2024年九年级数学下册第30章二次函数30.2二次函数的图像与性质2二次函数y=ax2

感悟新知
x … -3 -2 -1 y=x2+1 … 10 5 2 y=x2-1 … 8 3 0
01 12 -1 0
23… 5 10 … 3 8…
在同一直角坐标系中， 画出二次函数y=x2+1 和y=x2 －1的图像
知1－讲
感悟新知
解: 列表； 虚线为y＝x2 描点； 的图像 连线.
10 y
9 8 7 6 5 4
抛物线y=ax2 +c (a≠0)的图像可由y=ax2的图像通过 上下平移|c|个单位得到.
c＞0 图像
c＜0
开口方向 顶点坐标
向上 (0，c)
向下 (0，c)
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续表：
知2－讲
函数
y＝ax2＋c(a＞0)
y＝ax2＋c(a＜0)
对称轴 增减性
最值
y轴(或直线x＝0)
y轴(或直线x＝0)
当x＜0时，y随x的增大 而减小；当x＞0时，y随
x的增大而增大
当x＜0时，y随x的增大而 增大；当x＞0时，y随 x的增大而减小
A．y＝x2－1
B．y＝x2＋1
C．y＝(x－1)2
D．y＝(x＋1)2
导引：由“上加下减”的原则可知，将二次函数y＝x2的图
象向下平移1个单位，则平移后的图像对应的二
次函数的表达式为y＝x2－1.
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总结
知3－讲
平移的方向决定是加还是减，平移的距离决定加 或减的数值．
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知3－练
例4 抛物线y＝ax2＋c与抛物线y＝－5x2的形状相同，开 口方向一样，且顶点坐标为(0，3)，则其所对应的 函数表达式是什么？它是由抛物线y＝－5x2怎样平 移得到的？
函数y＝ ax2
图像
开口 方向
顶点坐标
对称轴
a＞0
向上
(0，0)
y轴(直线 x＝0)
a＜0
向下
(0，0)
y轴(直线 x＝0)
课时导入
续表：
函数y＝ ax2
增减性
最值
a＞0
当x＞0时，y随x的增大而增大 当x＝0时， 当x＜0时，y随x的增大而减小 y最小值＝0
a＜0
当x＞0时，y随x的增大而减小 当x＝0时， 当x＜0时，y随x的增大而增大 y最大值＝0
3 2 1
知1－讲
y=x2+1
y=x2－1
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
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知1－讲
要点提醒 a决定抛物线的开口方向和开口大小，所以 y=ax2（a≠0）与y=ax2+k（a≠0）的图像开口方向和 开口大小相同，只是位置不同.
感悟新知
例 1 抛物线y＝－2x2＋1的对称轴是( C )
感悟新知
1 对于二次函数y＝3x2＋2，下列说法错误的是( C ) 知2－练 A．最小值为2 B．图像与x轴没有公共点 C．当x<0时，y随x的增大而增大 D．图像的对称轴是y轴
2 已知点(x1，yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)，(x2，y2)均在抛物线y＝ x2－1上，下列说法正确的是( D ) A．若y1＝y2，则x1＝x2 B．若x1＝－x2，则y1＝－y2 C．若0<x1<x2，则y1>y2 D．若x1<x2<0，则y1>y2
值范围是__a_＜__2_且__a_≠_0__．
2 在平面直角坐标系中，下列函数的图像
经过原点的是( D )
A．y＝
1 x
B．y＝－2x－3
C．y＝2x2＋1
D．y＝5x
感悟新知
知识点 2 二次函数y＝ax2+c的性质
思考：
知2－讲
(1)抛物线y=x2+1，y=x2－1的开口方向、对称轴、 顶点各是什么?
感悟新知
知1－讲
知识点 1 二次函数y=ax2+c的图像
做一做 1.画二次函数y= x2+1的图像，你是怎样画的？与同伴进行
交流. 2.二次函数y=x2+1的图像与二次函数y=x2 的图像有什么关
系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐 标分别是什么？ 二次函数y = x2-1的图像呢？
向下平移 1个单位
抛物线 y=x2－1
函数的上下移动
感悟新知
y y=x2+1
10
9
y=x2
8
7
6
5
4
3 2
y=x2－1
1
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
知3－讲
感悟新知
知3－练
例 3 将二次函数y＝x2的图像向下平移1个单位，a(地平线)
则平移后的图像对应的二次函数的表达式为( A )
(2)抛物线y=x2+1，y=x2－1与抛物线y=x2有什么关系?
