−1<0，排除B；
若a，b，c满足a>b>c，且ac>0时，
①a>b>c>0，此时ab>0，则ab(a−c)>0；
②0>a>b>c，此时ab>0，则ab(a−c)>0．
故选项C符合题意．
故选：C．
5.【答案】D
【解析】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则由题意可得：点F(2,0)，|AF|=x1+2=6，x1=4，
由y12=8x1，得y1=±4√2，
=±2√2，直线AB方程为y=±2√2(x−2)，
所以k AB=±4√2
4−2
将直线AB方程代入y2=8x化简得x2−5x+4=0，
所以x2=1，所以|BF|=x2+2=3，
故选：D．
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，利用抛物线的性质推出x1=4，求出A的坐标，得到直线AB方程，将直线AB方程代入y2=8x化简得x2−5x+4=0，求解B的横坐标，然后求解即可．
本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的简单性质的应用，是中档题．6.【答案】B
【解析】解：∵c⃗和a⃗+b⃗ 共线，
∴设c⃗=λ(a⃗+b⃗ )，
∴|a⃗+c⃗|=√a⃗2+2a⃗⋅c⃗+c⃗2=√1+2λ(a⃗2+a⃗⋅b⃗ )+λ2(a⃗2+2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2) =√3λ2+3λ+1
∴当λ=−1
2时，取得最小值，最小值为√3
4
−3
2
+1=1
2
，
故选：B．
根据c⃗与a⃗+b⃗ 共线，设c⃗=λ(a⃗+b⃗ )，利用模长公式即可求出结果．
本题主要考查了向量平行和模长公式，以及二次函数最值问题，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】解：设数列{a n}的公差为d，
则由a1<0，a2020+a2021<0，a2020⋅a2021<0，
可知a2020<0，a2021>0，所以d>0，
数列为递增数列，S4041=4041a2021>0，S4040=2020(a1+a4040)=2020(a2020+ a2021)<0，
所以可知n的最大值为4040．
故选：C．
等差数列{a n}满足，首项a1<0，a2020+a2021<0，a2020⋅a2021<0，可得a2020<0，a2021>0，再利用求和公式及其性质即可得出结论．
本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：根据三视图可知，该几何体为如图正方体中的三棱锥A−BCD，
正方体的棱长等于a，三棱锥的外接球就是正方体的外接球，
所以外接球的直径2R=√3a，
因此外接球的表面积为S=4πR2=3πa2，
故选：C．
画出几何体的直观图，求解外接球的半径，然后求解外接球的表面积即可．
本题考查三视图判断几何体的形状，几何体的外接球的表面积的求法，是中档题．9.【答案】D
【解析】解：根据题意，圆C：(x−2)2+(y−1)2=4，则C的坐标为(2,1)，其半径r=2，则|AC|=√(−4−2)2+(−1−1)2=2√10，
|AB|=√|AC|2−r2=√40−4=6，
因此S△ABC=1
2|AB|⋅|CB|=1
2
×6×2=6．
故选：D．
根据题意，求出圆的圆心和半径，由此求出|AC和|AB|的值，利用三角形面积公式计算三角形ABC的面积即可．
本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆相切的性质，属于基础题．
10.【答案】A
【解析】解：因为函数f(x)=sinωx(ω>0)的图像关于直线x=π
3
对称，
所以π
3ω=π
2
+kπ,k∈Z，
解得ω=3k+3
2
,k∈Z①，
又因为f(x)在[0,π
8
]上为增函数，
所以π
8≤π
2ω
，
则0<ω≤4②，
由①②可得ω=3
2
，
所以f(x)=sin3
2
x，
故g(x)=sin[3
2(x−π
2
)]=sin(3
2
x−3π
4
)，
因为x∈[0,7π
18
]，
所以−3π
4≤3
2
x−3π
4
≤−π
6
，
则−1≤sin(3
2x−3π
4
)≤−1
2
，
故g(x)在[0,7π
18]上的值域为[−1,−1
2
]．
故选：A．
先利用正弦函数的对称轴方程，求出ω满足的关系，然后利用单调性确定ω的范围，从而求出ω的值，得到函数f(x)的解析式，由函数的图象变换求出g(x)的解析式，由正弦函数的性质求解值域即可．
本题考查了三角函数的图象与性质的应用，正弦函数的对称轴性与单调性的应用，函数图象变换的应用，三角函数值域的求解，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
11.【答案】A
【解析】解：由题意可知PQ为OB的中垂线，
因为点A，B坐标为(−r,0)，(r,0)，
所以PQ方程为x=r
2
，与x2+y2=r2联立，
可取P(r
2,√3r
2
)，Q(r
2
,−√3r
2
)，所以双曲线的焦距2c=2r，即c=r，
因为|PA|=√(r
2+r)2+(√3r
2
)2=√3r，|PB|=√(r
2
−r)2+(√3r
2
)2=r，
由双曲线定义可得2a=|PA|−|PB|=(√3−1)r，a=(√3−1)r
2
，
所以双曲线的离心率e=c
a
=
√3−1
2
r
=√3+1．
故选：A．
说明PQ为OB的中垂线，求出PQ方程为x=r
2
，与x2+y2=r2联立，推出P、Q坐标，利用距离公式，结合双曲线的定义，转化求解离心率即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
12.【答案】D
【解析】解：因为f(x−1)的图象关于点(1,0)对称，
所以函数f(x)的图象关于点(0,0)对称，
又函数f(x)的定义域为R，
所以f(x)为奇函数，
故选项C错误；
因为f(2−x)=f(2+x)，
所以f(x)的图象关于直线x=2对称，
又f(−x)=f(4+x)=−f(x)，
则f(x+8)=−f(x+4)=f(x)，
所以函数f(x)是以8为周期的函数，
故选项A错误，
又无法判断函数f(x)的单调性，
故选项B错误，选项D正确．
故选：D．
利用图象变换，确定函数f(x)的图象关于点(0,0)对称，从而判断函数f(x)的奇偶性，然后由f(2−x)=f(2+x)，即可判断函数的对称性，周期性，即可判断答案．
本题考查了函数性质的综合应用，主要考查了函数的对称性、奇偶性以及周期性的判断与应用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．
13.【答案】72
【解析】解：因为样本5，6，7，a，b的平均数为7，
所以5+6+7+a+b=35，化简得a+b=17，
[22+12+02+(a−7)2+(b−7)2]=2，
由方差定义可得1
5
即a2+b2−14a−14b+93=0，
可化为(a+b)2−2ab−14(a+b)+93=0，
将a+b=17代入，解得ab=72．
故答案为：72．
根据平均数和方差的定义列方程组，即可求得ab的值．
本题考查了平均数和方差的定义与应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．14.【答案】(0,+∞)
【解析】解：∵e≈2.718…，∴e0.7>1>0.7e>0，
∴e0.7
0.7e
>1，
又∵(e0.7)a>(0.7e)a，
∴(e0.7
0.7e
)a>1，
∵函数y=(e0.7
0.7e
)x在R上单调递增，
∴a>0，
即实数a的取值范围是(0,+∞)．
故答案为：(0,+∞)．
易知e0.7
0.7e >1，所以函数y=(e0.7
0.7e
)x在R上单调递增，又因为(e0.7
0.7e
)a>1，所以a>0．
本题主要考查了指数函数的图像和性质，是基础题．
15.【答案】3
【解析】解：由约束条件作出可行域如图，
分析可知，当m≤1
2
时，z=2x+y没有最大值2；
当m>1
2
时，目标函数对应的直线z=2x+y过直线mx−y=0和x−2y+2=0的交点
A(2
2m−1,2m
2m−1
)时，取最大值，
代入2x+y=2，解得m=3．
故答案为：3．
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最
优解的坐标代入目标函数即可求得m 值．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．
16.【答案】27
64
【解析】解：∵S n =(−1)n a n +1
2n +n −3(1≤n ≤6)， ∴当n =1时，由S 1=(−1)1a 1+1
2+1−3得a 1=−3
4， 当n =3时，a 1+a 2+a 3=−a 3+1
8，∴a 2+2a 3=7
8①， 当n =4时，a 1+a 2+a 3+a 4=a 4+1
16+1，∴a 2+a 3=29
16②， 由①②得a 2=
11
4