抛物线y=x2+1: 开口向上, 对称轴是y轴, 顶点为(0,1). 抛物线y=x2－1: 开口向上, 对称轴是y轴, 顶点为(0, －1).
感悟新知
二次函数y＝ax2＋c(a≠0)的图像和性质
知2－讲
函数
y＝ax2＋c(a＞0)
y＝ax2＋c(a＜0)
感悟新知
知3－练
2 如果将抛物线y＝x2＋2向下平移1个单位长度，那么 所得新抛物线的表达式是( C )
A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x＋1)2＋2
C．y＝x2＋1
D．y＝x2＋3
课堂小结
y=ax2+c (a≠0) 开口方向 顶点坐标 对称轴
增 减 性
二次函数
二次函数y=ax2+c的图像与性质
当x＝0时，y最小值＝c
当x＝0时，y最大值＝c
感悟新知
例2 已知点(－7，y1)，(3，y2)，(－1，y3)都在抛物 线y＝ax2＋k(a＞0)上，则( C )
知2－练
A．y1＜y2＜y3
B．y1＜y3＜y2
C．y3＜y2＜y1
D．y2＜y1＜y3
∵抛物线y＝ax2＋k(a＞0)关于y轴对称，且点(3，y2)
a>0
a<0
向上
向下
(0 ,c) y轴
(0 ,c) y轴
当x<0时，y随着x的 增大而减小. 当x>0时，y随着x的 增大而增大.
当x<0时，y随着x的增 大而增大. 当x>0时，y随着x的增 大而减小.
课堂小结
续表 y=ax2+c (a≠0)
极值
二次函数
a>0 x=0时，y最小= c
a<0 x=0时，y最大=c
1 A．直线x＝ 2
1 B．直线x＝－ 2
C．y轴
D．直线x＝2
知1－练
导引：根据二次函数y＝ax2＋c(a≠0)的图像的对称轴是 y轴直接选择．
感悟新知
总结
知1－讲
函数y＝ax2＋c(a≠0)与函数y＝ax2(a≠0)图像特征： 只有顶点坐标不同，其他都相同．
感悟新知
知1－练
1 抛物线y＝ax2＋(a－2)的顶点在x轴的下方，则a的取
感悟新知
总结
知3－讲
根据二次函数y＝ax2＋c的图像和性质来解此类问 题．a确定抛物线的形状及开口方向，c的正负和绝对 值大小确定上下平移的方向和距离．
感悟新知
知3－练
1 抛物线y＝2x2＋1是由抛物线y＝2x2 ( C )得到的． A．向上平移2个单位长度 B．向下平移2个单位长度 C．向上平移1个单位长度 D．向下平移1个单位长度
第三十章 二次函数
30.2
二次函数的图像和性质
第2课时 二次函数y=ax2+c 图像和性质
学习目标
1 课时讲解 2 课时流程
二次函数y=ax2+c的图像 二次函数y=ax2+c的性质 二次函数y=ax2+c的性质与y=ax2 之
间的关系
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
课时导入
复习回顾：二次函数y=ax²的性质
感悟新知
知3－讲
知识点 3 二次函数y＝ax2+c与y＝ax2之间的关系
观察知1中抛物线y=x2+1，抛物线y=x2－1与抛物线 y=x2，它们之间有什么关系？
感悟新知
抛物线y=x2+1，y=x2－1与抛物线y=x2的关系:
抛物线y=x2
向上平移 1个单位 抛物线 y=x2+1
知3－讲
抛物线y=x2
在抛物线上，∴点(－3，y2)也在抛物线上．
∵(－7，y1)，(－3，y2)，(－1，y3)三点都在对称轴左
侧，在y轴左侧时，y随x的增大而减小，且－7＜－3
＜－1，∴y3＜y2＜y1.
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总结
知2－讲
对于在抛物线的对称轴两侧的函数值的大小比较， 运用转化思想．先根据对称性将不在对称轴同侧的点 转化为在对称轴同侧的点，再运用二次函数的增减性 比较大小．
导引：由两抛物线的形状、开口方向相同，可确定a的值； 再由顶点坐标为(0，3)可确定c的值，从而可确定 平移的方向和距离．
感悟新知
知3－练
解：因为抛物线y＝－5x2与抛物线y＝ax2＋c的形状相同， 开口方向一样，所以a＝－5.又因为抛物线y＝ax2＋c 的顶点坐标为(0，3)，所以c＝3，其所对应的函数表 达式为y＝－5x2＋3，它是由抛物线y＝－5x2向上平移 3个单位得到的．