，a 3=−15
16， 当n =5时，a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=−a 5+1
32+2，∴a 4+2a 5=31
32③， 当n =6时，a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6=a 6+1
64+3，∴a 4+a 5=12564
④，
由③④得a 4=47
16，a 5=−63
64． ∵b n+1=
n
n+1b n
(1
≤n ≤7)，b 1=2，
∴(n +1)b n+1=nb n =2(1≤n ≤7)，∴b n =2
n (1≤n ≤8)， ∵a n+5=a n (n ∈N ∗)，b n+8=b n (n ∈N ∗)，
∴数列{a n ⋅b n }是以40为周期的数列，因此a 2024⋅b 2024=a 24⋅b 24， 而a 24=a 4=47
16，b 24=b 8=2
8=1
4， 因此a 2024⋅b 2024=a 24⋅b 24=47
16×1
4=47
64． 故答案为：47
64．
根据S n =(−1)n a n +1
2n +n −3，分别令n =1，3，4，5，6，即可求出各项，根据b n+1=n
n+1b n
(1
≤n ≤7)，可得b n 的通项公式，即可得到数列{a n ⋅b n }是以40为周期的数列，
问题得以解决．
本题考查了数列的递推公式，以及数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由a+c
b =sinA+sinB
sinC−sinA
和正弦定理得a+c
b
=a+b
c−a
，
化简得：c2=a2+b2+ab，即a2+b2−c2=−ab，
所以由余弦定理得cosC=a2+b2−c2
2ab =−1
2
，
因为C是三角形的内角，所以C=120°．
(2)因为c=6，由c2=a2+b2+ab≥3ab，当且仅当a=b时取等号，所以ab≤12，当且仅当a=b=2√3时取等号，
所以△ABC面积S=1
2
absinC≤3√3，
即△ABC面积的最大值为3√3．
【解析】(1)由正弦定理化简已知等式可得a+c
b =a+b
c−a
，解得cosC=−1
2
，根据C的范围即
可解得C的值，
(2)结合基本不等式求出ab≤12，进而求出面积的最值．
本题主要考查了余弦定理，基本不等式的应用，属于基础题．
18.【答案】(1)证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，
∴AB⊥CD，∵DC⊥BC，BC∩AB=B，
且BC，AB⊂平面ABC，∴DC⊥平面ABC，
∵EF//CD，∴EF⊥平面ABC，
∵EF⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面ABC．
(2)解：由题意知三棱锥A−BCD的体积为V=1
3S△BCD⋅AB=1
3
×1
2
×1×1×√3=√3
6
，
∵多面体EFBCD的体积等于√3
9
，
∴三棱锥A−BEF的体积等于√3
6−√3
9
=√3
18
，
∵三棱锥A−BCD与三棱锥A−BEF是同高的三棱锥，体积比等于它们底面积的比，
∴S△AEF
S△ACD =V B−AEF
V B−ACD
=1
3
，
∵EF//CD，∴S△AEF
S△ACD =EF2
CD2
=1
3
，
∴EF=√3
3CD=√3
3
．
【解析】(1)证明AB⊥CD，结合DC⊥BC，推出DC⊥平面ABC，然后证明EF⊥平面ABC，即可证明平面BEF⊥平面ABC．
(2)求出三棱锥A −BCD 的体积，结合多面体EFBCD 的体积，求解三棱锥A −BEF 的体积，通过S △AEF
S
△ACD
=1
3
，推出结果即可．
本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积以及距离的求法，是中档题．
19.【答案】解：(1)由题意，设基本事件空间为：Q ={(m,n)|m =1，2，3，4；n =1，
2，3，4}，
则Q ={(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)， (3,1)，(3.2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}， 则Q 中共有16个基本事件；
设函数f(x)=x 2+mx +n 零点的个数为0个时为事件A ，
则A ={(m,n)|m =1，2，3，4；n =1，2，3，4，且m 2−4n <0}，
即A ={(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1.4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,3)，(3,4)}，则A 中有9个基本事件，
所以X =0的概率P(X =0)=9
16．
(2)设先后两次出现的点数中有数字3为事件D ，
则Q ={(1,3)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)}，故D 中有7个基本事件， 设先后两次出现的点数中有数字3的条件下，函数有零点的事件为E ， 则E ={(3,1)，(3,2)，(4,3)}，E 中有3个基本事件，
所以先后两次出现的点数中有数字3的条件下，函数有零点的概率为3
7．
【解析】(1)由题意，设基本事件空间为：Q ={(m,n)|m =1，2，3，4；n =1，2，3，4}，利用列举法能求出X =0的概率．
(2)设先后两次出现的点数中有数字3为事件D ，利用列举法能求出先后两次出现的点数中有数字3的条件下，函数有零点的概率．
本题考查概率的求法，涉及到古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力、应用意识等数学核心素养，是基础题．
20.【答案】解：(1)设E(x,y)，则k EA =y
x+2，k EB =y
x−2(x ≠±2)，
∵直线EA 与直线EB 的斜率之积为−1
4， ∴y
x+2×y
x−2=−1
4，
∴动点E 的轨迹C 的方程为
x 24
+y 2=1(x ≠±2)．
(2)当直线l 的斜率不存在时，显然不满足条件，
当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =kx −2，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)， 联立{y =kx −2
x 2
4
+y 2
=1
，得(1+4k 2)x 2−16kx +12=0，
∴x 1+x 2=16k
1+4k 2，x 1x 2=12
1+4k 2，Δ=16(4k 2−3)>0，即 ∵ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴四边形OPNQ 为平行四边形， 假设存在矩形OPNQ ，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+k 2x 1x 2−2k(x 1+x 2)+4=(1+k 2)x 1x 2−2k(x 1+x 2)+4=0，
∴(1+k 2)⋅12
1+4k 2−2k ⋅16k
1+4k 2+4=0， 解得k 2=4，即k =±2， ∴直线l 的方程为y =±2x −2，
当k =2时，x 1+x 2=32
17，y 1+y 2=−4
17，∴PQ 的中点坐标为(16
17,−2
17)，点N 的坐标为(32
17,−4
17)；
当k =−2时，x 1+x 2=−32
17，y 1+y 2=−4
17，∴PQ 的中点坐标为(−16
17,−2
17)，点N 的坐标为(−32
17,−4
17).
综上所述，存在这样的直线l 满足题意，其方程为y =2x −2，N 点坐标为(32
17,−4
17)，或直线l 的方程为y =−2x −2，N 的坐标为(−32
17,−4
17).
【解析】(1)设E(x,y)，写出直线EA 与直线EB 的斜率，再化简，即可；
(2)先讨论直线l 的斜率是否存在，再设直线l 的方程为y =kx −2，将其与椭圆的方程联立，结合韦达定理，由OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得k 的值，从而得解． 本题考查直线与椭圆的位置关系，平面向量加法法则中的平行四边形法则，考查分类讨论的思想，逻辑推理能力和运算能力，属于难题．
21.【答案】解：(Ⅰ)x <1时，f′(x)=−3x 2+2x +b
∵当x =2
3时，函数f(x)有极大值4
27，
∴f′(23)=−43+43+b =0，f(23)=−827+49+c =4
27， ∴b =0，c =0；
(Ⅱ)存在x 0∈[−1,2]，使得f(x 0)≥3a −7成立，等价于x ∈[−1,2]，使得f(x)max ≥3a −7成立
由(Ⅰ)知，f(x)=
①−1≤x <1时，f′(x)=−3x(x −2
3)，函数在(−1,0)上单调递减，在(0,2
3)上单调递增，在(2
3,1)上单调递减
∵f(−1)=2，f(2
3)=4
27，∴−1≤x <1时，f(x)max =2，； ②2≥x ≥1时，f′(x)=a
x ，
1°、a >0，函数在[1,2]上单调递增，f(x)max =f(2)=aln2， ∴或，∴2
ln2<a ≤7
3−ln2或0<a ≤2
ln2；
2°、a ≤0，函数在[1,2]上单调递减，f(x)max =f(1)=aln1=0， ∴2≥3a −7，∴a ≤3，∴a ≤0 综上，实数a 的取值范围是a ≤7
3−ln2．
【解析】(Ⅰ)x <1时，f′(x)=−3x 2+2x +b ，利用当x =2
3时，函数f(x)有极大值4
27，建立方程，即可求得实数b 、c 的值；
(Ⅱ)存在x 0∈[−1,2]，使得f(x 0)≥3a −7成立，等价于x ∈[−1,2]，使得f(x)max ≥3a −7成立，分类讨论，求出函数的最大值，即可求实数a 的取值范围．
本题考查导数知识的运用，考查函数的绝对值，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．
22.【答案】解：(1)∵曲线C 的参数方程是{x =4t 2,y =4t,
∴普通方程为y 2=4x ，
由ρsin(θ−θ0)=2cosθ0得ρsinθcosθ0−ρcosθsinθ0=2cosθ0， 将{x =ρcosθ,y =ρsinθ,
代入化简得直线l 的直角坐标方程为：xsinθ0−(y −2)cosθ0=0． (2)由(1)知点P 坐标为(0,2)，且cosθ0≠0，
∴直线l 的参数方程为{x =λ⋅cosθ0
y =2+λ⋅sinθ0
(λ为参数)，
代入y 2=4x ，整理得sin 2θ0⋅λ2+4λ(sinθ0−cosθ0)+4=0， 设方程两根为λ1，λ2， 则λ1+λ2=
4(cosθ0−sinθ0)
sin 2θ0
，λ1λ2=4
sin 2θ0
，
∵|PA|，|AB|，|PB|成等比数列，∴|AB|2=|PA|⋅|PB|，
由参数λ的几何意义可知(λ1−λ2)2=|λ1λ2|，∴(λ1+λ2)2=5λ1λ2，
16(cosθ0−sinθ0)2
sin 4θ0
=20
sin 2θ0
，
整理得sin 2θ0+8sinθ0cosθ0−4cos 2θ0=0， 令k =tanθ0，
则k 2+8k −4=0，k =−4±2√5，
∴直线l 的方程为y =−(−4+2√5)x +2或y =(−4−2√5)x +2．
【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换；
(2)利用等比数列的性质和三角函数关系式的变换的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，等比数列的定义的应用，三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
23.【答案】(1)解：f(x)<4−|2x −1|等价于|x +1|<4−|2x −1|，
当x <−1时，原不等式化为−(x +1)<4+(2x −1)， 即x >−4
3，∴−4
3<x <−1；
当−1≤x ≤12时，原不等式化为x +1<4+(2x −1)， 即x >−2，∴−1≤x ≤1
2；
当x >1
2时，原不等式化为x +1<4−2x +1， 即x <4
3，∴1
2<x <4
3；
综上可得，原不等式的解集为{x|−4
3<x <4
3}．
(2)证明：|x +a|−f(x)=|x +a|−|x +1|≤|(x +a)−(x +1)|=|a −1|， ∵−1≤a ≤3，∴−2≤a −1≤2，即|a −1|≤2，
∴|x+a|−f(x)=|x+a|−|x+1|≤|a−1|≤2，∵m+n=1(m>0,n>0)，
∴1
m +1
n
=m+n
m
+m+n
n
=2+n
m
+m
n
≥4，
∴1
m +1
n
−2≥2，
∴|x+a|−f(x)≤1
m +1
n
−2．
【解析】(1)由绝对值的定义，对x讨论，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；
(2)由绝对值的性质推得|x+a|−f(x)≤2，再由基本不等式可得1
m +1
n
−2≥2，即可
得证．
本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质、基本不等式的运用，考查分类讨论思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．。